龐加萊：最後一個什麼都會的科學家_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2021-07-29 10:07
撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）
平庸的人關注非凡的事物，偉大的人關注平凡的事物。
——帕斯卡
1 引 子
物理學有一個分類法是按照研究對象的多少劃分的，包括單體問題、兩體問題、少體問題和多體問題。近些年來，很多人的聊天詞彙裏多了個三體的概念。三體問題（three-body problem），一開始是個特別自然的天體物理問題：太陽-地球-月亮這樣的靠萬有引力相互作用的體系是否是穩定的？這是個標準的杞人憂天。三體的動力學問題沒有閉合形式的通解，對於一般的初始條件都會表現出混沌行為（chaotic behavior）。混沌從此成了一個重要的交叉學科概念。這個概念出自法國偉大的數學家龐加萊的工作。1890年，龐加萊在一篇長達270頁的論文裏為三體動力學問題的解決提供了系統的思想和數學技術，還讓混沌等概念成了社會性概念。
提起數學家，有個關於數學家判據的説法和龐加萊引理有關，非常有趣。如果有一個人睡得迷迷瞪瞪的，你一腳把他踹醒，問“什麼是龐加萊引理？” 答不上來的，肯定算不上數學家。龐加萊引理（Poincaré’s lemma）有如此高的地位， 可用作數學家的判據，估計會讓
龐加萊被譽為人類最後一個什麼都會的學者（the last universalist），一個全面型的專家（universal specialist），他對數學、物理以及哲學的貢獻是全面的、獨特的。龐加萊是自成一類的學者。對龐加萊，筆者懷有無限的崇敬。
2 龐加萊小傳
龐加萊（Henri Poincaré，1854-1912），法國數學家、物理學家、工程師、哲學家，毫無疑問的polymath，被數學界稱為最後一個啥都懂的人（圖1）。他之後的希爾伯特也算數學啥都懂吧，但論物理就差太多了。法語維基百科詞條比較謙虛，稱其為最後的啥都懂大學者之一 (un des derniers grands savants universels)。龐加萊1854年出生於法國南希的一個大户人家，父親是南希大學的醫學教授。之所以説龐加萊家是大户人家，是因為這家人才輩出，其中他的一個堂弟Raymond Poincaré是法語學院的院士（fellow of Académie française），在1913-1920年之間是法國總統。與此可比的是熱力學奠基人卡諾（Sadi Carnot，1796-1832），其父是巴黎工科學校的數學物理教授，後來他的一個侄子成了法國總統。
龐加萊小時候身體不好，由其母歐也妮（Eugénie Launois，1830–1897）親自啓蒙教育，1862年進入南希帝國學校（lycée impérial de Nancy，如今名為龐加萊中學校）上了11年學，各科全優，被數學老師稱為數學大魔頭。龐加萊1873年進入巴黎工科學校，1875年畢業。在巴黎工科學校，龐加萊跟着厄米特學數學，成績依然優異並在1874年發表第一篇學術論文“面指標性質的新證明（Démonstration nouvelle des propriétés de l’indicatrice d’une surface）”。1875 -1878年間，龐加萊在巴黎礦業學校（École des mines）學習，1879年獲得採礦工程師學位；同期從巴黎大學畢業，在厄米特指導下獲得了科學博士學位，論文題目為“論由偏微分方程所定義之函數的性質（Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles）”。具體説來，龐加萊這是發明了新方法研究偏微分方程的性質，他不僅研究這些方程可積的問題，還是第一個研究這些方程一般幾何性質的人。
龐加萊的第一份工作是1879年在卡昂（Caen）大學當講師。在那裏，他得到了一個重要研究成果，是關於自守函數的。到1881年時27歲的龐加萊即已經確立了歐洲最偉大數學家的身份。1881年龐加萊轉往巴黎大學，在1881-1882年間他發展了新的數學分支——微分方程的定性理論，對於某些微分方程在未加求解的情形下就可以獲悉關於解的最重要的信息。1883-1897年間龐加萊在巴黎工科學校教授數學分析，1896年獲得巴黎大學的數學天文學和天體力學的教席；在巴黎大學他佔據的教席還包括力學，數學物理，概率論等。龐加萊備受法國學術界推崇，1886年即當選法國數學學會主席，1900年再次當選， 1902年又當選法國物理學會主席。1887年32歲的龐加萊入選了法國科學院（French academy of Science），1906年成為其主席；1908年龐加萊還當選法語學院（Académie française）的成員。法語學院也是法國學術機構（Institute de France，不要和法蘭西學院，Collège de France，弄混了）下設的機構，是涉及法語事務的專門學術團體，始終保持40名成員的規模。1893年，龐加萊加入法國國家標準局，參與時間同步校準的工作，這份工作引導他考慮劃分國際時區以及在運動物體間如何進行時間校準的問題，而這是相對論的關鍵。龐加萊還曾三次當選法國長度標準局（Bureau des Longitudes）主任。物理標準的建立是學（做）物理的起點，龐加萊的相對論成就與在標準局的任職有關~讀者是否還記得愛因斯坦創立狹義相對論時是在瑞士國家專利局工作的。龐加萊以數學家、物理學家的身份聞名於世，但也一直沒有放棄他礦業工程師的身份，1881-1885年他負責法國北部鐵路的修建，1893年升為礦業集團主任工程師，1910年升為總監（inspector general）。
龐加萊比較著名的數學成就包括：
1. Automorphic functions, uniformization（自守函數，單值化）
2. The qualitative theory of differential equations（微分方程的定性理論）
3. Bifurcation theory（分岔理論）
4. Asymptotic expansions, normal forms（漸近展開，範型）
5. Dynamical systems, integrability（動力學系統，可積性）
6. Mathematical physics（數學物理）
7. Topology /analysis situs（拓撲）
8. Number theory（數論）
9. Algebraic geometry（代數幾何）
至於天文與物理，龐加萊的成就包括提出了混沌理論，其對經典力學、流體力學、電磁學和光學的貢獻可能不是很顯著，但是對量子力學和相對論的建立其貢獻確實奠基性的、一錘定音式的。
在龐加萊身後，法國科學院為他出版了11卷的文集（Œuvres publiées sous les auspices de l’Académie des Sciences），具體地：
Tome 1, Équations des différentielles（微分方程）
Tome 2, Fonctions Fuchsiennes（福克斯函數）
Tome 3, Équations des différentielles, Théorie des fonctions（微分方程，函數理論）
Tome 4, Théorie des fonctions（函數理論）
Tome 5, Algèbre, Arithmétique（代數，算術）
Tome 6, Géométrie, Analysis situs（幾何，拓撲）
Tome 7, Principles de mécanique analytique, Problème des trois corps（分析力學原理，三體問題）
Tome 8, Mécanique céleste, Astronomie（天體力學， 天文學）
Tomes 9-10, Physique mathématique（數學物理）
Tome 11, Mémoires divers-livre du centenaire（各種紀念文章，百年誕辰紀念文集）
此外，龐加萊尚有大量關於各種數學和各科物理課程的講義，比較有名的有《天體力學講義》三卷等。
龐加萊還是數學、物理的普及者，為公眾撰寫了不少書目。龐加萊的部分著作目錄如下：
1. Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles : premiere these（論由偏微分方程所定義的函數的性質）, Gauthier-Villars (1879).
2. Les méthodes nouvelles de la mécanique celeste（天體力學新方法）, Gauthier-Villars, Tome 1, 1892；Tome 2, 1893；Tome 3, 1899.
3. La Science et l’Hypothèse（科學與假設）， Flammarion (1902).
4. La Valeur de la Science（科學的價值）， Flammarion (1905).
5. Cours d’astronomie Générale（普通天文學教程）, École polytechnique (1907).
6. Science et Méthode（科學與方法）， Flammarion(1908).
7. Savants et écrivains（學者與作家）， Flammarion(1910).
8. Ce que disent les choses（事如是説）, Hachette(1911).
9. Dernières Pensées（最後的思想）， Flammarion(1913).
鑑於龐加萊的學術地位與影響，他的著作大多都有多種語言的版本，如《科學與方法》《科學與假設》等還有中文版。順便説一句，和歐拉一樣，龐加萊的眼神不好。
3 龐加萊的數學成就
龐加萊首先是個職業數學家，涉獵了幾乎所有的數學領域。其實，數學哪有什麼領域。記得是希爾伯特説的，數學不分專業，只分會與不會。試圖介紹龐加萊的數學成就超出本書的範圍，尤其是超出作者的能力。此處摘取兩個比較著名的例子給予簡短的介紹。
龐加萊圓盤的研究啓發了數學家以及數學家以外的思考幾何的人們。受龐加萊圓盤問題的啓發，荷蘭版畫家埃舍爾（M.C. Escher，1898 –1972）1958年一口氣創作了四幅名為“圓的極限”的版畫作品，為龐加萊圓盤鋪排問題的一個絕妙的藝術體現（圖3）。
龐加萊是數學家，自然地，針對物理他首先關注天體物理這個作為物理學起源的問題。通過萬有引力相互作用的兩體問題有嚴格的解析解，自然人們想把這個問題推廣到三體問題甚至n-體問題 (n是個小的自然數)。1887年，瑞典國王奧斯卡二世懸賞徵求三體問題的解，最後該獎授予了龐加萊。龐加萊沒有解決三體問題，甚至他的論文還包含許多錯誤，但是，龐加萊的論文開啓了天體物理的新時代。龐加萊在論文中首次提出了存在混沌運動的概念。混沌（chaos），指一種對初始條件極度敏感的動力學行為。混動理論如今已經成為了一個重要的數學分支，並滲透到物理、化學、社會學等多門學科。
龐加萊對物理學的重大貢獻，體現在他是量子力學和相對論非同尋常的奠基人上。
4a). 量子力學。龐加萊對量子力學的重要貢獻，是他於1912年證明了能量量子化是得到普朗克黑體輻射公式的充分必要條件。龐加萊的這個工作，為自1900年普朗克用能量量子化假設，即一定頻率的光其能量為ћν的整數倍，得到黑體輻射後物理學家們理解（擺脱）量子概念的努力劃上了句號。實際上，普朗克一直在努力要證明能量量子化是沒必要的，如果不是錯的，甚至為此得到了零點能等重要概念。直到龐加萊的這個數學證明出來，普朗克才消停了，而不是如一般量子力學文獻所述到了愛因斯坦1905年用能量量子化解釋了光電效應的實驗結果就消停了。龐加萊此一工作在眾多的量子力學教科書中未見有提及。筆者再次重申，從理論嚴謹性的角度來看，龐加萊的這個論證是不可或缺的，否則能量量子化一直就是個讓人（普朗克）無法放心的假設。這個證明，是普朗克、愛因斯坦這種數學水平的人不可能完成的任務。從實用的角度來看，它是通往量子統計和固體量子論的橋樑，懂得這個道理後更加容易理解量子統計。愛因斯坦、埃倫費斯特等人在龐加萊此工作的基礎上很快發展出了固體量子論。
4b). 相對論。龐加萊對經典力學的體系非常清楚。作為一個數學家，他對歐拉的研究方程之變換不變性應該是秒懂的，雖然筆者未見到龐加萊談論相對性（relativisim）一詞的具體文字。龐加萊將相對性原理表述為所有物理現象應遵循的原理。與此可相媲美的是居里（Pierre Curie，1859-1906）把對稱性提升為物理研究對象。此外，作為巴黎長度（標準）局的一員，對時鐘，尤其是相互間運動的鐘表的校準問題，是他長期思考的問題。在1898年的“時間測量”一文中，他指出時間只有約定（convention）的意義。
龐加萊一直教授物理。他的Électricité et optique（電學與光學） 講義，筆者粗略翻翻，發現裏面有很多值得參考的地方。法國人對電學、光學的貢獻甚多，其中很多的細節，我指的是學問被創造的細節，應該加入到我們的教科書中去。
5 思想者、文人龐加萊
龐加萊是思想者。作為一個擁有數學、物理背景的哲學家，他的觀點同羅素羅素（Bertrand Russell，1872-1970）和弗雷格（Gottlob Frege，1848-1925）之數學是邏輯的分支的觀點恰恰相反。龐加萊相信直覺才是數學的生命，數學不可能從邏輯導出來因為它不是分析的。龐加萊的科學哲學被稱為實用偶然主義。我覺得這和龐加萊濃厚的物理背景有關。就物理學而言，公理化是結尾處的努力而不是學問的來源。
龐加萊推崇約定（Convention）在物理中所扮演重要的角色，故他被認為是conventionalism的擁躉。他認為牛頓第一定律（伽利略的定律）不是經驗的，而是力學的約定的框架假設；物理空間的幾何也是約定的。物理場的幾何或者如温度梯度（如果是研究這類問題的話）之類的物理量是可以改變的，可以把空間描述成非歐幾里得幾何的，但也可以將之描述成歐幾里得空間不過其度規要隨温度的分佈而改變。當然啦，人們還是習慣於歐幾里得幾何的空間。
龐加萊留下了諸多散文集，包括《科學與假説》《科學的價值》《科學與方法》《數學與邏輯》《學者與作家》，等等，都是讀來膾炙人口的佳作。《科學與方法》是他在法國心理學會的講座所結成的集子，其中的思想被總結為創造與發明在精神層面包括兩個層次：第一是對問題之可能解的隨機組合，其二是批判性評價，亦即選擇。《科學與假説》是20世紀科學哲學的經典，筆者印象比較深的一句是“Le savant doit ordonner; on fait la science avec des faits comme une maison avec pierres; mais une accumulation de faits n’est plus une science qu’un tas de pierres n’est une maison . (學者要做整理的工作。從事實構建科學如同用石頭壘房子，但事實的累積可不是科學，如同一堆石頭還不是房子。)” 在《科學的價值》一書裏，龐加萊指出數學有三重目的，為了研究自然提供工具（Elles doivent fournir un instrument pour étude de la nature），也即物理的目的；此外還有哲學目的和美學目的。所謂的哲學目的，是説應該協助哲學深化數字、空間、時間的概念。關於數學的物理目的與美學目的，龐加萊認為我們不可犧牲任何一個，這兩個目的是不可分的，達成其一的最佳辦法是瞄準另一個，至少絕不可讓另一個逸出視野 （ces deux buts sont inséparables et le Meilleur moyen d’attendre l’un c’est de viser de l’autre, ou du moins de ne jamais le perdre de vue）。龐加萊説。
在《科學的價值》一書中更是有許多廣為流傳的佳句，如“Les mathémaques méritent d’être cultivées pour ells-mêmes（數學本身就值得耕耘）”；“Aussi l’homme ne peut être heureux par la science, mais aujourd’hui il peut bien moins encore être heureux sans elle (人類不會因為科學而幸福，但在今天沒有科學可能就幸福不起來了)”；“Il ne faut donc pas croire que les théories démodées ont été stériles et vaines (不能以為過時的理論從此就是不育的、空洞的)”；“Et puis, pour chercher la vérité, il faut être indépendant, tout à fait independent. …si nous voulons être forts, it faut que nous soyons unis (為了探求真理，人應當是獨立的，徹底地獨立。……如果想是強大的，我們就應該是個“一”)”。願意做科學的年輕朋友們，不妨仔細琢磨一下這最後一句。
6 多餘的話
龐加萊一生中花了大量的時間用於把他的結果以及其他的科學知識予以通俗化（Vulgarization de science）。法語的Vulgarization de science可以譯為科學的通俗化，或科學的庸俗化，或科學的低俗化，皆可。具體的實踐到底會落入什麼境界，我覺得這取決於當事人是什麼層面的學者。龐加萊的科學通俗化作品在筆者這等半吊子職業科學家看來依然是營養豐富的專業經典。在科學家中間的龐加萊，如同藝術家中的印象派畫家。他的著作表達他的思想，但彷彿是在和你討論，時常句子中會冒出短語 “ce n’est pas tout （這不是全部）”。筆者以為，這句話應該寫到我們所有的教科書中，告訴讀者們，尤其是學生們，當前表述的根本不是問題的全部，更不是這門學問的全部。
龐加萊因為寫作極快而被説成是個沒耐心的人（C’était un homme impatient qui écrivait vite），他甚至贏得了一本名為《龐加萊：沒有耐心的人》的傳記，也是沒誰了。寫得快，難免潦草有錯誤，蘿蔔快了不洗泥是龐加萊文章的一個特點，這是他被詬病的地方。然而，這也正是創造頭腦的通病——他沒有時間去做那些一流甚至一流以下的學者的活兒。帕斯卡的no time to be brief，龐加萊的沒時間修改，都是不願意把時間花在創造以外的事務上。一個沉浸於創造的人，必然是個內心豐富、外觀無味的人。不過，科學巨擘的表達有時也可以是很俏皮的，比如論説外語，龐加萊就説，“…parler les langues étrangères, voyez-vous, c’est vouloir marcher lorsqu’on est boiteux（説外語，就好比腿瘸了還想走路）”（見la mécanique nouvelle），看到這句我都笑出聲了。
人們會好奇，是什麼讓龐加萊成為那麼富有創造力的天才的？答案是，天資聰穎、過目不忘以及對科學問題持久的全力以赴。此外，他還有有能力有意識地忙着一個問題，而潛意識裏在忙着另一個問題。龐加萊有能力直擊問題的核心，包括問題的緣起與具體的細節。龐加萊讀別人的文章，都是直奔結果，然後自己構造論證過程。他訪問德國哥廷恩時，那裏的學生們都願意和他討論問題。如果發現沒有新意，他經常性的評論就是“A quoi bon（有啥意思嘛）？”。
在筆者心目中，龐加萊是近神的存在，愛因斯坦和他相比也是黯然失色的。龐加萊首先是個職業數學家，對於所有的數學領域，其實還包括當時所有的物理領域，他投身其中，他豐富，他拓展出新的領域。一個人可以在那麼廣闊的領域裏有那麼多那麼深刻的創造，真的是匪夷所思。筆者從一開始就放棄了對他作全面介紹的企圖，力有不逮，這也是沒法子的事兒。對龐加萊感興趣的讀者，請自行追加閲讀他的著作或者關於其人及成就的專著。
作為巨擘型的學者，龐加萊記憶力超羣是無疑的，據説他是個永不滿足的閲讀者，且過目不忘（Poincaré était un lecteur insatiable et qu’il mémorisait facilement ce qu’il lisait）。和歐拉一樣，龐加萊一生中長時間受視力問題的困擾。但是，因為內眼識天，視力差一樣可以做空間的想象，可以沉浸在幾何與拓撲的彎彎繞裏（Il ne dessinait pas très bien, mais faisait preuve de beaucoup d’imagination spatiale grâce à une solide vision intérieure, qui lui permettait de se plonger dans les méandres de la géométrie et de la topologie. Poincar´e was an explorer and adventurer, but of the jungles, deserts, and mountains of the spirit. He made fantastic journeys, but all those adventures took place in his mind.）龐加萊的這種心算能力，我指的是不動紙筆就能進行數學的前沿探索，殊為罕見。我個人認為，過目不忘，內眼識天，這種能力是天賦，但我們俗人也不妨專門訓練訓練一回，那肯定也是有益的。不過，把心算理解為整數加乘這種小孩子玩意兒就不必了。對於職業數學家、物理學家的培養，下盲棋訓練庶幾可用作入門教程，能盲推龐加萊猜想的證明者可以准予畢業。
龐加萊因其超常智力、學問淵博、成就斐然而傲立於科學家的世界。有評論認為作為科學家龐加萊自成一類（Henri Poincaré was in a class by himself）。這樣的人，獨自一人，源源不斷地為人類帶來那麼多的新知。研究對他來説完全是私人的生活方式。由此觀之，所謂的“大抵學問是荒江野老屋中二三素心人商量培養之事”, 一下子就暴露了錢鍾書先生所指的學問肯定不是龐加萊所擁有的那種具有普遍意義的學問。即便是素心人，三個人湊一起最恰當的事業也是鬥地主而不是做學問。指望拉幫結夥開大會去思考最前沿的科學問題，想想都覺得滑稽。
參考文獻
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本文選自《磅礴為一》（待出版）