形式系統和數學_風聞

本文討論形式系統作為今日數學的基本背景結構及其對未來的啓示。

撰文 | 黎景輝

01

引 言

可以説形式系統是躲在數學背後的神秘百年老字號。看過多層大樓的建造的人都知道，工人是先架起一個鋼架，然後安裝牆壁窗户，到大樓造好的時候已經看不見原先那鋼架了。打個比喻，把數學看作這個大樓，形式系統便是隱藏在大樓裏的鋼架。這個鋼架出現問題，大樓便會倒塌。鋼架的毛病是大樓的隱憂。同樣若是支撐着你正在使用的數學的支架——“形式系統”出現矛盾，那當然會給用户很大的破壞！因為這個危機，一些數學家、計算機專家以至國防科學家關心數學背後的形式系統。雖然過去幾十年我們的科學家工程師為了解決眼前的課題已筋疲力倦，實在沒有空去想關於“形式系統”這些基礎問題，但是近年以機器計算作為研究人工智能的工具我們已開始直接用上了形式系統。正如在大樓的人不會拆牆看看鋼架，大部分學數學、教數學、用數學的人都不會去看看支撐着數學的形式系統。這樣形式系統並不是國內人們普遍的常識。更重要的是，形式系統發動了一場革命，結構變為數學的主題。因此我們更覺得從一般人以至研究高等教育的學者，管理學校的幹部亦是值得花幾分鐘瞭解一點形式系統與數學的故事。

大樓的鋼架

大樓的鋼架設計圖

未開始之前還得談談題目的另外一個主角：“數學”。大家都在中小學念過數學。不過這只不過是初等算術和圖形移運的習題。所以大家對十七世紀之後的數學容易產生誤會，因此數學在我國曾被戴上抽象、唯心、形而上等負面的標記，終於把我國科學與工程的發展拉慢一些。幸好過去幾十年，在眾多數學家如華羅庚、吳文俊、丁石孫、鄧東皋、齊民友、石鍾慈、徐利治、林羣、張景中、李毓佩、馮克勤、袁向東、劉建亞……等人努力推廣數學科普教育之下，羣眾逐漸增加對現代數學的認識，一些介紹數學的優秀作品獲得出版，比如文[1-7]。我們就藉助這些書籍代我們解説“數學”吧。最後引丁石孫在齊民友的《數學與文化》[8]一書中的“寫在前面”的第一句是這樣説的：“20世紀80年代，錢學森同志曾在一封信中提出了一個觀點，他認為數學應該與自然科學和社會科學並列，他建議稱之為數學科學，他認為在人類整個知識系統中，數學不應該被看成自然科學的一個分支，而應提高到與自然科學和社會科學同等重要的地位。”今日這還是值得我們參考的。

我們這裏是個長達百年的故事，老的人已忘記了，年青的沒有時間去知道。就讓我們為大家説説形式系統跑進數學的故事。我們從一百年前開始。

02

二十世紀初關於數學基礎的三個觀點

當人類興高采烈進入二十世紀的時候，周邊的科技不斷帶來新的驚喜。此時數學家和哲學家，不約而同地問同一個問題：數學家研究的、物理學家使用的數學是從哪裏來的呢？這是問數學的起點或基礎是什麼呢？數學是人類思維的構造還是等待人類發現大自然本身的規律？為什麼可以“應用”數學解開自然的奧秘？當時有三派人各持己見激烈辯論。過了三十年，邏輯大師哥德爾（K. Gödel, 1906-1978）一語點破他們的迷惑[9]。從此數理邏輯另闢新途。一方面啓發電子計算機科學的理論，進而在電子計算機出現後成為這個工業的骨幹思想。另一方面形式系統透過集合論成為所有數學背後的不言而喻密藏。時過百年人類又面臨新的挑戰：第四次工業革命。這次革命的四個主流：基因工程，智能工程，材料工程，量子工程的共同支柱是——數學！如上一世紀一樣，未來數學的基礎結構亦將會深度影響本世紀工業的全面變化，這對一個國家的經濟與國防的影響是無容忽視的。因此我們有必要對我們的數學教育作適當的安排以求得此次工業革命的最大收益。

本節餘下將簡單介紹二十世紀初關於數學基礎的三個觀點 ：直觀論、邏輯論、形式論。更詳細的討論見 Kneebone[10]。齊民友《數學與文化》2.6, 2.7 節。此外從 Hart[11], van Heijenoort[12], Putnam[13], Tymoczko[14]等人所編的文集可以看到數學家和哲學家一直都很關心本節的問題。

羅素與懷特海的《數學原理》是關於哲學、數學和數理邏輯的三卷鉅著

一.直觀論 (Intuitionism) 或構造論 (Constructivism)：認為數學純粹是人心理活動的構造，而不是存在於客觀現實中的基本原理。主要發起人是荷蘭數學家L. E. J. Brouwer (1881-1966)。可以參考A. Heyting關於直觀論的名著。

二.邏輯論(Logicism)：數學只是邏輯的一部分。從一組符號，一組邏輯公理和一組“裝組-操作”規則開始，在絕對沒有使用“數”的直觀的條件下，推導出“自然數”，以至所有數學。

三.這個觀點首先由德國邏輯家費雷格(G. Frege,1848-1925)提出。他在Begriffsschrift一文中指出數學系統應具備以下三種性質：1.協調性(Consistency)——系統不可能證出互相矛盾的結果。2.完備性(Completeness)——系統可以證明在系統裏產生的命題或這命題的否定命題。3.判定性(Decidability)——存在程序判定任何命題是否可以在系統中證明。費雷格在他的書Grundlagen和Grundgesetze企圖證明可以純粹從邏輯獲得整數的算術。不過羅素在1903年給費雷格的信指出可以從費雷格書中的定律五推出悖論（見Russell著My philosophical development Chapter VII, 75-76頁）。

從此邏輯論這個計劃便轉入羅素與懷特海的手中。他們撰寫三卷鉅著《數學原理》[15]。羅素（B. Russell, 1872-1970），英國哲學家，獲1950年諾貝爾文學獎，羅素於1920年10月至1921年7月在北京大學講學[16]。懷特海（A. N. Whitehead,1861-1947），英國數學家。羅素在My philosophical development的七、八、十章談他對這部書的看法。更重要的是哥德爾[17]對此書的批判。

四.形式論(Formalism)

大家從小就受數學的迫害，那就不用説什麼是數學。什麼是形式系統？對年青的比較好説，一個形式系統就好像一個計算機的程序。對其他的人，見過一個形式系統的就説很簡單，從未見過就難説了。正如有人跟我説什麼是雍正青花釉裏紅高足盌，聽完了還是一頭霧水，不如看個圖片，雖然還是不懂，但也覺得好像相識。

一個形式系統包括：1.語言，2.邏輯，3.理論。比如定義“羣”的公理便放在“羣的形式系統”的理論部分。希爾伯特(D. Hilbert, 1862-1943)的形式論是説：數學是形式系統。我們可以在一個形式系統裏證明一個理論是沒有矛盾的。我們只容許“有限的證明”(finitary proof)——這是指,我們只考慮有限個對象和函數，我們可以計算這些函數的值，我們可以構造這些對象,當我們説某定理對某些對象成立，我們是指這個證明是適合每一個所指的對象。

關於邏輯部分，希爾伯特和Ackermann在1928年出版了一本教材Grundzüge der theoretischen Logik。不幸書中的謂詞演算的代入規則是錯的。要到1949年第三版才成功更正錯誤（此書的英譯本是譯自第二版）。詳情見Church著Introduction to mathematical logic第289-290頁和Kleene著Mathematical logic第107頁，第21節。對形式論的現代的發展可看Franks著The Autonomy of Mathematical Knowledge和Sieg著Hilbert’s Program s and Beyond。

在1931年的文章Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme哥德爾證明了：

滿足協調性的包含整數的算術的公理系統必不完備。包含整數的算術的公理系統內不能證明自身的協調性。

因此，按羅素的邏輯論或希爾伯特的形式論，不可能從有限的公理集推導出全部數學。

我們沒有嚴格定義邏輯。大家把熟悉的推理規則看作邏輯便好了。當然要準確地進行以上的討論便需要學習一些數理邏輯的。雖然發現了有很多全新的觀念和方法，可以説關於二十世紀開始的時候所提出的問題的探討所得的結果並不令人滿意。故事的下一段便到了二十世紀的中葉。

03

布爾巴基的起點的批判

尼古拉·布爾巴基（Nicolas Bourbaki）是20世紀一羣法國數學家的筆名。布爾巴基認為：數學是研究結構的理論。數學有三種基本的結構：代數結構，序結構，拓撲結構。布爾巴基的目的是在集合論的基礎上，用公理方法對所有結構進行謹慎嚴格演繹，數學便是如此所得的體系。他們的工作始於1935年，他們把他們的工作成果寫為《數學原本》（éléments de mathématique）由巴黎的Hermann出版社開始出版。至1998年，交換代數的第10章，出版工程告終。雖然《數學原本》全書有八千頁，但當然並不包含所有數學，甚至不包含所有的基本數學，最簡單的原因是數學像一個有機體是不停在演變的。更詳細的介紹請看李文林編、胡作玄譯的《數學的建築》[18]。

布爾巴基的最初目標是編撰一本微積分教科書，不過《數學原本》的實變函數論部分並沒有達到這個目標。這可能是因為布爾巴基的創始成員基本上是代數學家。同理，因為他們不是邏輯學家，《數學原本》的第一本：《集合論》也大受批判[19-20]。即使我們不管邏輯上的問題，但最少我們可以説一方面他 們忽略了20世紀數理邏輯的最重要的發現：哥德爾的定理，另一方面他們的集合論的説法和其他標準教材不同從而引起不必要的學習的混亂。

《數學原本》的《集合論》(Théorie des Ensembles)的第一章是“形式數學的描述”(Description de la mathématique formelle)，實際上是數理邏輯的簡章。他們一開始便引入現在不常見的希爾伯特運算。不加説明，這個便出現在SGA4-1第1章第1節！這也不是我們常見的數理邏輯公理系統。你若打算細心閲讀SGA你便不可對布爾巴基的數學基礎完全無知了。

話也當説回來，《數學原本》的《代數》和《交換代數》真的是寫得非常好的。如果你是學代數幾何和代數數論，這是必備的參考書。

到此你或會問：這個布爾巴基跟我們何干？布爾巴基接受希爾伯特形式論的觀點，他的目的是按嚴格的邏輯推理從一個清晰的起點再寫全部基礎數學。雖然他沒有成功，但是他的《數學原本》成為把數學説成形式系統的範例。對整個二十世紀的後半有深刻的影響。從此形式系統便成為數學的基礎背景。可以説布爾巴基已完成他的任務：在數學上安裝了形式系統。因為這一個常被忽略的事實，在現行的教育設計裏，中學數學的內容和教學方法同大學數學便有本質的區別，因而對學生的學習成功與否有深刻的影響（詳細的討論見[21]）。按照布爾巴基,這個形式系統便是公理集合論。雖然他在Éléments de mathématique, Théorie des ensembles沒有清楚指出，他用的基本上是ZF公理集合論——Z, F分別指兩位創建人：德國數學家策梅洛(Zermelo, 1871-1953)和以色列數學家弗蘭克爾(Fraenkel, 1891-1965)。雖然大家接收了布爾巴基的精神，但是邏輯學家，幾乎沒有用Éléments de mathématique,Théorie des ensembles的系統！在二十一世紀開始的時候，數學家沃沃斯基（Voevodsky 1966-2017）對這個形式系統的證明方法的邏輯結構做出了深刻的批判，他組織一個團隊研究這個問題[22]，筆者對此有個簡介[23]。二十世紀開始的大風又再掀起一個巨浪!

到此，雖然本節和前一節的討論對研究高等教育，邏輯歷史和科學的哲學的人來説並不陌生，但是我們鄭重地再説一次，這幾乎一百年的辯證的結果是：數學家接受形式系統為數學的骨架，之後，數學家的工作是解答數學問題和發展數學。

04

從高子的宇宙到呂李的無窮範疇

如果我們説布爾巴基決定了我們怎樣説數學，那就太表面了。要看看這個思潮怎樣靜靜的改變了數學便得談談代數幾何學的發展。我們只好説代數幾何學是把中學裏的代數和幾何放在一起的感覺。準確點我們應該説代數幾何學是研究幾何結構的代數性質。要明白這句話恐怕要上門課了。為什麼用這個困難的例子來説明呢？因為如果你只是看微分方程的數值解你看不見這個變化、又因為這個革命是起於代數幾何學的。

故事當從扎里斯基（Zariski, 1899-1986）和韋伊（Weil, 1906-1998）説起。自十九世紀中葉,英、德、意三國的代數幾何學家非常活躍。到了二十世紀三十年代人們開始懷疑這些代數幾何學家，特別是意大利學派的，用直觀辯證得出的結果的正確性。扎里斯基和韋伊分別提出改革代數幾何學，使用德國哥廷根學派的代數學重新為代數幾何學建立嚴格的基礎。到了六十年代高滕迪克·亞歷山大（或譯作格羅滕迪克, Grothendieck, 1928-2014）對代數學和代數幾何學引導了一場天轟地動的徹底改革，完全改變了這種學問的語言、方法與思維。由此數學才正式進入二十世紀。高滕迪克曾在法國工作，是二十世紀最優秀的數學家。按我國優良的開放容納傳統，我們就尊稱為高子吧。

在開拓代數幾何的時候，高子發覺被帶回二十世紀初數學家和哲學家問的問題當中。作為布爾巴基的成員，他接受布爾巴基的這個不甚完美的基礎。於是為了補救情況，讓布爾巴基的集合論容納範疇學，高子創造了“宇宙”這個全新的數學概念。這樣是避開了羅素悖論，但同時亦引入新的困難：在ZFC公理集合論中不能證明無窮（>可數）宇宙的存在。

進入二十一世紀，呂李（Lurie, 1977-, 現任普林斯頓高等研究院教授）在美國哈佛大學開始用範疇建立導出代數幾何學(derived algebraic geometry)。這是一種結合高子的代數幾何與奎倫（Quillen, 1940-2011）的同倫代數[24]的全新的幾何學。雖然無窮階範疇論早就出現在數學和物理學裏，但呂李有他的個人理論，為了幫助大家學習他的理論做準備,他寫了兩本書：《高階拓撲形理論》（Higher topos theory, 944頁）和《高階代數》（Higher algebra, 1078頁，出版中）。

陶哲軒（左一）和呂李（左二）等獲得2015年數學突破獎，每人獲獎金三百萬美元

高子和他的繼承者呂李的數學特徵是以範疇代替性質，對範疇使用同調代數方法和同倫代數方法。他們研究的是數學結構而不是某個特定的微分方程的某種解可以算出。於是結構變為數學的主題。

若牛頓醒過來打開今年發表的微分方程的文章，花幾周的功夫，他會看得明白。給他一本高子或呂李的書，恐怕他就莫明瞭。原因是二十世紀開始，結構性越來越是數學的主題。科學家開始利用數學對結構的理解來認識大自然以至人造現象與工程的內在結構。最著名的例子莫過於物理學家楊振寧用數學裏的纖維叢理論建立規範場論了。當然今日還需要有人用微分方程數值法為工廠計算汽車內燃發動機中燃料燃燒數據，或電動汽車用鋰離子電池的荷電狀態估計，但這已經不是數學的核心問題了。

到此我們看見代數幾何學家花了大半個世紀澄清代數幾何學的基礎，力求達到證明是在一個清晰嚴謹的基礎上。然而因為布爾巴基的起點的問題和大基數與ZFC公理集合論的關係，我們還是未成功完全解答二十世紀初的問題。百分之九十九的數學家在日常的工作裏是從一個問題開始一步一步的構成答案。他們不會像高子從數學基礎開始走到求方程的整數解。但是到了21世紀，當我們和計算機到了幾乎分不開的時候，我們也許不應忘記計算機是從零開始，計算機是會走回到二十世紀初的問題。到時候計算機的答案未必是人類想要的答案！

註釋

[1] 柯朗，羅賓著，斯圖爾特修訂，左平，張飴慈譯，什麼是數學（第4版），復旦大學出版社(2005).

[2] 波利亞著，劉景麟，曹之江，鄒清蓮譯，數學的發現，科學出版社(2006).

[3] 斯狄瓦著，袁向東，馮緒寧譯，數學及其歷史，高等教育出版社(2011).

[4] 克萊因著.北大數學系譯，古今數學思想(三冊)，上海科學技術出版社(2013).

[5] 亞歷山大洛夫編，石鍾慈，鄧健新譯，數學:它的內容方法和意義（3冊），科學出版社(2014).

[6] 高爾斯編，齊民友譯，普林斯頓數學指南（三卷）科學出版社(2014)

[7] 鄧東皋，孫小禮，張祖貴編，數學與文化，北京大學出版社(1990).

[8] 齊民友，數學與文化，大連理工大學出版社，第二版,(2016).

[9] K. Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I, Monatshefte für Mathematik und Physik, 38:173–198(1931).

[10] G. T. Kneebone, Mathematical logic and the Foundations of mathematics, Van Nostrand Co. , 1963.

[11] W. D. Hart, (ed.), The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK, (1996).

[12] J. van Heijenoort, From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Harvard University Press, Cambridge, MA,(1977).

[13] H. Putnam, P. Benacerraf, (ed.)Philosophy of mathematics selected readings, Second edition, Cambridge University Press(1983).

[14] T. Tymoczko, New Directions in the Philosophy of Mathematics, Birkhauser, Revised edition, 1998.

[15] B. Russell, A. N. Whitehead, Principia Mathematica, Cambridge University Press（1910-1913).

[16] 馮崇義，《羅素與中國-西方思想在中國的一次經歷》，三聯書店出版(1994).

[17] K. Gödel, Russell’s mathematical logic, in“The Philosophy of Bertrand Russell”(Library of Living Philosophers), P. Schilpp(ed.), NewYork:Tudor, 123–153, (1944).

[18] 布爾巴基[法]著，李文林編，胡作玄譯，數學的建築，大連理工大學出版社，2014年.

[19] A. R. D. Mathias, The Ignorance of Bourbaki, Mathematical Intelligencer14(1992)4–13.

[20] A. R. D. Mathias, Hilbert, Bourbaki and the scorning of logic, In: In finity and truth. Edited by C. T. Chong, et.al. . Lecture Notes Series of the Institute for Mathematical Sciences of the National University of Singapore Vol.25, World Scientific, (2014),47-156.

[21] 黎景輝等，中學數學和大學數學的本質區別對學習和教學的影響，數學通報.

[22] V. Voevodsky et.al., Homotopy type theory, Princeton, Institute for Advanced Study, 2013.

[23] 黎景輝，關於數學教育知識鏈的傳遞問題,數學教育學報,23/1(2014)9-15.

[24] 黎景輝，代數K理論,科學出版社，2018.

作者簡介

黎景輝，耶魯大學博士，曾在港台及歐美多所大學擔任數學教授，現任河南大學特聘教授，並在大陸出版過多種高端數學教材。

本文經授權轉載自微信公眾號“數學文化”。