天機運化，人道可窺；數度相推，算必程式_風聞

  總論

天機運化，人道可窺；數度相推，算必程式。

然而謬言數有神理者，在中為推衍預言，在西為名稱義理循辨。

《海島算經》由劉徽於三國魏景元四年（公元263年）撰成，本為《九章算術注》之第十卷，題為《重差》。

    唐初開始單行，體例亦是應用型的問題集形式。研究的對象全是有關高度與距離的測量。

所使用的工具也都是利用垂直關係所連接起來的測竿與橫棒。

有人説是實用三角法的啓蒙，不過其內容並未涉及三角學中的正餘弦概念。

所有問題都是利用兩次或多次測望所得的數據，來推算可望而不可及的目標的高、深、廣、遠。

   此卷書被收錄入明成祖時編修的永樂大典中，現保存在英國劍橋大學圖書館。

《海島算經》共設九問，均是利用表尺從不同位置多次測望，取多次測量所得的差數，進行計算從而求得山高或谷深，這就是劉徽的重差理論。

《海島算經》中，從題目文字可知所有計算都是用籌算進行的。“為實”指作為一個分數的分子，“為法”指作為分數的分母。所用的長度單位有裏、丈、步、尺、寸：1裏=180丈=1800尺；1丈=10尺：1步=6尺，1尺=10寸。

第一題：

  今有望海島，立兩表，齊高三丈，前後相去千步，令後表與前表參相直。從前表卻行一百二十三步，人目着地取望島峯，與表末參合。從後表卻行一百二十七步，人目着地取望島峯，亦與表末參合。問島高及去表各幾何？

  答曰：島高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。

  術曰：以表高乘表間為實；相多為法，除之。所得加表高，即得島高。求前表去島遠近者：以前表卻行乘表間為實；相多為法。除之，得島去表數。

今人解答：

AA’和BB’是兩根標杆（兩表），現在的目標是測量CD的高度（島高）和CA的距離（去表）。

已知從P點通過A’剛好望到D，從Q點通過B’也剛好望到D。則根據相似三角形屬性：

CD/CP = AA’/AP

CD/CQ = BB’/BQ

∵AA’=BB’ → CP/AP = CD/AA’ = CD/BB’ = CQ/BQ

(CA+AP)/AP = (CA+AB+BQ)/BQ

CA/AP = (CA+AB)/BQ

CA*BQ = (CA+AB)*AP = CA*AP + AB*AP

CA*(BQ-AP) = AB*AP

CA = AB*AP/(BQ-AP)

CD = CP*AA’/AP = (CA+AP)*AA’/AP = CA*AA’/AP + AA’ = AB*AA’/(BQ-AP) + AA'

【術曰：以表高乘表間為實；相多為法，除之。所得加表高，即得島高。求前表去島遠近者：以前表卻行乘表間為實；相多為法。除之，得島去表數。】這裏【表高】=AA’，【表間】=AB，【相多】=BQ-AP，【前表卻行】=AP，跟以上兩道等式完全吻合！

【今有望海島，立兩表，齊高三丈，前後相去千步，令後表與前表參相直。從前表卻行一百二十三步，人目着地取望島峯，與表末參合。從後表卻行一百二十七步，人目着地取望島峯，亦與表末參合。問島高及去表各幾何？】

這裏以步作基本單位：

【表高】=3丈=30尺=5步（AA’=5），

【表間】=1000步（AB=1000），

【前表卻行】=123步（AP=123），

【後表卻行】=127步（BQ=127），

【相多】=127-123=4步（BQ-AP=4）。

得：CD = AB*AA’/(BQ-AP) + AA’ = 1000*5/4 + 5 = 1250 + 5 = 1255CA = AB*AP/(BQ-AP) = 1000*123/4 = 30750

【答曰：島高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。】【島高】= 4裏 + 55步 = 7200尺 + 55步 = 1200步 + 55步 = 1255步【去表】= 102裏 + 150步 = 183600尺 + 150步 = 30600步 + 150步 = 30750步，結果完全吻合！

第二題

  今有望松生山上，不知高下。立兩表齊，高二丈，前後相去五十步，令後表與前表參相直。從前表卻行七步四尺，薄地遙望松末，與表端參合。又望松本，入表二尺八寸。復從後表卻行八步五尺，薄地遙望松末，亦與表端參合。問松高及山去表各幾何？

  答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四。

  術曰：以入表乘表間為實。相多為法，除之。加入表，即得松高。求表去山遠近者：置表間，以前表卻行乘之為實。相多為法，除之，得山去表。

今人解答：

AA’和BB’是兩根標杆（兩表），

R是AA’上的一個刻度點，

現在的目標是測量DE的高度（松高）和CA的距離（山去表）。

已知從P點通過A’剛好望到E，通過R剛好望到D，又從Q點通過B’也剛好望到E。

則根據相似三角形屬性：

CE/CP=AA’/AP

CE/CQ=BB’/BQ

CD/CP=AR/AP

∵AA’=BB’ → CP/AP = CE/AA’ = CE/BB’ = CQ/BQ

(CA+AP)/AP = (CA+AB+BQ)/BQ

CA/AP = (CA+AB)/BQ

CA*BQ = (CA+AB)*AP = CA*AP + AB*AP

CA*(BQ-AP) = AB*AP

CA = AB*AP/(BQ-AP)

DE = CE - CD = CP*AA’/AP - CP*AR/AP = (CA+AP)*(AA’-AR)/AP

DE = AB*RA’/(BQ-AP) + RA'

【術曰：以入表乘表間為實。相多為法，除之。加入表，即得松高。求表去山遠近者：置表間，以前表卻行乘之為實。相多為法，除之，得山去表。】

這裏【入表】=RA’，【表間】=AB，【相多】=BQ-AP，【前表卻行】=AP，式子完全吻合！

【今有望松生山上，不知高下。立兩表齊，高二丈，前後相去五十步，令後表與前表參相直。從前表卻行七步四尺，薄地遙望松末，與表端參合。又望松本，入表二尺八寸。復從後表卻行八步五尺，薄地遙望松末，亦與表端參合。問松高及山去表各幾何？】

這次以【尺】為基本單位：

【表高】=2丈=20尺（AA’=20），

【表間】=50步=300尺（AB=300），

【前表卻行】=7步+4尺=46尺（AP=46），

【後表卻行】=8步+5尺=53尺（BQ=53），

【相多】=53-46=7尺（BQ-AP=7），

【入表】=2尺+8寸=2.8尺（RA’=2.8）。

得：DE = AB*RA’/(BQ-AP) + RA’ = 300*2.8/7 + 2.8 = 122.8CA = AB*AP/(BQ-AP) = 300*46/7 = 1971+3/7

【答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四。】

【松高】= 12丈 + 2尺 + 8寸 = 120尺 + 2.8尺 = 122.8尺

【山去表】= 1裏 + 28步 + 4/7步 = 1800尺+ 168尺 + 24/7尺 = 1971+3/7尺結果完全吻合！

第三題：

  今有南望方邑，不知大小。立兩表東、西去六丈，齊人目，以索連之。令東表與邑　東南隅及東北隅參相直。當東表之北卻行五步，遙望邑西北隅，入索東端二丈二尺六寸半。又卻北行去表一十三步二尺，遙望邑西北隅，適與西表相參合。問邑方及邑去表各幾何？

  答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步。

  術曰：以入索乘後去表，以兩表相去除之，所得為景長；以前去表減之，不盡以為法。置後去表，以前去表減之，餘以乘入索為實。實如法而一，得邑方。求去表遠近者：置後去表，以景長減之，餘以乘前去表為實。實如法而一，得邑去表。

今人解答：

CDEF是一個四牆分別面向正東南西北方的正方形邑城，

A和A’分別是兩根標杆，

中間用一條繩索AA’連着，

R是AA’上的一個刻度點，

現在的目標是測量CD的寬度（邑方）和CA的距離（邑去表）。

已知FCAPQ成一直線，

AA’與CD平行，

從P點通過R剛好望向D，從Q點通過A’也剛好望向D。

則根據相似三角形屬性：

CD/CP = AR/AP

CD/CQ = AA’/AQ

CP*AR/AP = CD = CQ*AA’/AQ

(CA+AP)*AQ*AR = (CA+AQ)*AP*AA'

CA*AQ*AR + AP*AQ*AR = CA*AP*AA’ + AQ*AP*AA'

CA*AQ*AR - CA*AP*AA’ = AP*AQ*AA’ - AP*AQ*AR

CA*AQ*AR/AA’ - CA*AP = AP*AQ - AP*AQ*AR/AA'

CA*(AQ*AR/AA’-AP) = AP*(AQ-AQ*AR/AA')

CA = (AQ-AQ*AR/AA’)*AP / (AQ*AR/AA’-AP)

CD = CQ*AA’/AQ = (CA+AQ)*AA’/AQ = CA*AA’/AQ + AA'

CD = (AA’-AR)*AP/(AQ*AR/AA’-AP) + (AQ*AR-AP*AA’)/(AQ*AR/AA’-AP)

CD = (AQ-AP)*AR / (AQ*AR/AA’-AP)

【術曰：以入索乘後去表，以兩表相去除之，所得為景長；以前去表減之，不盡以為法。置後去表，以前去表減之，餘以乘入索為實。實如法而一，得邑方。求去表遠近者：置後去表，以景長減之，餘以乘前去表為實。實如法而一，得邑去表。】

【入索】=AR，

【後去表】=AQ，

【兩表相去】=AA’，

【景長】=AQ*AR/AA’，

【前去表】=AP，

【不盡】=AQ*AR/AA’-AP，

式子完全吻合！

【今有南望方邑，不知大小。立兩表東、西去六丈，齊人目，以索連之。令東表與邑東南隅及東北隅參相直。當東表之北卻行五步，遙望邑西北隅，入索東端二丈二尺六寸半。又卻北行去表一十三步二尺，遙望邑西北隅，適與西表相參合。問邑方及邑去表各幾何？】

【兩表相去】=AA’=6丈=60尺，

【前去表】=AP=5步=30尺，

【入索】=AR=2丈+2尺+6.5寸=22.65尺，

【後去表】=AQ=13步+2尺=80尺，

【景長】=80*22.65/60=30.2尺，

【不盡】=30.2-30=0.2尺。

得：CD = (AQ-AP)*AR / (AQ*AR/AA’-AP) = (80-30)*22.65 / 0.2 = 5662.5CA = (AQ-AQ*AR/AA’)*AP / (AQ*AR/AA’-AP) = (80-30.2)*30 / 0.2 = 7470

​【答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步。】

【邑方】= 3裏 + 43步 + 3/4步 = 5400尺 + 258尺 + 18/4尺 = 5662.5尺

【邑去表】= 4裏 + 45步 = 7200尺 + 270尺 = 7470尺

結果完全吻合！

第四題：

  今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺。從勺端望谷底，入下股九尺一寸。又設重矩於上，其矩間相去三丈。更從勺端望谷底，入上股八尺五寸。問谷深幾何？

  答曰：四十一丈九尺。

  術曰：置矩間，以上股乘之，為實。上、下股相減，餘為法，除之。所得以勾高減之，即得谷深。

今人解答：

AA’和BB’是在深谷懸崖邊上豎起的兩段垂直柱子（勾），

AP和BQ則為柱子底部伸出的水平杆子（股），

P、Q為杆子上面的刻度點，

CD為深谷底部的一條水平線，

現在的目標是測量CA的長度（谷深）。

已知從A’通過P點剛好望到D，

從B’通過Q點也剛好望到D。

則根據相似三角形屬性：

CD/CA’ = AP/AA'

CD/CB’ = BQ/BB'

∵AA’ = BB’ → CA’*AP = CD*AA’ = CD*BB’ = CB’*BQ

(CA+AA’)*AP = (CA+AB+BB’)*BQ

CA*AP-CA*BQ = AB*BQ+BB’*BQ-AA’*AP

CA*(AP-BQ) = AB*BQ-AA’*(AP-BQ)

CA = AB*BQ/(AP-BQ)-AA'

【術曰：置矩間，以上股乘之，為實。上、下股相減，餘為法，除之。所得以勾高減之，即得谷深。】

【矩間】=AB，

【上股】=BQ，

【下股】=AP，

【勾高】=AA’，

式子完全吻合！

【今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺。從勺端望谷底，入下股九尺一寸。又設重矩於上，其矩間相去三丈。更從勺端望谷底，入上股八尺五寸。問谷深幾何？】

【勾高】=AA’=6尺，

【下股】=AP=9尺+1寸=9.1尺，

【矩間】=AB=3丈=30尺，

【上股】=BQ=8尺+5寸=8.5尺。

得：CA = AB*BQ/(AP-BQ)-AA’ = 30*8.5/(9.1-8.5)-6 = 419

【答曰：四十一丈九尺。】

【谷深】= 41丈+9尺 = 419尺結果完全吻合！

第五題：

  今有登山望樓，樓在平地。偃矩山上，令勾高六尺。從勾端斜望樓足，入下股一丈二尺。又設重矩於上，令其間相去三丈。更從勾端斜望樓足，入上股一丈一尺四寸。又立小表於入股之會，復從勾端斜望樓岑端，入小表八寸。問樓高几何？

  答曰：八丈。

  術曰：上、下股相減，餘為法；置矩間，以下股乘之，如勾高而一。所得，以入小表乘之，為實。實如法而，即是樓高。

今人解答：

AA’和BB’是在山上豎起的兩段垂直柱子（勾），

AP和BQ則為柱子底部伸出的水平杆子（股），

P、Q為杆子上面的刻度點。

另外在Q點上豎立起一根小標杆QR，

R為上面的一個刻度點。

DE為山下平地上的一座高樓，

現在的目標是測量它的高度（樓高）。

已知從A’通過P點剛好望到D，

從B’通過Q點也剛好望到D，

通過R點則剛好望到E。

則根據相似三角形屬性：

CD/CA’ = AP/AA'

CD/CB’ = BQ/BB'

CD/(CB’-DE) = BQ/(BB’-QR)

∴BQ*CB’/BB’*(BB’-QR) = BQ*(CB’-DE)

CB’-DE = CB’-CB’*QR/BB'

DE = (CA+AB+BB’)*QR/BB'

從上題得：

CA = AB*BQ/(AP-BQ)-AA'

又：AA’ = BB'

∴DE = (AB*BQ/(AP-BQ)+AB)*QR/AA’DE = AB*AP/AA’*QR/(AP-BQ)

【術曰：上、下股相減，餘為法；置矩間，以下股乘之，如勾高而一。所得，以入小表乘之，為實。實如法而，即是樓高。】

【上股】=BQ，

【下股】=AP，

【矩間】=AB，

【勾高】=AA’，

【入小表】=QR，

式子完全吻合！

【今有登山望樓，樓在平地。偃矩山上，令勾高六尺。從勾端斜望樓足，入下股一丈二尺。又設重矩於上，令其間相去三丈。更從勾端斜望樓足，入上股一丈一尺四寸。又立小表於入股之會，復從勾端斜望樓岑端，入小表八寸。問樓高几何？】

【勾高】=AA’=6尺，

【下股】=AP=1丈+2尺=12尺，

【矩間】=AB=3丈=30尺，

【上股】=BQ=1丈+1尺+4寸=11.4尺，

【入小表】=QR=8寸=0.8尺。

得：DE = AB*AP/AA’*QR/(AP-BQ) = 30*12/6*0.8/(12-11.4) = 80

【答曰：八丈。】

【樓高】= 8丈 = 80尺

結果完全吻合！

第六題：

  今有東南望波口，立兩表南、北相去九丈，以索薄地連之。當北表之西卻行去表六丈，薄地遙望波口南岸，入索北端四丈二寸。以望北岸，入前所望表裏一丈二尺。又卻行，後去表一十三丈五尺。薄地遙望波口南岸，與南表參合。問波口廣幾何？

  答曰：一里二百步。

  術曰：以後去表乘入索，如表相去而一。所得，以前去表減之，餘以為法；復以前去表減後去表，餘以乘入所望表裏為實，實如法而一，得波口廣。

今人解答：

CD是一個縱貫南北的波口（河口），

A和A’分別是兩根標杆，

中間用一條繩索AA’連着，

R和S是AA’上的兩個刻度點，

現在的目標是測量CD的寬度（波口廣）。

已知AA’與CD平行，

APQ與CD垂直，

B點為APQ與CD的延長線交點，

從P點通過R剛好望向C，

通過S則剛好望向D，

從Q點通過A’也剛好望向D。

則根據相似三角形屬性：

BC/BP = AR/AP

BD/BP = AS/AP

→(BC+CD)/BP = (AR+RS)/AP

→BP = CD*AP/RS

BD/BQ = AA’/AQ

→BD*AQ = (BP+PQ)*AA'

→(BP*AS/AP)*AQ = BP*AA’+PQ*AA'

→(CD*AP/RS)*(AQ*AS/AP-AA’) = (AQ-AP)*AA'

→CD*(AQ*AS-AP*AA’)/RS = (AQ-AP)*AA'

CD = (AQ-AP)*RS/(AQ*AS/AA’-AP)

【術曰：以後去表乘入索，如表相去而一。所得，以前去表減之，餘以為法；復以前去表減後去表，餘以乘入所望表裏為實，實如法而一，得波口廣。】

【後去表】=AQ，

【入索】=AS，

【表相去】=AA’，

【前去表】=AP，

【入所望表裏】=RS，

式子完全吻合！

【今有東南望波口，立兩表南、北相去九丈，以索薄地連之。當北表之西卻行去表六丈，薄地遙望波口南岸，入索北端四丈二寸。以望北岸，入前所望表裏一丈二尺。又卻行，後去表一十三丈五尺。薄地遙望波口南岸，與南表參合。問波口廣幾何？】

【表相去】=AA’=9丈=90尺，

【前去表】=AP=6丈=60尺，

【入索】=AS=4丈+2寸=40.2尺，

【入所望表裏】=RS=1丈+2尺=12尺，

【後去表】=AQ=13丈+5尺=135尺。

得：CD = (AQ-AP)*RS/(AQ*AS/AA’-AP) = (135-60)*12/(135*40.2/90-60) = 900/0.3 = 3000【答曰：一里二百步。】

【波口廣】= 1裏 + 200步 = 1800尺 + 1200尺 = 3000尺

結果完全吻合！

第七題：

  今有望清淵下有白石。偃矩岸上，令勾高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又設重矩於上，其間相去四尺。更從勾端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。問水深幾何？

  答曰：一丈二尺。

  術曰：置望水上、下股相減，餘以乘望石上股為上率。又以望石上、下股相減，餘以乘望水上股為下率。兩率相減，餘以乘矩間為實；以二差相乘為法。實如法而一，得水深。

今人解答：

AA’和BB’是在岸上豎起的兩段垂直柱子（勾），

AP和BR則為柱子底部伸出的水平杆子（股），

P、Q、R、S為杆子上面的刻度點，

CD為清淵水面的水平線，

EF為淵底的水平線，F點有顆白石。

現在的目標是測量CE的長度（水深）。

已知從A’通過P點剛好望到D，

通過Q點剛好望到F，

從B’通過R點剛好望到D，

通過S點剛好望到F。

則根據相似三角形屬性：

CD/CA’ = AP/AA'

EF/EA’ = AQ/AA'

CD/CB’ = BR/BB'

EF/EB’ = BS/BB'

∵AA’ = BB’ → CA’*AP = CD*AA’ = CD*BB’ = CB’*BR

(CA+AA’)*AP = (CA+AB+BB’)*BR

CA*AP-CA*BR = AB*BR+AA’*BR-AA’*AP

CA*(AP-BR) = AB*BR-AA’*(AP-BR)

CA = AB*BR/(AP-BR)-AA'

∵AA’ = BB’ → EA’*AQ = EF*AA’ = EF*BB’ = EB’*BS

(EA+AA’)*AQ = (EA+AB+BB’)*BS

EA*AQ-EA*BS = AB*BS+AA’*BS-AA’*AQ

EA*(AQ-BS) = AB*BS-AA’*(AQ-BS)

EA = AB*BS/(AQ-BS)-AA'

∴CE = EA-CA = AB*BS/(AQ-BS)-AB*BR/(AP-BR)

CE = ((AP-BR)*BS-(AQ-BS)*BR)*AB/(AP-BR)/(AQ-BS)

【術曰：置望水上、下股相減，餘以乘望石上股為上率。又以望石上、下股相減，餘以乘望水上股為下率。兩率相減，餘以乘矩間為實；以二差相乘為法。實如法而一，得水深。】

【望水上股】=BR，

【望水下股】=AP，

【望石上股】=BS，

【望石下股】=AQ，

【矩間】=AB，

式子完全吻合！

【今有望清淵下有白石。偃矩岸上，令勾高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又設重矩於上，其間相去四尺。更從勾端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。問水深幾何？】

【勾高】=AA’=3尺，

【望水下股】=AP=4尺+5寸=4.5尺，

【望石下股】=AQ=2尺+4寸=2.4尺，

【矩間】=AB=4尺，

【望水上股】=BR=4尺，

【望石上股】=BS=2尺+2寸=2.2尺。

得：CE = ((AP-BR)*BS-(AQ-BS)*BR)*AB/(AP-BR)/(AQ-BS) = ((4.5-4)*2.2-(2.4-2.2)*4)*4/(4.5-4)/(2.4-2.2) = (1.1-0.8)*4/0.5/0.2 = 1.2*2*5 = 12

【答曰：一丈二尺。】

【水深】= 1丈 + 2尺 = 12尺結果完全吻合！

第八題：

  今有登山望津，津在山南。偃矩山上，令勾高一丈二尺。從勾端斜望津南岸，入下股二丈三尺一寸。又望津北岸，入前望股裏一丈八寸。更登高巖，北卻行二十二步，上登五十一步，偃矩山上。更從勾端斜望津南岸，入上股二丈二尺。問津廣幾何？

  答曰：二里一百二步。

  術曰：以勾高乘下股，如上股而一。所得以勾高減之，餘為法；置北行，以勾高乘之，如上股而一。所得以減上登，餘以乘入股裏為實。實如法而一，即得津廣。

今人解答：

AA’和BB’是在山上兩處豎起的垂直柱子（勾），

AP和BR則為柱子底部伸出的水平杆子（股），

P、Q、R為杆子上面的刻度點，

EF為山下的一個津（渡口）。

現在的目標是測量EF的寬度（津廣）。

已知從A’通過P點剛好望到F，

通過Q點剛好望到E，

從B’通過R點剛好望到F。

則根據相似三角形屬性：

DF/DA’ = AP/AA'

DE/DA’ = AQ/AA'

→EF = DF-DE = DA’*(AP-AQ)/AA’ = DA’*PQ/AA'

CF/CB’ = BR/BB'

→(CD+DF)*BB’ = (CG+GB+BB’)*BR

→(GA+DA’*AP/AA’)*AA’ = (DA+GB+AA’)*BR

→GA*AA’+DA’*AP = DA’*BR+GB*BR

→DA’*(AP-BR) = GB*BR-GA*AA'

→EF*(AP-BR) = (GB*BR-GA*AA’)*PQ/AA'

EF = (GB-GA*AA’/BR)*PQ/(AP*AA’/BR-AA')

【術曰：以勾高乘下股，如上股而一。所得以勾高減之，餘為法；置北行，以勾高乘之，如上股而一。所得以減上登，餘以乘入股裏為實。實如法而一，即得津廣。】

【勾高】=AA’，

【下股】=AP，

【上股】=BR，

【北行】=GA，

【上登】=GB，

【入股裏】=PQ，

式子完全吻合！

【今有登山望津，津在山南。偃矩山上，令勾高一丈二尺。從勾端斜望津南岸，入下股二丈三尺一寸。又望津北岸，入前望股裏一丈八寸。更登高巖，北卻行二十二步，上登五十一步，偃矩山上。更從勾端斜望津南岸，入上股二丈二尺。問津廣幾何？】

【勾高】=AA’=1丈+2尺=12尺，

【下股】=AP=2丈+3尺+1寸=23.1尺，

【入股裏】=PQ=1丈+8寸=10.8尺，

【北行】=GA=22步=132尺，

【上登】=GB=51步=306尺，

【上股】=BR=2丈+2尺=22尺。

得：EF = (GB-GA*AA’/BR)*PQ/(AP*AA’/BR-AA’) = (306-132*12/22)*10.8/(23.1*12/22-12) = 234*10.8/0.6 = 4212【答曰：二里一百二步。】

【津廣】= 2裏 + 102步 = 3600尺 + 612尺 = 4212尺

結果完全吻合！

第九題：

  今有登山臨邑，邑在山南。偃矩山上，令勾高三尺五寸。令勾端與邑東南隅及東北隅參相直。從勾端遙望東北隅，入下股一丈二尺。又施橫勾於入股之會，從立勾端望西北隅，入橫勾五尺。望東南隅，入下股一丈八尺。又設重矩於上，令矩間相去四丈。更從立勾端望東南隅，入上股一丈七尺五寸。問邑廣長各幾何？

  答曰：南北長一里百步；東西廣一里三十三步、少半步。

  術曰：以勾高乘東南隅入下股，如上股而一，所得減勾高，餘為法；以東北隅下股減東南隅下股，餘以乘矩間為實。實如法而一，得邑南北長也。求邑廣：以入橫勾乘矩間為實。實如法而一，即得邑東西廣。

今人解答：

DEFG是一個在地平面上，

四牆分別面向正東南西北方的矩形邑城，

AA’和BB’是在山上豎起的兩段垂直柱子（勾），

AR和BS則為柱子底部伸出的水平杆子（股），

PQ則為從P點向橫伸出跟AR成直角的水平杆子（橫勾），

P、Q、R、S都是杆子上面的刻度點。

現在的目標是測量DG的長度（南北長）和DE的寬度（東西廣）。

已知從A’通過P點剛好望到D，

通過Q點剛好望到E，

通過R點剛好望到G，

從B’通過S點也剛好望到G。

則根據相似三角形屬性：

CD/CA’ = AP/AA'

CG/CA’ = AR/AA'

→CG*AA’ = CA’*AR

CG/CB’ = BS/BB'

→(CA+AB+BB’)*BS = CG*BB'

∴(CA+AB+AA’)*BS = CA’*AR

CA’*(AR-BS) = AB*BS

CA’/AA’ = AB/(AA’*AR/BS-AA')

∴DG = CG-CD = (AR-AP)*CA’/AA'

DG = (AR-AP)*AB/(AA’*AR/BS-AA')

又根據相似三角形屬性：

DA’/CA’ = PA’/AA'

DE/DA’ = PQ/PA'

∴DE = PQ*DA’/PA’ = PQ*CA’/AA’DE = PQ*AB/(AA’*AR/BS-AA')

【術曰：以勾高乘東南隅入下股，如上股而一，所得減勾高，餘為法；以東北隅下股減東南隅下股，餘以乘矩間為實。實如法而一，得邑南北長也。求邑廣：以入橫勾乘矩間為實。實如法而一，即得邑東西廣。】

【勾高】=AA’，

【東南隅下股】=AR，

【上股】=BS，

【東北隅下股】=AP，

【矩間】=AB，

【入橫勾】=PQ，

式子完全吻合！

【今有登山臨邑，邑在山南。偃矩山上，令勾高三尺五寸。令勾端與邑東南隅及東北隅參相直。從勾端遙望東北隅，入下股一丈二尺。又施橫勾於入股之會，從立勾端望西北隅，入橫勾五尺。望東南隅，入下股一丈八尺。又設重矩於上，令矩間相去四丈。更從立勾端望東南隅，入上股一丈七尺五寸。問邑廣長各幾何？】

【勾高】=AA’=3尺+5寸=3.5尺，

【東北隅下股】=AP=1丈+2尺=12尺，

【入橫勾】=PQ=5尺，

【東南隅下股】=AR=1丈+8尺=18尺，

【矩間】=AB=4丈=40尺，

【上股】=BS=1丈+7尺+5寸=17.5尺。

得：DG = (AR-AP)*AB/(AA’*AR/BS-AA’) = (18-12)*40/(3.5*18/17.5-3.5) = 240/0.1 = 2400DE = PQ*AB/(AA’*AR/BS-AA’) = 5*40/(3.5*18/17.5-3.5) = 200/0.1 = 2000

【答曰：南北長一里百步；東西廣一里三十三步、少半步。】

【南北長】= 1裏 + 100步 = 1800尺 + 600尺 = 2400尺

【東西廣】= 1裏 + 33步 + 1/3步 = 1800尺 + 198尺 + 2尺 = 2000尺

結果完全吻合！

參考資料：

《海島算經》討論組，百度貼吧，網友毒酒滴凍鴨；