傷痕累累的飛機_風聞

在第二次世界大戰的大部分時間裏，數學家瓦爾德都在哥倫比亞大學的統計研究小組（SRG）中工作。

在這個小組中，米爾頓·弗裏德曼（Milton Friedman）這位後來的諾貝爾經濟學獎得主只能算第四聰明的人。

小組中天賦最高的當屬亞伯拉罕·瓦爾德。

美軍飛機在歐洲上空與敵機交火後返回基地時，飛機上會留有彈孔。但是，這些彈孔分佈得並不均勻，機身上的彈孔比引擎上的多。

軍方不希望自己的飛機被敵人的戰鬥機擊落，因此要為飛機披上裝甲。但是，裝甲會增加飛機的重量，這樣，飛機的機動性就會減弱，還會消耗更多的燃油。防禦過度並不可取，但是防禦不足又會帶來問題。在這兩個極端之間，有一個最優方案。軍方把一羣數學家聚攏在紐約市的一個公寓中，就是想找出這個最優方案。

軍官們認為，如果把裝甲集中裝在飛機最需要防護、受攻擊概率最高的部位，那麼即使減少裝甲總量，對飛機的防護作用也不會減弱。因此，他們認為這樣的做法可以提高防禦效率。但是，這些部位到底需要增加多少裝甲呢？

他們找到瓦爾德，希望得到這個問題的答案。

但是，瓦爾德給出的回答並不是他們預期的答案。

瓦爾德説，需要加裝裝甲的地方不應該是留有彈孔的部位，而應該是沒有彈孔的地方，也就是飛機的引擎。

瓦爾德的獨到見解可以概括為一個問題：飛機各部位受到損壞的概率應該是均等的，但是引擎罩上的彈孔卻比其餘部位少，那些失蹤的彈孔在哪兒呢？

瓦爾德深信，這些彈孔應該都在那些未能返航的飛機上。勝利返航的飛機引擎上的彈孔比較少，其原因是引擎被擊中的飛機未能返航。大量飛機在機身被打得千瘡百孔的情況下仍能返回基地，這個事實充分説明機身可以經受住打擊（因此無須加裝裝甲）。

如果去醫院的病房看看，就會發現腿部受創的病人比胸部中彈的病人多，其原因不在於胸部中彈的人少，而是胸部中彈後難以存活。

美軍將瓦爾德的建議迅速付諸實施，我們無法準確地説出這條建議到底挽救了多少架美軍戰機，但是數據統計小組在軍方的繼任者們精於數據統計，一定很清楚這方面的情況。

美國國防部一直認為，打贏戰爭不能僅靠更勇敢、更自由和受到上帝更多的青睞。如果被擊落的飛機比對方少5%，消耗的油料低5%，步兵的給養多5%，而所付出的成本僅為對方的95%，往往就會成為勝利方。這個理念不是戰爭題材的電影要表現的主題，而是戰爭的真實寫照，其中的每一個環節都要用到數學知識。

瓦爾德對空戰的理解都遠不及美軍軍官，但他卻能看到軍官們無法看到的問題，這是為什麼呢？

根本原因是瓦爾德在數學研究過程中養成的思維習慣。從事數學研究的人經常會詢問：“你的假設是什麼？這些假設合理嗎？”

這樣的問題令人厭煩，但有時卻富有成效。

在這個例子中，軍官們在不經意間做出了一個假設：返航飛機是所有飛機的隨機樣本。

如果這個假設真的成立，我們僅依據倖存飛機上的彈孔分佈情況就可以得出結論。

但是，一旦認識到自己做出了這樣的假設，我們立刻就會知道這個假設根本不成立，因為我們沒有理由認為，無論飛機的哪個部位被擊中，倖存的可能性是一樣的。

用數學語言來説，飛機倖存的概率與彈孔的位置具有相關性。

對於數學家而言，導致彈孔問題的是一種叫作“倖存者偏差”（survivorship bias）的現象。這種現象幾乎在所有的環境條件下都存在，一旦我們像瓦爾德那樣熟悉它，在我們的眼中它就無所遁形。

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好了，現在回過頭來説説學霸的問題：

其實，學霸也分層次，學霸的差距大於學霸與學渣的差距。只是一般人沒有足夠的機會與學霸打交道，也就缺乏深入瞭解學霸的可能。

我出身於學霸家庭，學習與工作中遇到很多學霸，自然有更多的機會了解學霸了。

學霸的最低標準是中小學班級排名穩定前三名，這也是帝都六大中學提前點招的前提。

兒子的小學同學的奶奶是小學老師，因為以前忙於工作沒有把兒子培養好，於是退休後下功夫培養孫女。在奶奶的大力培養下，孫女在五年級就被人大附中提前點招走了。

這種學霸是培養出來的。

當然，山外有山，人外有人。

一個人是班級排名穩定前三並不容易，想成為年紀前三更不容易，成為某區某縣某市排名前三更難。

我媽的學霸屬於刻苦型，因為家裏窮，只有學習才能改變命運，所以中小學上學特殊認真，門門考試都是第一，而且做題特別快，老師根據她做題的速度地判斷考題的難易程度。後來保送北大。到了北大才知道那是一個天下英才匯聚的地方。有一次理論物理出題特別難，班上一半人不及格。原來基於死記硬背的學習模式就開始不適應了，好在沒有掛科，能順利畢業。考試能行，但業務能力差點。

我爸是來自農村，家裏排行第九，是最小的孩子，中小學也沒有怎麼抓學習，反正成績屬於前三的，大學上了清華。學的是無線電，在技術能力上有兩把刷子，但是有能力天花板。

我妹開始學習一般，後來高中時克服畏難情緒後，成績得到提高，高考成績580多分，清華考慮到我爸是校友就錄取了。等我妹到了大學才知道自己在班是墊底的。她宿舍有一個學霸經常翹課去新東方考T考G。大學畢業後直接出國了，到美國只用兩年就拿到博士學位了。

LP高考成績是縣前三名，也算是學霸吧。

當然單位裏也有許多學霸，有的學霸的兒子也很厲害，原來那個同事的兒子喜歡玩遊戲，後來同事説只要你考上大學，遊戲隨你玩，於是兒子在高二時就被中國科技大學提前錄取了。

學霸是那些優秀的戰機，大多數人只會看到低空飛行的戰機，充滿羨慕的神情，而學霸會在高空發現更多更強的戰機。

清華的張朝陽在回憶大學生活時説，一流的大學是一個絞肉機，把全國的精英放在裏面絞，優秀者當然能勝出，但是失敗者必然傷痕累累……

這些失敗者能不能飛得更遠，取決於他們能不能從失敗中走出來，否則就是落地的鳳凰不如雞。