同樣是關於質數，為啥哥德巴赫猜想比我有名？_風聞

原創：中科院物理所

　　質數是那些只能被自身和1整除的整數,比如前七個質數是2,3,5,7,11,13,17。

　　圖示為埃拉托色尼篩選法，可以用於尋找質數。

　　圖源 SKopp, CC BY-SA 3.0.

　　每一個正整數都可以藉助一種特定的數學結構寫成質數的乘積，例如 30 = 2×3×5 。質數就像是構成其他整數的基本積木，而這就是人們覺得它們有趣的原因。

　　質數是無窮多的，而這一點早已被古希臘數學家熟知，無論你在數軸上移動多遠總有一個質數在你前面。下面是希臘最著名的數學家歐幾里得的證明。

　　假設質數是有限的。我們可以用 p1 , p2 , p3 等來表示，直到最後一個質數 pn 。現在定義某個數字 P ：

　　比方説如果只有5個質數：p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11，那麼存在一個數 P ：

　　如果 P 本身是質數(就像在我們的例子中一樣)，那麼很明顯它不可能是我們列表中的一個質數:因為它比所有的質數都大。如果 P 不是質數，那麼，就像其他自然數一樣，它一定可以寫成質數的乘積。我們選一個能被 P 整除的質數，用 p 表示。可以看出， p 不能是 p1 到 pn 的任何質數，否則就會出現餘數 1 ：

　　而 1 不能被任何其他的自然數整除。因此，集合 p1,p2,p3…pn 並不能包含我們假設的所有質數。這個矛盾意味着質數一定是無限多的。

　　幾千年來，我們一直知道有無限多個質數(參見這裏的證明)，但並沒有一個簡單的公式告訴我們它們都是多少。強大的計算機算法使我們能夠找到越來越大的質數，但卻永遠不可能把它們全部寫下來。

　　質數定理告訴我們質數在其他整數中的分佈。它試圖回答這樣一個問題：“給定一個正整數 n ，包括 n 在內的所有整數，有多少個是質數?”

　　質數定理並沒有精確地回答這個問題，而是給出了一個近似值。寬泛地説，對於比較大的整數，表達式：

　　是一個很準確的質數估計，而且隨着n的增大，這個估計也會變得更準確。其中 ln(n) 是自然對數，可以通過計算器得到。

　　舉個例子，讓我們來看看 n=1000 的情況。此時所有質數可以在這個列表中查找。我們的估計是：

　　這是一個很準確的近似。

　　然而，要精確地理解質數定理告訴我們的東西，我們需要説出我們所説的“一個準確的近似”是什麼意思。質數定理並不是説，對於一個給定的整數n，真值和我們的近似值之間的差值接近 0 。相反，它告訴我們關於“近似值佔真值的百分比是多少?”的問題。

　　回到我們 n=1000 的例子，真值是 168，近似值是 145 。因此，近似構成的比例：

　　近似值佔真實值的 86% ，不錯。

　　當 n=100000 時，包含 100000 的質數是 9592 ，這是真值，估值是 8686 。

　　在這種情況下，估值佔真值的 90% 。

　　這相比於 n=1000 的情況，比例從 86% 提升到了 90% 。

　　一般來説，質數定理告訴我們，對於 n 很大的情況， n/ln(n) 得到的近似值幾乎是真值的 100% 。事實上，你可以讓它接近 100% ——只要你選擇足夠大的 n 。

　　紅色曲線顯示的是小於或等於n的質數數目，其中橫軸表示 n 。藍色曲線給出 n/ln(n) 的值。真實結果和近似結果之間的差值隨着 n 的增長而增加，但兩者之間的比值趨於 1 。

　　為了用數學符號來描述素數定理在數學上的輝煌，讓我們先用表示小於或等於的質數的數目。這個定理可以用公式表述：

　　(1)

　　如果你懂一點微積分你就會知道你可以交換分子和分母，此時表達式 (1) 等於：

　　(2)

　　素數定理通常用第二個表達式 (2) 來表述，有時也寫成：

　　表示：“當 n 趨近於無窮大時， n/log(n) 趨近於 π(n) ”。

　　作者：Marianne

　　翻譯：C&C

　　審校：zhenni

　　原文鏈接：

　　https://plus.maths.org/content/maths-minute-prime-number-theorem

　　https://plus.maths.org/content/maths-minute-how-many-primes