“數學諾貝爾獎”的迷思_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2021-09-22 11:01
撰文 | 倪憶（加州理工學院數學系教授）
諾貝爾獎的缺憾
1896年12月10日，瑞典化學家和企業家阿爾弗雷德·諾貝爾（Alfred Nobel，1833-1896）逝世。根據他的遺囑，他留下的龐大財富被用來創立了諾貝爾獎。從1901年開始，諾貝爾獎每年頒發給物理、化學、生理學或醫學、文學、和平五個領域，只有極少數年份空缺。
那麼問題來了：數學是一切自然科學的基礎，諾貝爾獎中為什麼沒有數學獎？
坊間頗為流行的一個傳言是，諾貝爾曾經因為個人感情問題跟瑞典數學大師米塔-列夫勒（Gösta Mittag-Leffler，1846-1927）結仇，故此不設數學獎。這當然完全是無稽之談。沒有證據表明諾貝爾和米塔-列夫勒之間有任何恩怨。事實上，作為瑞典科學界的領袖人物，米塔-列夫勒積極參與了諾貝爾獎的相關工作。在他的極力推薦下，諾貝爾獎才有了第一位獲獎的理論物理學家——洛倫茲（Hendrik Lorentz，1853-1928），以及第一位獲獎的女性——居里夫人（Marie Curie，1867-1934）。米塔-列夫勒還多次在自己家中為諾貝爾獎得主舉辦慶祝宴會。[1]
巧合的是，日後提議設立數學獎章的菲爾茲（John Charles Fields，1863-1932）跟米塔-列夫勒有着深厚的友誼。[2]所以菲爾茲獎的設立有時被人解讀為菲爾茲給米塔-列夫勒出氣。
諾貝爾數學獎的缺失讓一些數學家感到失望。米塔-列夫勒早在1884年就試圖勸説瑞典國王奧斯卡二世（Oscar II，1829-1907）設立一個數學獎，每四年頒發一次。但最終設立的是一個一次性的懸賞獎項——關於多體問題的徵解，獲獎者是龐加萊（Henri Poincaré，1854-1912），其獲獎論文開創了動力系統這門數學分支。米塔-列夫勒在1916年又提議比照諾貝爾獎設立一個數學金質獎章，但沒有獎金，獎品是他所創立的數學雜誌Acta Mathematica。這一提議也未能實現。[1]
當時瑞典和挪威組成了一個共主邦聯“瑞典-挪威聯盟”。挪威數學家索菲斯·李（Sophus Lie，1842-1899）在他去世前夕提議設立一個“阿貝爾獎”，從1902年開始頒發，以紀念天才的挪威數學家阿貝爾（Niels Abel，1802-1829）誕辰一百週年。由於種種原因，李的提議最終未能實現。[4]直到一百年後，挪威政府才在阿貝爾誕辰二百週年之際設立了阿貝爾獎，並在2003年首次頒發。
ICM、UMI與菲爾茲獎的設立
為了紀念阿貝爾誕辰二百週年，挪威還申辦了2002年國際數學家大會，但敗給了中國。國際數學家大會（International Congress of Mathematicians, ICM）是全世界數學家的最高盛會。首屆國際數學家大會於1897年在瑞士蘇黎世舉行。1900年在巴黎舉行的第二屆ICM可能是歷史上最著名的一屆，因為德國數學家希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）在這屆大會上提出了23個重要的未解決問題。從巴黎大會開始，ICM每四年舉辦一次，其間受到兩次世界大戰的影響停辦了若干年。
1908年在羅馬舉辦的ICM上，頒發了一個以意大利數學家古奇亞（Giovanni Guccia，1855-1914）名字命名的古奇亞獎章（Medaglia Guccia），獲獎者是塞弗裏（Francesco Severi，1879-1961）。但這一獎項並未延續下去。[3]
第一次世界大戰嚴重地撕裂了國際數學界。1920年在斯特拉斯堡舉辦的ICM上，成立了國際數學聯盟（法語 Union Mathématique Internationale，UMI），負責組織ICM。然而這個聯盟並沒有那麼國際化：在法國數學界頭面人物的堅持下，德國等同盟國成員國被排除在UMI之外，同盟國的數學家們也不被允許參加ICM。[5]事實上，這次ICM的舉辦地點本身就是對德國的羞辱：斯特拉斯堡在1871年，普法戰爭之後，被割讓給德國；在1918年，一戰之後，才剛剛回歸法國。
直到1928年，同盟國數學家才被允許參加在意大利博洛尼亞舉行的ICM，希爾伯特在大會開幕式上得到了全場的起立鼓掌。然而，各國之間的隔閡並沒有就此消除，國際數學聯盟的活動中仍然充斥着政治爭論。1932年，國際數學聯盟被迫解散。[5]
1924年的ICM在加拿大多倫多舉行，這是ICM第一次在歐洲之外舉行。大會組委會主席是加拿大數學家菲爾茲，秘書則是辛祺[注]（John Lighton Synge，1897-1995）。菲爾茲在美洲接受教育，後來又到法德兩國度過十年，跟歐洲數學界關係良好。菲爾茲為多倫多大會的籌辦花費了很多心血。那個年代數學的中心在歐洲，讓大批歐洲數學家跨越大洋來到美洲需要一筆不小的開銷。當時科學界缺乏穩定的研究經費，菲爾茲設法從加拿大自治領政府和安大略省政府籌集到許多錢，解決了大會的財務問題。他又到歐洲訪問了幾個月，協調大會的各種組織工作。[2]
注：Synge讀音同sing，常見譯名有“辛吉”、“辛格”、“辛”等等，本文采用錢偉長先生在《八十自述》一文中的翻譯。
多倫多大會後，菲爾茲花費四年時間，編輯出版了會議論文集。完成這項工作後，會議經費仍然結餘2700加元。於是在1931年，菲爾茲領導的組委會決定將其中的2500加元拿出來，在下屆國際數學家大會上頒發兩個金質獎章。[5]
為了成功設立獎章，菲爾茲做了大量的工作。他同美、法、德、意、瑞士等國的數學會商談，取得了他們的支持。他還聯繫了加拿大雕塑師麥肯錫（R. Tait McKenzie，1867-1938），請後者按照自己的想法來設計獎章。菲爾茲本來準備在1932年9月舉行的蘇黎世國際數學家大會上正式提出設立獎章的議案，然而他不幸在大會前一個月病逝。臨終前，在辛祺的見證下，菲爾茲將自己一部分遺產約47,000加元捐贈給獎章基金。在1932年國際數學家大會上，辛祺代替菲爾茲提出的永久性設立獎章的議案被接受。[5]
菲爾茲並不贊同UMI和ICM對同盟國數學家的排斥。在他寫下的提案中，他反覆強調這應該是一個國際化的獎章，對獲獎者沒有國籍限制。他寫道，獎章上應該使用拉丁語或者希臘語，其設計不能跟任何國家、機構或個人聯繫起來。菲爾茲把這一獎章稱為“國際數學傑出發現獎章”（International Medals for Outstanding Discoveries in Mathematics）。然而，這一獎項最終被命名為“菲爾茲獎章”，違背了菲爾茲本人的意願。[6]
菲爾茲獎章由14K的黃金製成。獎章正面的頭像是阿基米德，文字為拉丁文“Transire suum pectus mundoque potiri”，意即“超越人類極限，掌握宇宙”。背面圖案是阿基米德墓碑上的幾何圖形：球的外切圓柱體。文字同樣是拉丁文“Congregati ex toto orbe mathematici ob scripta insignia tribuere”，譯為“全世界數學家聚集起來，榮耀對知識的重要貢獻”。
在設立之初，菲爾茲獎的獎金是1500加元。從1983年華沙ICM開始，獎金額度多次增加，目前是15000加元。這跟百萬美元級別的諾貝爾獎比起來微不足道，更遠不能跟近年來熱度很高的科學突破獎相比。但菲爾茲獎在公眾心目中的地位遠高於其他數學獎。即便是數學界影響不遜於菲爾茲獎的沃爾夫獎和阿貝爾獎，其知名度也遠遠不能跟菲爾茲獎相比。
筆者當年在新東方上課時曾經聽過俞敏洪校長的勵志演講，其中談到俞敏洪的一位數學家朋友，在美國大學任教。這位朋友的志向是獲得菲爾茲獎，俞敏洪便問他：“獎金是多少錢？”聽到朋友的回答後，俞説：“這麼一點錢，我給你好了！”朋友説菲爾茲獎的價值不止於此，菲爾茲獎得主在美國任何一所大學都能拿到多少萬美元的年薪，如果自己40歲還拿不到菲爾茲獎就改行。俞這才滿意，稱讚這位朋友有一個明晰的人生目標。
早期菲爾茲獎的頒發
在菲爾茲的提案裏，這個獎章既是對已有成就的認可，也是對獲獎者未來工作的鼓勵。這一規則被解讀為，獎章只頒發給“年輕”數學家，儘管早期頒獎並沒有明確的年齡限制。
1936年的奧斯陸國際數學家大會上頒發了首屆菲爾茲獎，獲獎者是29歲的阿爾福斯（Lars Ahlfors，1907-1996）和39歲的道格拉斯（Jesse Douglas，1897-1965）。卡拉西奧多里（Constantin Carathéodory，1873-1950）在大會上介紹了兩位獲獎者的工作。那時菲爾茲獎遠沒有今天這麼風光，沒有一位獲獎者此前聽説過它。有人事先祝賀阿爾福斯獲獎，但他在進入會場之前都沒有得到正式通知。另一位獲獎者道格拉斯雖然到了奧斯陸，但因為旅途過於疲勞，沒有出席頒獎儀式，而是由他的同事維納（Norbert Wiener，1894-1964）代替領獎。[5]
下一屆ICM預定於1940年在美國麻省劍橋市舉行，卻因為二戰而推遲了十年，直到1950年才得以召開。這時的數學界已經發生了翻天覆地的變化，美國成為新的世界數學中心，新的國際數學聯盟（International Mathematical Union, IMU）被組建起來。施瓦茨（Laurent Schwartz，1915-2002）和塞爾伯格（Atle Selberg，1917-2007）在這屆大會上獲得了菲爾茲獎，哈拉德·玻爾（Harald Bohr，1887-1951）介紹了他們的工作。
在玻爾的講話中，提到評獎委員會一致認為菲爾茲獎應該頒發給非常年輕的數學家，但並沒有明確“年輕”的意思。事實上，這屆菲爾茲獎呼聲最高的候選人本來是施瓦茨的法國同胞，44歲的韋伊（André Weil，1906-1998）。作為評獎委員會主席的玻爾堅決反對給韋伊頒獎。在他看來，韋伊年齡過大，而且已經獲得了廣泛的認可。他指出，頒獎給韋伊可能會是一場災難，因為“這會給人們一種印象，即委員會試圖選定最偉大的數學天才。” 為了排除韋伊，玻爾建議把獲獎年齡定為不超過42歲。玻爾的觀點在評委會中引起了激烈的爭辯，按玻爾的説法，“需要血和淚”才能決定最後的獲獎人。[7]
玻爾代表着早期菲爾茲獎頒發的一種傾向，即菲爾茲獎不是為了獎勵最好的數學家，而是鼓勵那些有潛力的數學家。如果菲爾茲獎不自我定位為“頒發給最好的數學家”，就能避免隨之而來的各種比較和爭論。菲爾茲本人的提案中就寫道，在評論獲獎者時應該避免“令人反感的比較（invidious comparisons）”。國際局勢導致的割裂給那一代數學家們留下了過於沉痛的回憶，所以他們不想讓菲爾茲獎的評審成為政治鬥爭的舞台。
1958年，31歲的希策布魯赫（Friedrich Hirzebruch，1927-2012）是菲爾茲獎的大熱門，但他卻早早出局，原因是評委會主席霍普夫（Heinz Hopf，1894-1971）認為希策布魯赫已經獲得了足夠的認可，不需要進一步的鼓勵。同樣的情況在1958年和1962年兩次發生在格羅滕迪克（Alexander Grothendieck，1928-2014）身上。[7]在那個時候，菲爾茲獎根本沒有“數學最高獎”的地位，所以菲爾茲獎得主也不被自動當作最好的數學家。
1966，數學與政治
1966年是菲爾茲獎發展史上的關鍵一年，這一屆的ICM在莫斯科舉行，而我們今天所知道的菲爾茲獎也正是在這一年定型。
在1966年的兩年前，印度塔塔信託基金會決定在ICM上設立一個塔塔獎，像菲爾茲獎一樣，每屆頒發兩人。這一獎項未能設立，因為當時的印度國內政策不允許塔塔基金會向國外匯款。幸好有一位匿名人士捐了一筆錢，使得菲爾茲獎在這屆可以頒發給四個人。從此形成制度，菲爾茲獎每屆最多頒發四人。[5]
菲爾茲獎的另一個改變，是德拉姆（Georges de Rham，1903-1990）所主導的評獎委員會正式把獲獎者的年齡限制確定為40歲。具體而言，獲獎者的40歲生日不能在大會當年的1月1日之前。[5]或許是因為明確了年齡限制，評獎委員會不再對給成名數學家頒獎有所顧忌。這一年的四位獲獎者是：阿蒂亞（Michael Atiyah，1929-2019），科恩（Paul Cohen，1934-2007），格羅滕迪克和斯梅爾（Stephen Smale，1930-）。其中阿蒂亞和格羅滕迪克都可躋身二十世紀最偉大數學家之列，科恩和斯梅爾則是因為解決了數學界人盡皆知的難題而獲獎。可以説這一屆評選樹立了一個標杆，從此菲爾茲獎便是以選出“未滿40歲的最好的數學家”為目標。
前述的是制度上的變化。這一年還發生了一件事，讓菲爾茲獎真正出圈，獲得了“數學諾貝爾獎”的美譽。
在1966年的四位菲爾茲獎得主中，格羅滕迪克和斯梅爾都有着強烈的政治觀點。格羅滕迪克為了表示對蘇聯當局的抗議，沒有前往莫斯科參加大會。斯梅爾則堅定地反對越戰，積極參與了許多反戰活動，因此被美國政客盯上。1966年夏，美國國會“非美活動委員會”向斯梅爾發出傳票，要求他到國會接受質詢。這個國會聽證會的日期正好是斯梅爾領取菲爾茲獎的同一天。斯梅爾整個夏天都在歐洲訪問，沒有接到傳票。在飛往莫斯科的飛機上，斯梅爾遇到了匈牙利數學家埃爾德什（Paul Erdős，1913-1996），從後者那裏才得知傳票的事情。[8]
抵達會場後，斯梅爾收到朗（Serge Lang，1927-2005）的一封信。信中告知斯梅爾《舊金山觀察者報》的一份報道，裏面稱伯克利數學系教授斯梅爾躲開了美國國會傳喚，前往莫斯科，字裏行間暗示斯梅爾已經叛逃了。[8]斯梅爾的同事們對此報道感到哭笑不得，連忙對媒體解釋，斯梅爾只是去莫斯科參加國際數學家大會，同時領取菲爾茲獎。為了便於記者們理解，他們就説菲爾茲獎相當於數學的諾貝爾獎。這一説法被各大媒體引用，從此深入人心。（有些看熱鬧不嫌事大的媒體還是採用了“美國數學教師獲得蘇聯獎勵”這樣聳人聽聞的標題。）[7]
菲爾茲獎的爭議
“菲爾茲獎相當於數學諾貝爾獎”這個簡單粗暴的説法容易為大眾所理解，一定程度上也提高了數學界在公眾面前的話語權。斯梅爾後來因為從事反戰活動，差點被美國國家科學基金會取消科研經費，但“數學諾貝爾獎”的光環保護了他。[7]許多地方都會給菲爾茲獎得主以諾貝爾獎得主的同等待遇。例如在斯梅爾工作的伯克利，菲爾茲獎得主和諾貝爾獎得主一樣，可以享用校內的專用停車位。
雖説有着“數學諾貝爾獎”之稱，但菲爾茲獎跟諾貝爾獎的區別還是很大的。諾貝爾獎經常會表彰某項工作的兩到三名合作者，例如發現DNA雙螺旋結構的沃森（James Watson，1928-）和克里克（Francis Crick，1916-2004）就是同時獲獎，但菲爾茲獎從未如此頒獎，儘管有越來越多的重要工作是多名數學家合作完成。
菲爾茲獎跟諾貝爾獎更大的區別在於前者的年齡限制。有人開玩笑説，數學沒有諾貝爾獎是好事，這樣數學家過了40歲後就不必再考慮獲菲爾茲獎，不需要每年等待來自瑞典的深夜電話。雖説是玩笑，但40歲的年齡限制，確實讓菲爾茲獎和諾貝爾獎對學科發展產生了不同的影響。菲爾茲獎頒發給年輕數學家，獲獎工作通常為當前研究熱點，而且這些人將來還會活躍二三十年，發揮影響的時間則可能更長。諾貝爾獎沒有年齡限制，獲獎者往往過了創造高峯期，很多人甚至已經退休。年齡最大的諾獎得主，“足夠好”老爺子（John B. Goodenough，1922- ），在獲諾貝爾化學獎時已經97歲。所以諾貝爾獎很大程度上是對既往重大成果的追認，並不經常直接引導學科發展的潮流，這一點在近年來尤為明顯。
以菲爾茲獎作為“數學最高獎”的定位而言，年齡限制隱含着不公平。乍一看，菲爾茲獎的年齡限制對所有人一樣，都是40歲以下。可是，ICM每四年才舉行一次，不同年份出生的數學家能夠獲得菲爾茲獎的最大年齡是不一樣的。舉個例子，下次國際數學家大會將於2022年在聖彼得堡召開，屆時1981年出生的數學家就失去參選資格。1981年出生的數學家最後獲獎的機會是2018年，那時他們37歲，需要跟1978年出生的40歲的數學家競爭。要知道，重大數學成果做出來花費的時間通常要以年計，得到廣泛認可又需要幾年，三四年的時間差距不是可以忽略的。
一個極端的例子是施拉姆（Oded Schramm，1961-2008），他在幾何、拓撲、概率等領域都作出了非凡的貢獻。施拉姆最著名的工作是他所引進的SLE，即隨機勒夫納演化（Stochastic Loewner Evolution），又稱施拉姆-勒夫納演化（Schramm-Loewner Evolution）。這一理論把隨機過程與共形幾何結合起來，解決了概率論和統計力學中的許多重要問題。施拉姆有兩位主要合作者，勞勒（Gregory Lawler，1955- ）和維爾納（Wendelin Werner，1968- ）。其中維爾納在2006年獲得菲爾茲獎，勞勒在2019年獲得沃爾夫獎，獲獎的主要原因都是他們在SLE上的工作。2010年菲爾茲獎得主斯米爾諾夫（Stanislav Smirnov，1970- ）的部分獲獎工作也是在SLE這一領域。
然而，作為SLE理論的創始人，施拉姆由於年齡原因未能獲得菲爾茲獎，又因為過早離世而未能獲得沃爾夫獎。施拉姆出生於1961年12月10日。在他因登山事故遇難後，《紐約時報》的訃告裏寫道，如果施拉姆晚出生三週又一天，那麼他幾乎必然會獲得2002年菲爾茲獎。可是，如果一位優秀數學家僅僅由於這樣微小的年齡差異就錯過菲爾茲獎，那麼菲爾茲獎又何談是數學最高獎呢？
還有一種觀點認為，菲爾茲獎的年齡限制對女性不公平，因為女性年輕時往往會承擔生兒育女的責任，會耽誤一到數年的科研時間。具體可參見《“青年數學家”神話與數學界的結構性性別不平等》一文。迄今為止，僅有一名女數學家米爾扎哈尼（Maryam Mirzakhani，1977-2017）獲得菲爾茲獎。
即便對於符合年齡條件的數學家來説，菲爾茲獎的評選也難言絕對公平。俗話説，文無第一，武無第二。體育比賽的成績可以用數字來表示，數學成果又如何能夠量化？不同領域之間又如何能夠比較？菲爾茲獎得主的選擇，很大程度上跟評委會成員的偏好息息相關。正如菲爾茲、玻爾等先輩所預料，評選伴隨着大量的爭議，其中甚至不乏政治因素的參與。在2014年菲爾茲獎公佈後，1998年菲爾茲獎得主高爾斯（Timothy Gowers，1963- ）在博客中指出，這一屆有許多數學家，包括不止一名女數學家，也同樣值得獲獎。當然，這種情況絕非2014年這一屆所獨有，也絕非菲爾茲獎所獨有。任何科技獎的評選都會有類似爭議，但菲爾茲獎的年齡限制導致大多數被提名者只有一兩次機會能夠得獎，所以爭議更顯突出。
除了菲爾茲獎，數學界還有一些沒有年齡限制的獎項，作為對數學家最高成就的獎勵。這其中包括沃爾夫獎、阿貝爾獎、陳省身獎、科學突破獎等等。其中，阿貝爾獎在名稱、頒獎國、評獎規則、獎金額度等諸多方面都與諾貝爾獎非常相似，近年來常被媒體拿來跟諾貝爾獎比較，可能更符合“數學諾貝爾獎”的定位。
回顧菲爾茲獎的歷史，它最初並沒有被設計成“數學最高獎”，卻在陰差陽錯之下得到了“數學諾貝爾獎”的美譽。但菲爾茲獎在制度上的先天缺陷又讓它難以真正承擔起“數學最高獎”的職責。所以有人提出，讓菲爾茲獎迴歸初心，褪去“數學最高獎”的光環，僅當作是對優秀青年數學家的激勵。[7]這，或許才是對待菲爾茲獎的正確心態。
致謝：許晨陽閲讀了本文初稿，並提出寶貴意見。本文部分地受到了他的演講《菲爾茲獎的魔咒》的啓發。
附錄：IMU頒發的其餘獎項
除了菲爾茲獎以外，IMU還設立了一些獎項，同樣在四年一度的國際數學家大會上頒發。這些獎項每屆均只頒發一人。以下對這些獎項作簡要介紹。
IMU算盤獎（IMU Abacus Medal），原名奈凡林納獎（Rolf Nevanlinna Prize）
奈凡林納（Rolf Nevanlinna，1895—1980）是芬蘭著名數學家，曾擔任IMU主席，1962年瑞典斯德哥爾摩ICM主席，以及1978年芬蘭赫爾辛基ICM名譽主席。為紀念奈凡林納，赫爾辛基大學出資設立了奈凡林納獎，獎勵在信息科學的數學方面作出傑出貢獻的科學家。奈凡林納獎也有40歲的年齡限制，從1982年開始頒發，目前獎金為1萬歐元。奈凡林納曾與納粹勢力合作，是其人生一大污點，故此IMU決定從2022年開始將奈凡林納獎更名為IMU算盤獎。
高斯獎（Carl Friedrich Gauss Prize）
德國數學會和IMU利用1998年柏林ICM結餘經費設立了高斯獎，獎勵對數學以外的領域有重大影響的數學研究。高斯獎沒有年齡限制，從2006年開始頒發，目前獎金為1萬歐元。
陳省身獎（Chern Medal）
陳省身先生（1911—2004）逝世後，他的家屬和友人出資設立了陳省身獎，作為數學家的終身成就獎。陳省身獎沒有年齡限制，從2010年開始頒發。陳省身獎的獎金額度為50萬美元，其中25萬美元給獲獎者，25萬美元捐獻給獲獎者指定的機構，以支持數學研究、教育和普及。
里拉瓦蒂獎（Leelavati Prize）
2010年印度海得拉巴ICM閉幕式上，頒發了里拉瓦蒂獎，用以獎勵數學的公眾普及。印度著名IT公司Infosys隨後出資，將里拉瓦蒂獎作為IMU的常設獎項。《里拉瓦蒂》（Līlāvatī）是古代印度數學家婆什迦羅第二（Bhāskara II，約1114—約1185）撰寫的一部數學著作。里拉瓦蒂獎是IMU獎項中唯一一個在ICM閉幕式而不是開幕式上頒發的獎，也是唯一一個不獎勵數學研究的獎。里拉瓦蒂獎的獎金額度是100萬印度盧比。
拉德任斯卡婭獎（Ladyzhenskaya Medal）
拉德任斯卡婭（Olga Ladyzhenskaya，1922—2004）是俄羅斯著名數學家，曾被提名1958年菲爾茲獎。俄羅斯國家數學委員會、聖彼得堡國立大學和2022聖彼得堡ICM組委會聯合設立了拉德任斯卡婭獎，用以獎勵數學物理及相關領域的革命性成果。拉德任斯卡婭獎沒有年齡限制，獎金是100萬盧布，將在2022年ICM期間一個紀念拉德任斯卡婭百年誕辰的儀式上首次頒發。
參考文獻
[1] Arild Stubhaug, Gösta Mittag-Leffler. A Man of Conviction. Springer-Verlag, Berlin, 2010. x+733 pp.
[2] J. L. Synge, John Charles Fields. J. London Math. Soc. 8 (1933), no. 2, 153-160.
[3] Michael Barany, The myth and the medal. Notices Amer. Math. Soc. 62 (2015), no. 1, 15-20.
[4] 阿貝爾獎官網，The History of the Abel Prize.
[5] Olli Lehto, Mathematics without borders. A history of the International Mathematical Union. Springer-Verlag, New York, 1998.
[6] Henry Tropp, The origins and history of the Fields Medal. Historia Math. 3 (1976), no. 2, 167-181.
[7] Michael Barany, The Fields Medal should return to its roots. Nature 553, 271-273 (2018).
[8] Steve Smale, On the Steps of Moscow University. From Topology to Computation: Proceedings of the Smalefest (Berkeley, CA, 1990), 41-52, Springer, New York, 1993.
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