在密鋪的瓷磚背後，隱藏着令人毛骨悚然的幻影...._風聞

原創：中科院物理所

　　如果你擅長利用圓規和直尺創造各種神奇的圖案，你會發現各種邊為弧形的有趣圖形。讓我們看看弧形構成的簡單幾何形狀吧。

　　一個簡單的例子是由等邊三角形的頂點構成的曲邊三角形（Reuleauxtriangle）（如圖一所示）。依次將圓規頂點放在三個頂點上，然後繪製連接剩餘兩個頂點的圓弧，這樣便得到了三段圓弧組成的曲邊三角形。三條弧所對應的圓周角都為 60° 。曲邊三角形是唯一一個邊由弧形構成，且弧形的中心為頂點的曲邊形狀。

　　圖一：曲邊三角由等邊三角構成。

　　通常，圓弧的形狀主要由兩條信息定義：圓的半徑和圓弧角。我們可以找到圓弧中心與圖形頂點存在有趣關係的其他弧邊圖形，比如圖二中的三種圖形。從圖形頂點出發繪畫新的圓弧，得到的圖形與原始圖形之間存在旋轉或鏡像關係。此外，原始圖形中每段圓弧對應的的圓心同樣位於新圖形的頂點，因此不難看出這個繪製的過程是可逆的。

　　圖二：存在“幻影”的三種形狀

　　新繪製的圖形被稱為原始圖形的“幻影”，它**是由原始圖形頂點繪製的圓弧構成的，它與原始圖形形狀一致，但存在旋轉或者鏡像的關係。**上面提到的曲邊三角形是自參照的：它是自身的幻影。你可能覺得這些幻影跟隨着原始形狀虛無縹緲地存在着，就像一種幽靈般的存在。

　　當數學家們遇到二維圖形時，他們經常會問自己一個問題：類似於正方形瓷磚可以鋪滿整個廣場，如果給你這個形狀的瓷磚，你能用它來平鋪整個平面嗎？

　　對於目前提到的這四種形狀而言，答案是“不”，這幾種形狀都不能單獨平鋪一個完整的平面。用弧邊圖形鋪滿平面需要等量的凹面和凸面圓弧。

　　接下來，讓我們看看第五種形狀，或者説一類形狀。

　　三曲線

　　鏡片是一種最簡單的幾何形狀，它由兩條相同的弧線拼接而成，假設弧線的半徑為 1 ，鏡片就可以簡單得用弧的角度來描述。在弧線上取一點，將弧線分成兩部分，然後每部分都可以製作一個鏡片，從大的鏡片裏面減去兩個小的鏡片，就會得到一個不同尋常的三曲線的形狀。

　　圖三：三曲線幾何圖形

　　**任意的三曲線都能週期性地平鋪：**將三曲線圖形沿着某個方向平鋪，就會得到如圖四的形狀。

　　圖四：週期平鋪

　　如果構成三曲線的弧度的角度是 360° 的因數，而且弧線滿足特殊的比例（比如 1:2:3 ），那麼三曲線就會具有徑向和非週期性質的平鋪屬性，這個性質非常有趣，你可以自制這個拼圖進行嘗試。

　　1

　　2

　　圖五：拼圖

　　每個三曲線都可以升序的三個弧角來形容，其中兩個凹弧的和為大的凸弧的值。迄今為止製作的拼圖多是用 30°-60°-90°（圖五1）或 36°-72°-108° 弧度（圖五2）的三曲線製成，當然還可以用其他角度或者比例的圖。除了單面平鋪之外，還可以用多種類型的方式平鋪。

　　三曲線的幻影

　　三曲線的幻影是什麼樣子的？每個三曲線都存在對應的幻影，將三曲線按照一個固定的旋轉中心旋轉 180° 得到其幻影，根據三曲線的不同，幻影可能會跟原形狀分離，也可能會重疊。

　　圖六：一些三曲線的幻影

　　為了確定或者可視化三曲線的幻影，只需要三曲線旋轉半圈，再將連接兩個凹面的那個頂點定位在原始大圓弧的中心。例如，對於任何具有 180° 大弧的三曲線，無論兩個較小的弧線如何，幻影的中間頂點都位於半圓的中心。

　　圖七：一些具有180°大弧的三曲線以及幻影

　　對於一些對稱的三曲線，幻影是原始形狀旋轉 180° 之後的樣子，也是初始圖像沿原始三曲線對稱軸的鏡像對稱圖案。

　　圖八：一些對稱的三曲線和其幻影。

　　用幻影進行平鋪

　　當利用三曲線平鋪平面時，觀察平鋪三曲線的幻影，會發現幻影也在進行平鋪。正如預測的那樣，週期平鋪也會使得幻影週期排列。

　　圖九：帶有幻影的週期性平鋪

　　但是，仔細觀察這個形狀，會發現事情不是那麼簡單的。在圖九中，你必須得仔細觀察才能發現哪個幻影跟原始形狀是搭配的。你會發現，除了整組原始三曲線發生了 180° 旋轉之外，幻影位置還變了。如果將幻影位置逆旋轉 180° 會發現這組排列位置變了。

　　如果用不同大小的三曲線，這一現象會更加明顯。在圖十中，可以看出幻影不僅僅旋轉了 180° ，而且位於彼此對立的兩邊，不再共享一條弧。

　　圖十：轉置的幻影

　　這種怪異的行為也出現在徑向的平鋪中，對於圖十一來説，星星或者花瓣形狀的三曲線的幻影，是一個環形。

　　圖十一：帶有環形幻影的花型三曲線

　　因此，當利用三曲線進行平鋪時，其對應的幻影也以一種非直觀的、轉置的方式來平鋪。仔細想想，當你將三曲線形狀的材料進行平鋪時，其對應的幻影也在一種奇怪的方式進行平鋪，這件事讓人感到毛骨悚然。

　　用三曲線填充特定的形狀會發生什麼？

　　填充圓形

　　假如有任意一個鏡片形狀的物體，用三曲線來對其進行填充可以得到兩個較小的鏡片。每個小鏡片可以被兩個更小的鏡片和一個三曲線填充。以此類推，任何鏡片都可以用一系列越來越小的鏡片填充。這種情況也適用於圓，因為圓同樣是一種鏡片。

　　圖十二：鏡片的層次

　　填充圓的方法有許多，而這裏介紹一種普通的方法。首先用最大的三曲線來進行填充，然後向下尋找次一級最大的圓弧進行填充，以此類推，將“剩餘鏡片”留在下半部分的周邊。然後，這些剩餘鏡片被逐漸變小的三曲線填充，直至變為無限的序列。

　　這裏列舉四種方法，每種方法的介紹僅深入到一定的填充程度。

　　方案 A 是利用對稱的方法填充，每一層的弧線都一分為二，如下圖所示：第一個三曲線弧角為 90°-90°-180°，第二層是 45°-45°-90° ，第三層是 22.5°-22.5°-45° 。

　　圖十三：A: 圓的對稱填充

　　或者，可以將三曲線最小的弧角保持為 22.5° ，利用從同一點出發的圓弧（圖十四左），或者大的三曲線交錯的形式（圖十四右）來完成填充。

　　圖十四：方案 B 和 C 。

　　這兩例都用了七個三曲線，只是排列方式不同，兩種情況下頂部的三曲線都是 22.5°-157.5°-180° 。同時，以上三種填充方式，未填充的下半周的鏡片數量和尺寸都相同，恰好是八個 22.5° 的鏡片，這些鏡片也最終會用無限的小的三曲線來進行填充。

　　方案 D 是方案 B 的變體，只不過是用更細的三曲線進行的填充。剛開始，我們可以用 5° 的小角度（5°的小圓弧）來進行填充，最大的三曲線是 5°-175°-180° 。

　　圖十五：細的三曲線

　　圖十五沒有顯示圓下半部分的圓弧和鏡片，因為將其做的很小，所以在這個尺度下很難區分。**隨着小圓弧的角度大小趨近於 0° ，主要的三曲線的會趨近於無限多，而剩餘要填充的鏡片也會無限小。**這似乎是最簡單，也是最優雅的填充圓的方法。

　　此時，填充三曲線的幻影是什麼樣子的？

　　考慮上面 A-C 三種情況下的幻影，如圖十六所示。

　　圖十六：方案 A 的幻影

　　方案 A 中對稱的三曲線填充比較簡單，每個幻影都是原始圖形的鏡面對稱，頂點在原始圖形的對稱軸上。方案 B 和 C 的幻影如圖十七所示。

　　圖十七：B和C的幻影

　　可以發現，三種情況生成的幻影都是一樣的，這是為什麼呢？

　　圖十八：幻影的神秘輪廓

　　如果繼續填充圖形剩餘的鏡片，會發生什麼？以方案 A 為例，繼續填充的圖形如圖十九所示。

　　圖十九：填補剩餘“裂縫”

　　對於 A-C 繼續進行填充得到的結果是一樣的。對於每種填充方式，幻影填充新形狀外側的凸起之間的縫隙，或者向上延伸尖端。極限形狀是一個半徑為原始圓的直徑的半圓，減去兩個原始的半圓形狀，如圖二十所示。無論用對稱還是不對稱的三曲線對圓進行填充，其幻影得到的結果是一樣的。因此，幻影創造並填充了一個新的形狀：一個對稱的方圓（arbelos，由三個半圓組成的形狀）。

　　圖二十：產生的超級幻影

　　當方案 D 採用同樣的極限情況時，得到的結果相同：隨着填充的三曲線的數量接近無限大，幻影的形狀接近對稱的方圓。

　　圖二十一：方案D的轉換

　　我們可以反過來做，雖然會有點困難：我們可以從對稱的方圓開始，用無窮的三曲線填充它，然後製作這些三曲線的幻影，最後回到填充圓。無論圓是如何用三曲線填充的，這都是正確的。因為**對稱的方圓是填充圓中所有幻影三曲線的並集，所以我們稱對稱的方圓是圓的超級幻影。反之亦然，因為它是可逆的。**因此，一個形狀的超級幻影是該形狀的填充三曲線的幻影結合的輪廓。

　　回到鏡片

　　將上面對圓的操作同樣作用到鏡片上。回到方案B，從整個圓中找到一個鏡片（橙色輪廓），其對應的超級幻影圖二十二所示。

　　圖二十二：子鏡片和其超級幻影

　　更多子分級的鏡片和其幻影。

　　圖二十三：另一級別的鏡片和它的超級幻影

　　如果將不同級別的鏡片並排比對，會發現圖二十四的結果。

　　圖二十四：方案B填充下不同鏡片及其幻影

　　用三曲線填充鏡片的方法還有很多，我們也可以用小於 22.5° 的鏡片進行填充。就像我們填充圓時所做的那樣，可以將其填充到極限。最後，對於任何鏡片，超級幻影都是一個廣義對稱的方圓，而其中弧度可能會小於 180° 。這裏有一個由三條角度相同的圓弧構成的初始鏡片，鏡片跟其幻影的關係如圖二十五所示。

　　圖二十五：鏡片和其超級幻影

　　減去超級幻影

　　最後，我們注意到鏡片和超級幻影可以從更大的鏡片和超級幻影中減去。在下面的圖中，在原始鏡片（左）中移除了兩個較小的鏡片（中），從而得到了一個三曲線（右），而超級幻影在這個過程中相應地發生了改變。

　　圖二十六：移除兩個鏡片

　　再來看另一個例子，從一個圓中減去兩個鏡片，對應的超級幻影則是從完全對稱的方圓中減去兩個廣義對稱的方圓。

　　圖二十七：從圓中減去兩個鏡片

　　你可能會注意到，在上面的兩幅圖中，兩個較小的鏡片從較大的鏡片上取下，剩下的形成了一個三曲線。由此產生的超級幻影也是該三曲線的幻影。事實證明，對於任何三曲線，超級幻影都和幻影一樣！

　　這篇文章從簡單的直尺和圓規開始，從圓弧到鏡片，到三曲線，到幻影，到填充圓，超級幻影再到方圓。但還可以再進一步，把圓圈和其超級幻影結合起來，你快動手試一試吧~

　　作者：Tim Lexen

　　翻譯：Nuor

　　審校：C&C

　　原文鏈接：

　　https://plus.maths.org/content/ghosts-tiles https://plus.maths.org/content/ghosts-tiles-continued