等價、不變性與高階範疇｜範疇論哲學Ⅱ_風聞

理解範疇中的高階結構和弱等價之間的對應，會使得我們對數學的理解更上一個台階。

撰文 | 葉凌遠

前言

今天這篇文章是 集合論 vs 範疇論 = 彙編語言 vs C++？｜範疇論哲學 I 的續篇。上一篇文章中，我們的目光主要集中在範疇內部，討論範疇論作為一套數學語言，它如何從物體的關係（使用、功能）的角度從而更加準確地對描述了我們日常對數學結構的理解。換句話説，使用範疇論的語言，我們自然而然地會在同構的意義下理解數學。但同構只是數學研究中等價關係中的一種；對於不同的等價關係，我們需要有一種更為廣泛的語言來敍述其性質，這就是範疇論的一個推廣——高階範疇的語言——所提供的。這篇文章從一個更為廣泛的等價的概念出發，粗略地介紹高階範疇的哲學思想和我們理解數學中不同的等價所具有的關聯。全文共5000 字左右。

等價與不變性

什麼時候兩個數學物體是等價的？研究不同數學分支的人會對這個問題有不同的答案。

研究經典代數的可能會説：兩個代數結構是等價的，當且僅當它們是同構的；

研究點集拓撲的可能會説：兩個拓撲空間是等價的，當且僅當它們是同胚的；

研究同倫論的可能會説：兩個拓撲空間是等價的，當且僅當它們是（弱）同倫等價的；

研究數理邏輯的人可能會説：兩個邏輯系統是等價的，當且僅當它們具有相同的模型（參考 範疇邏輯 I——邏輯與數學結構的對應）；

研究證明論的可能會説：兩個邏輯系統是等價的，當且僅當它們之間可以相互翻譯且具有相同的證明論性質。

可以看出，對於不同的數學對象，我們有不同的自然的等價概念；更為重要的是，即使是對於相同的數學對象，在不同的語境中，我們也有不同的等價概念適用與它們（例如上面提到的拓撲空間、邏輯系統等等）。在這種情況下，往往一種等價的概念要弱於另一種，如拓撲空間（弱）同倫等價的概念弱於同胚，邏輯系統具有相同的模型弱於它們之間可以相互翻譯。

為什麼有這麼多等價的概念，甚至對於相同的對象有不同的等價性概念？這與我們想考慮的不同的數學構造、性質的不變性 [invariance] 息息相關。換句話説，對於每一類“自然”的數學構造和性質，都有一個對應的等價概念，其意義在於在這個等價概念下，數學對象關於這一類構造和性質具有不變性。例如，我們為什麼希望考慮拓撲空間之間的同倫等價？因為現代數學研究拓撲空間最為重要的數學工具是，在代數拓撲中定義的各種代數不變量，而我們對拓撲空間構造的所有代數不變量關於同倫等價都是不變的。換句話説，對於拓撲空間的代數不變量這一性質，其自然對應的等價的概念應該是同倫等價，而不是同胚。

在前一篇文章 集合論 vs 範疇論 = 彙編語言 vs C++？｜範疇論哲學 I 我們提到了，範疇論的語言在很大意義上便是為了處理在同構意義下不變的數學——在大部分數學分支中，幾乎我們遇到的所有重要數學對象的性質都是關於同構不變的，這也是為什麼範疇論如此重要的原因。

我們還是把範疇論的語言與更經典的集合論的語言做一個對比，在集合論中，所有的數學最開始都是非常“嚴苛”的：每一個集合都由它其中的元素完全決定，擁有不同元素的集合——即使它們是同構的——在集合論的語言下它們也是不相等的；而在集合論的語境下，我們對於同構對象具有相同的數學性質這一點的把握，要麼直接儲存在我們的腦海中，要麼在更為複雜的情況下，成為一個數學定理明確地出現在教材或論文中。但範疇論的語言則不是如此：從最開始，在範疇論的框架下定義的所有概念、證明的所有定理，都是關於同構不變的。換句話説，範疇論的語言從最開始就處理好了數學概念以及數學定理跟同構之間的不變性，不需要我們再花費更多的力氣。如果你採用了範疇論的語言，那麼自然而然地，你做的一切工作都應該對同構是不變的，這就是改換一套數學語言所能夠帶來的巨大威力。

儘管範疇論已經滲透到了現代數學中的各個分支，但在本科的數學教學或某些更加古老的數學研究分支中，還是很少採用範疇論的語言。其中一個很大的原因是，在這些領域內，其關心的問題中所涉及到有關同構的不變性都很簡單，或者很顯然，因此在這種情況下，是否採用範疇論的語言變得不那麼緊迫。但隨着現代數學的發展，當我們考慮的數學不變量更加複雜，採用範疇論的語言就顯得更為重要。最為關鍵的是，現代數學不僅僅關心同構不變意義下的不變量了。對於許多的數學構造，如之前提到的拓撲空間的代數不變量，是對於一些更弱的等價概念不變的。例如在同倫論的語境下，數學家希望得到的是一種“同倫不變” [homotopy coherent] 的數學敍述方式。此時數學家發現，繼續採用集合論的語言甚至變得根本不可能了，因為這種等價性的敍述涉及到了許多範疇的高階性質——我們將在下一節更加詳細地闡述這一點。數學在這個方向的進展，使得許多原本曾經認為範疇語言是“abstract nonsense”的數學家現在也開始不得不採用（高階）範疇的語言。

弱等價與高階範疇

之前我們提到了，隨着數學的發展，許多我們關心的數學對象的性質並不只是在同構的意義下是不變的，而是對於一類更弱的等價性不變，這使得我們會研究這一類弱等價的性質。在這一節中，我們會更加詳細地談談弱等價與高階範疇之間的聯繫。

我們以範疇之間的等價性為例。對於知曉一定範疇論的讀者想必都會知道，對於兩個範疇 和 ，同構並不是它們間最自然的等價概念，而應該考慮的是範疇等價 [categorical equivalence] 的概念。按照我們之前的觀點，等價的概念總是與一個範疇緊密聯繫的。我們便來詳細地探討一下所有範疇之間構成了一個怎樣的範疇。

此處稍微離題一些。對於那些對數學基礎 [foundation of mathematics] 較為敏感的讀者而言，“所有範疇構成的範疇”這個短語可能是不嚴謹的，因為這樣不加限制的全稱量詞可能會導致和羅素悖論相似的問題。在範疇論的文獻中，解決這個問題的辦法一般是引入一個“小”和“大”的相對概念。例如，我們説一個範疇 是“小”的，當且僅當 的物體和態射構成一個集合；若它們不是一個集合而是一個類 [class]，則我們稱其為一個“大”的範疇。當然，這個分類還可以繼續，有“小”“大”“更大”等等。當我們説所有範疇構成的範疇時，可以理解為我們指稱的對象是那個所有“小”的範疇構成的“大”範疇。由於一般使用範疇論語言的人都不太關心數學基礎的問題，在之後的討論中我們並不會如此嚴格地區分“小”和“大”的概念。

為什麼我們要考慮2階範疇中這種更弱的等價關係呢？這是因為，在2階範疇的語境下，所有自然的數學構造都關於等價是不變的，而不只是同構。正如在1階範疇的語境下，所有泛性質 [universal property] 構造都是在同構的意義下定義的，在2階範疇的語境下，所有對應的（2階）泛性質構造都是在這種更弱的等價的意義下定義的；換句話説，在2階範疇中等價的物體對於我們關心的性質而言是沒有區別的。以範疇為例，等價的範疇幾乎會保持所有我們關心的性質，如極限和餘極限的完備性等等。因此，在這個語境下，這種更弱的等價才是我們應該考慮的自然的等價定義。

上面的討論説明，範疇中的高階結構會自然對應着某種更弱，但在高階範疇的語境下更自然的等價定義：我們不再要求兩個態射覆合後為恆等映射，而是要求複合後的映射和恆等映射之間存在着某種高階的同構。這個一般的陳述不僅僅適用於2階範疇，它更廣泛地適用於所有n階範疇 [n-category]、甚至是無窮範疇 [∞-category]。甚至在高階範疇中，一切概念都應該在這種“高階同構”的意義下來理解。例如，態射的複合將不是嚴格定義的，而是在相融的高階同構 [coherent higher isomorphism] 的含義下定義的。這樣的高階結構，對於現代許多以同倫論為基礎的數學來説是非常重要的。

上面這一段話可能有些抽象，如果沒有完全理解，沒有關係。這篇文章希望大家主要理解的是如下的哲學觀點：在數學中，我們希望我們所使用的數學語言能夠自動地處理所有我們關心的（弱）等價的概念及等價物體之間數學性質的不變性，這一點可能是採用（高階）範疇論語言研究數學最重要的益處；且以現代數學的複雜程度來説，採取這樣的語言已經不再是個人審美的選擇，而成為了一種必要。但我們也可以反過來看這一點：一旦當你研究的數學對象有一個比同構更弱的自然的等價概念，這些數學對象之間就非常自然地就構成了某種高階的範疇模型。甚至有些數學家會説，對於高階範疇而言，最重要的便是其中弱等價的概念。

結語

在這篇文章中，我們從（弱）等價與不變性的角度闡明瞭（高階）範疇論的意義，以及採取這樣的語言所能夠帶來的好處。事實上，高階範疇之所以越來越重要，某種程度上是因為數學家、邏輯學家、計算機科學家和更多專業人士開始意識到，對於他們所關心的數學對象之間都有一個非常自然弱等價的概念！拓撲空間有同倫等價性，邏輯系統間有弱表示等價性，計算結構之間有弱模擬等價性，等等。這些都使得高階範疇論的語言在現代研究中佔據着越來越重要的地位。理解範疇中的高階結構和弱等價之間的對應，會使得我們對數學的理解更上一個台階。