通向量子引力的路，又寬了一點點_風聞

二維共形場理論一直是重要的理論物理前沿研究工具之一，尤其是其中的劉維爾共形場理論，更是與量子引力存在着千絲萬縷的直接聯繫。藉助共形自舉方法，劉維爾共形場已經可以非微擾的精確求解。然而，它的關鍵方程竟然是猜出來的，直至最近幾年，數學家才給了出嚴格的證明。數學家與物理學家，對量子場論的深意又多了一點了解。

撰文 | 董唯元

量子引力理論是物理學界公認的聖盃，一直吸引着我們這顆星球上最頂級的一批智慧頭腦為之不斷探索。如今聰慧的科學家早已能夠駕輕就熟地應用量子理論和廣義相對論，乃至日常生活都能發現它們的身影，然而隱藏在這兩個理論背後的宇宙奧秘，卻仍然顯得那麼渺遠難測。

2003年的時候，美國物理學家，圈量子引力的奠基者之一，李·斯莫林（Lee Smolin）曾在他的科普著作《宇宙的本源》（Three Roads to Quantum Gravity）結尾處樂觀地展望：“到2010年，至多到2015年，我們應該已經擁有量子引力理論的基本框架……在擁有這個理論的10年之內，能夠檢測它的新型實驗將會被髮明出來……到21世紀末，全球的高中生都將學習引力的量子理論。”如今回望，斯莫林的預言顯然過於樂觀了。

也許最能體現量子理論與引力理論之間鴻溝的，就是宇宙暗能量這個概念。依照廣義相對論，加速膨脹的宇宙昭示着真空具有能量，也就是愛因斯坦方程中的“宇宙常數”不為零。同時依照量子場論，真空也具有非零的能量，這已經被卡西米爾效應（Casimir effect）實驗所證實。如此看來，兩個理論似乎都不約而同地給出了真空能量，然而實際上二者給出的數值相差了120個數量級！注意不是120倍，而是120個數量級，也就是10120倍。企圖用真空零點能解釋宇宙常數的努力，成了物理學中最離譜的猜測。

然而我們的宇宙不可能有兩種真空，於是“宇宙暗能量”這個概念就被提了出來，以彌合兩個理論對真空能量描述上的巨大分歧。暗能量之所以稱之為“暗”，就是因為它既不在量子理論框架之內，也不能由引力理論解釋。這個佔據宇宙總能量70%的神秘缺口，或許只能等待未來的量子引力理論去縫合。

“降維打擊”

在探索量子引力的道路上，充滿了現有數學工具難以逾越的障礙，於是研究者們一邊努力構建新工具，一邊也在嘗試簡化問題的迂迴方法，二維模型就是最為常用的迂迴手段之一。

將高維降至二維最顯而易見的好處，就是運算處理的大幅度簡化。比如，在二維平面內，幾次轉動操作之間可以隨意地交換順序，最終的操作結果並不會因順序的改變而受到影響。而在三維或更高維的空間中，多個轉動操作之間不能隨意交換順序。可見二維空間比高維空間所受的限制更少，在處理複雜計算時可以騰挪的餘地也就更大。

當然轉動操作只是一個不入流的例子，研究者們真正青睞的是一種名為“共形變換（Conformal transformations）”的操作。這種操作也稱“保角變換”，顧名思義就是在扭曲變形的時候能夠保持任意兩條線的夾角不變。比如下圖所示的這個變換，就是個典型的共形變換。在變換之後，每根藍色線與每根紅色線仍然保持垂直。

如果你是第一次聽到“共形變換”這個名詞，也不要被這唬人的名字嚇到。看看上圖中那些彎曲的線條，是否讓你聯想到中學課本上的電場線和磁場線？再回想小時候用紙上的鐵屑顯示磁力線的那個小實驗。其實，當你手握兩塊磁鐵隨意移動時，紙上那些鐵屑圖案的變化，正是一種共形變換。

物理學家在研究場的時候，非常需要共形變換的輔助。每一個共形變換中的不變量，本質上都是一種對稱性的體現，就像鏡像反轉或空間平移的對稱性一樣。而對稱性正是物理學家最喜歡的內容，每增加一個對稱性，物理學家就可以多寫出一條約束系統的方程。未知數的個數沒有增加，而方程的數量增加了，求解出答案的希望當然也就隨之增加了。

各種共形變換和共形對稱性是如此的重要，以至於CFT（共形場理論，Conformal field theory）已經成為一門應用廣泛的基礎科目。不僅在量子場論和引力理論中，而且在凝聚態物理和熱力學等理論中，都是不可或缺的重要工具。尤其是在20世紀末Ads/CFT對偶關係被發現之後，CFT的重要程度又進一步提升。

雖然共形場不僅限於二維，但對急於求解方程的研究者來説，二維共形場無疑是最友善的對象。因為只有在二維面上，才有無限多種共形變換，而在更高維度的空間中，只能存在有限種共形變換，所以二維共形場所藴含的威力尤為強大。有些情況下，研究者甚至可以拋開其他因素，僅依靠這些對稱性本身，就足以進行精確求解。

非微擾的求解方法

早在20世紀70年代，俄羅斯物理學家Alexander Polyakov就被二維共形場的強大威力所吸引，提出了一種全新的求解量子場的方法——共形自舉（conformal bootstrap）。這種方法的基本思想，是把求解過程拆解為逐級爬樓梯。先選定一個三點結構作為基礎，然後再增加第四個點，繼而增加第五個點……這樣求解的過程表面看似繁瑣，實則卻解決了一個困擾專業人士已久的難題。

傳統求解量子場的基本思路，或直接或間接地繼承自古老的分析力學和經典場論，即從拉格朗日量或者哈密頓量出發展開運算。其中用到的正則量子化和費曼路徑積分等技巧，也是以拉氏量和哈氏量為基礎。這套方法非常皮實耐用，許多關鍵環節已經被古聖先賢們反覆打磨鋪墊就緒，對後來者的我們來説，幾乎就剩下代入具體情況無腦傻算。

然而這個套路在量子場論中卻有個缺陷，那就是場之間的相互作用不能太強，最好是完全沒有相互作用的自由場。這就好比一套求解物體運動狀態的方法，其實只能求解勻速直線運動。當處理勻速圓周運動時，就把那個垂直於運動方向的加速度當作一個高階修正項補充進來。而如果遇到變速圓周運動，就得再補充更多的修正項。

這種補丁摞補丁的做法，專業術語上稱為“微擾”。意思就是説，把所有場間相互作用和其他約束條件，都看做對自由場的“微小擾動”，由此所產生的效果，都只體現在那些修正項中。顯然，當我們遇到非常強的相互作用時，微擾方法就會失靈，不能提供符合實際情況的結論。（相關參見《物理學的終極問題，正等待數學來回答》）

而前面提到的共形自舉方法，則是一種非微擾的套路，可以求解許多強耦合的量子場。在20世紀80年代初，Polyakov和他的兩位合作者Belavin和Zamolodchikov共同發表了一篇重要論文，論文中給出了求解一系列二維共形場的框架，向研究者們展示出這一方法的強大力量。自此，以三位作者命名的BPZ方程，就成了CFT發展歷程中的一個里程碑。

從N-1個點邁向N個點的BPZ方程長成下面這個樣子：

看不懂也沒關係，本文也沒打算真的解釋這個方程的含義，列出這個方程純粹是為了滿足部分讀者的好奇心。順便顯擺作者使用搜索引擎的能力。

沿着BPZ方程所搭建的梯子，許多傳統微擾手段無法挖掘的寶藏，現在都可以用共形自舉來挖掘。在這些寶藏之中，有一個特殊的二維共形場與量子引力理論關係非常密切，它就是“劉維爾場（Liouville field）”。

作為一個二維共形場，劉維爾場當然是個如假包換的量子場。同時，劉維爾場的經典極限，又自然地給出愛因斯坦方程的二維版本。所以，劉維爾場自身就是一個漂亮的二維量子引力理論。不僅如此，劉維爾場還可以描述玻色弦在二維面內的激發，從而可視為弦理論所構建的量子引力模型中的一部分。另外，透過Ads/CFT對偶關係，劉維爾場還是一個三維彎曲時空內的引力描述。

上面一段話可能會讓非理論物理專業的讀者有些暈頭轉向，其實拋開所有專業術語來説，就是與量子引力理論相關的許多項研究中，都會閃現劉維爾場的身影。所以我們憑感覺就會知道，這個劉維爾場必定與量子引力的關係非常密切。要想了解量子引力的更多秘密，劉維爾場肯定是個極有價值的切入口。

既然有共形自舉這個利器在手，劉維爾場的求解似乎唾手可得，可是這裏面還有一個難題阻礙着研究的進展，那就是BPZ階梯起步的那個三點結構必須精確表述，同時還得滿足一系列約束條件。如果只是用路徑積分和微擾方法來計算，就從源頭上失去了“非微擾”的主旨。然而這個結構常數的尋找，卻頗費了一番力氣。直到20世紀90年代，才有兩組研究者不約而同地給出了確定這個結構常數的公式。這個公式被命名為DOZZ公式，代表兩組研究者Dorn、Otto和Zamolodchikov、Zamolodchikov。

這裏沒有筆誤，後面兩位確實都姓Zamolodchikov，其中一位就是BPZ中的那個“Z”，全名是Alexander Zamolodchikov，另外一位是他的孿生兄弟Alexei Zamolodchikov。順便提一句，BPZ那三位雖然姓氏不同，但名字都叫Alexander，也是挺有意思的巧合。

説回DOZZ公式，藉助這個公式作為起點，研究者終於可以求解劉維爾場的關聯函數。但是這個DOZZ公式的來歷，還是令人不夠滿意。因為這個複雜的公式竟然不是被推導出來，而是被生生猜出來的，可謂繼承了頂級物理學家的優良傳統。在1996年所發表的論文中，作者Zamolodchikov兄弟直接坦白地承認：

“需要強調的是，本節的論證與推導無關。這些更像是某種動力，我們將提出的表達式作為一種猜測，在隨後的章節裏我們會嘗試證實這種猜測。這個猜測看起來十分自然，甚至可能被那些關注這個問題的人認為是顯而易見的。”

（ “It should be stressed that the arguments of this section have nothing to do with a derivation. These are rather some motivations and we consider the expression proposed as a guess which we try to support in the subsequent sections. This guess appears quite natural and might even be thought obvious to those concerned with the problem.” ）

如果不能從邏輯上嚴格推導出這個公式，就説明我們還沒有真正理解它的意義。即使它能在劉維爾場的具體計算上幫我們許多忙，但終究難以提供揭示物理世界本質的作用。

於是，一些研究者又開始努力研究，試圖弄明白DOZZ公式到底能從哪個角度推導出來。這項任務的難度超出了許多人的預期，在DOZZ公式提出後的十多年裏，一直沒有明顯的進展。直到2014年之後的幾年間，才陸續出現了幾篇論文成果。

這些近幾年得到的DOZZ公式證明過程，都頗具跨界味道，使用了概率論方面的語言和工具，主要包括GMC（Gaussian Multiplicative Chaos，高斯倍乘混沌）和GFF（Gaussian Free Field，高斯自由場）。

從這些證明中，我們也收穫了許多新的認識。原本以為隨機漲落導致的引力場自身強耦合，必然無法與路徑積分調和，然而藉助一些來自概率論的工具，竟然可以將那些漲落的毛刺打磨得足夠光滑，並順利地兼容路徑積分。

當然，物理學家們的目標絕不僅僅是馴服二維平面內那些野蠻漲落的引力，而是攜馴服經驗和工具出征，正面迎擊真實時空中的引力。

附：

DOZZ公式的樣子：

這麼複雜的公式居然是靠感覺猜出來的！這是多麼強大的直覺！

參考文獻

[1] Kupiainen, Antti; Rhodes, Rémi; Vargas, Vincent (2017). “Integrability of Liouville theory: Proof of the DOZZ Formula”. arXiv:1707.08785 [math.PR].

[2] Vargas, Vincent (2017). “Lecture notes on Liouville theory and the DOZZ formula”. arXiv:1712.00829 [math.PR]

[3] A.B.Zamolodchikov; Al.B.Zamolodchikov (1996).“Structure Constants and Conformal Bootstrap in Liouville Field Theory". DOI: 10.1016/0550-3213(96)00351-3. arXiv:hep-th/9506136