數學魔法師康威的遊戲人生_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2021-12-19 10:19
撰文 | 倪憶
上帝是怎樣創造這個世界的？按照《聖經》的説法，第一天他在一片混沌中游蕩，發現太黑了，就説：“要有光”，然後就有了光……他總共花了六天來創造萬物，第七天休息。但並不是就此一勞永逸地結束了，麻煩事還在後頭，像什麼偷食禁果之類的。他得花更多的時間和精力來維護這個系統，有時不爽了還得格一下盤（大洪水），——當然格盤之前需要保存一下數據（諾亞方舟）。有次自己親自深入系統來查一下毒，還給弄掛掉了……
其實沒有這麼麻煩，上帝這樣的大智者，自然找得到最方便的辦法。他應該是在一張餐巾紙上隨手寫幾個公式作為定義這個世界的規則，然後製造一次大爆炸。接下來的事情就不用他管了，他只需端起一杯咖啡，在一旁悠然地看。
不信嗎？那麼就嘗試一下Game of Life吧。在一個有許多正方格的大棋盤上隨意放一些棋子，稱為胞體（cell），然後遵循下面的規則：
(i) 復生：一個胞體在t時刻是“死”，而在t+1時刻是“活”，如果它的八個鄰域有三個胞體在t時刻是“活”的。
(ii) 死於孤單：一個活的胞體在t時刻沒有或只有一個胞體鄰域，就會在t+1時刻死亡。
(iii) 死於過度擁擠：一個活的胞體在t時刻如有四個或四個以上的鄰居，就會在t+1時刻因過度擁擠而死去。
(iv) 生存之道：一個胞體在t時刻生存而能延續生命到t+1時刻，當且僅當它在t時刻有二個或三個活鄰域。
就是這樣簡單的規則，卻可以隨着初始狀態的不同產生無窮無盡的變化，有興趣的讀者可以連上https://playgameoflife.com/，隨意自己設定初始狀態，或者打開別人設計好的一些有趣的狀態，看看這個簡單平台上出現的複雜世界。
1970年，這個“生命遊戲”甫一發明出來便轟動了世界，很多人樂此不疲。據説有一段時間，全世界四分之一的電腦都在運行這個程序。這個遊戲的設計者，就是本文的主角，普林斯頓大學數學系教授，英國數學家John Horton Conway。
Lord of the Common Room
大約十年前的一篇訪問記中，説Conway每天打開計算機時，屏幕上會隨機顯示十個日期，比如1789年7月14日，2037年12月26日等等，Conway則心算出這些日期分別是星期幾，輸入後才能進入電腦。他的最高紀錄還不到20秒就算出了全部星期。（Conway的算法在《數學頑童的圓周率日》一文中有簡單介紹。）這種情形我倒是從沒見過，因為我見到的Conway一向都是使用common room（公共休息室）外的公用電腦。
Conway絕對是一個佔用公共資源的專家。系裏的common room就是他的辦公室，裏面的沙發寬大又舒適，足夠容納他的身軀。Common room內外有好幾塊黑板，剛好能讓他打草稿——按他自己的説法是：talk to myself on the blackboards. 桌子上堆着他的玩具。各種各樣的人都會到common room裏來，所以Conway從不缺乏聊天的對象。
有一次我正在common room裏喝咖啡，突然聽見電話鈴響。我正納悶，想誰會打電話到common room裏來呢，卻聽見電話機旁的一名學生大喊“John”，同時看見Conway一個箭步從聊天的人羣中竄了出去，拿起電話就是一聲hello……暴汗。後來見多了也就見怪不怪了，我甚至還替他接過一次電話。
我曾問過Conway，為什麼他喜歡呆在common room裏面，他説因為他自己的辦公室裏非常亂。據他説，最初系裏給他兩個辦公室，後來覺得兩個太多了，便收回了一個。（想當初必定是用兩個辦公室作為優惠條件來吸引他，如今新人勝舊人，就給減掉了，資本主義真是殘酷。）
他的辦公室在三樓，離common room只有幾步路，跟更高樓層裏的那些辦公室不是一個型號。這間面積相對小許多，門還是玻璃門。Conway在門上貼滿了數學畫報，不過想偷窺的人還是能透過縫隙看見裏面的情形，——也沒什麼好看的，反正我最初看到時還以為是系裏的雜物間。
下面這段描寫（by Richard Guy）能讓讀者對他辦公室裏的情形有個概念：
“他的劍橋大學純數學和統計系的辦公室裏幾張桌子堆滿了論文、書籍、沒有回覆的文件、筆記、模型、流程、圖表、幾個喝完沒洗的咖啡杯以及一些各種各樣的玩藝兒，這些東西氾濫到地板上和椅子上，因此很難容兩人在辦公室裏及坐下來。如果你能走到黑板，你會看到各種顏色的粉筆字跡，卻沒有地方讓你寫東西。雖然他有很好的記憶力，可是他常常找不到幾天前他寫下重要發現的紙張，他只好重新寫。”
Conway從來不看信，收到信件後便往故紙堆裏一扔。等他再發現這些信件時，看到上面的郵戳是幾年前的，就決定永遠不去拆閲，免得自己產生內疚感。不過他e-mail收得倒是非常勤，經常能看見他坐在common room外的公用電腦前，滿面笑容，飛快地打着字。
每天下午tea time時，Conway周圍就會聚集一些跟他關係好的教授或學生聽他胡侃。當然他的魅力還比不上點心，只要新的一盤點心端上來，這幫人便紛紛起身（common room裏的其他小羣體也是一樣），Conway還總是搶在頭裏。上學期他的一門課與tea time的開始時間重合，但他通常要晚十分鐘才去上課，因為點心一盤也不能少吃。有時他甚至一邊啃着點心一邊在黑板上奮筆疾書。上他課的幾個人在吃點心方面自然也都跟他臭味相投，對推遲幾分鐘毫不在意。
甜食帶來的一個壞處就是讓他的體形不能保持。其實在美國比Conway胖的人比比皆是，但數學家裏有他這麼大肚子的卻少見。對於他這個年紀的人，胖是一件很危險的事。去年期中的時候，Conway突然從common room裏消失了，後來才聽項武忠教授説他患心臟病動了手術。我當時很詫異，因為他看上去活蹦亂跳的。項武忠解釋説：“他太胖！”
手術後Conway恢復得很好，就是在家裏一天都呆不住，他太太為此寫信到系裏，請大家打電話或去家裏騷擾他。等再看見他時，已經臨近期末。那時他身體還沒完全好，一説話就喘不上氣，卻已經很着急地跑到common room裏找人聊天。聊天之餘又在黑板上寫寫畫畫，儘管都是些高中水平的數學。他説自己好長時間不做數學，得先做一些簡單的來恢復一下能力。
A Tale of Two Universities
英國制度，11歲入中學，這時就要根據未來的志願選擇學校。Conway説他在那時就決定去劍橋當一名數學家。他在Harold Davenport手下拿到博士學位後留校任教，研究數理邏輯。當時他感到非常沮喪，因為自己沒有拿得出手的成果，覺得不是在做真正的數學。
很快機會就來了。1965年，John Leech在研究裝球問題時發現了一種24維的格（lattice）。（Ernst Witt説他在1940年就發現了Leech lattice，但當時沒有發表。）他覺得這個lattice的自同構羣可能會很有趣，但自己的羣論水平不足以對其研究，便把這個問題告訴了許多羣論專家。只有Conway比較徹底地研究了這個羣，從其商羣和子羣中一舉發現了三個新的有限單羣。Conway從此聲名鵲起，被邀請到許多地方報告他的發現。他獨特的演講風格給人留下了深刻印象，而Conway也因此獲得了信心，邁入一流數學家的行列。
除了他發現的三個被稱為Conway羣的有限單羣，Conway在這一領域最著名的工作是他跟Simon Norton在1979年提出的魔羣月光猜想（monstrous moonshine）。這一猜想把最大的散在單羣“魔羣”的表示與模形式聯繫在一起，在1992年被Conway的學生Richard Borcherds證明。Borcherds因此獲得了1998年的菲爾茲獎。魔羣月光猜想及其推廣跟理論物理裏的弦理論有着奇妙的聯繫。它的證明用到了弦理論裏的成果，而這個猜想本身也對弦理論有許多反哺。例如Edward Witten用它來計算黑洞的Bekenstein-Hawking熵，得到的結果跟傳統方法算出來的非常接近。
我曾問Conway為什麼要把這個猜想命名為“月光”，他説moonshine這個詞在英語裏有illegal（違法）的意思。他們提出這一猜想時，大家還不知道魔羣是否存在，所以猜想其性質這件事是illegal的。（在另外的場合，Conway則解釋説moonshine有crazy（瘋狂）的意思，——這個猜想太瘋狂了。）
本質上説，Conway是一位組合學家。他研究的問題多數帶有組合特性，看起來非常淺顯，但其中卻藴藏着深刻的數學思想。就拿前面提到的生命遊戲來説。1940年，John von Neumann提出cellular automaton（元胞自動機），試圖建立一個數學模型來描述機器的自動複製與生長。Von Neumann最初的模型非常複雜，Conway將其簡化成人人都能理解的“生命遊戲”。生命遊戲經Martin Gardner在Scientific American上介紹後迅速風靡世界，Conway因此獲得了數學界以外的巨大聲名。（最近Mathematica的創始人Stephen Wolfram寫了一本書A New Kind of Science，把cellular automaton大肆鼓吹了一番，有興趣的讀者可以弄來讀讀。）
Conway説，他曾經認為自己是一流的數學家，可以做任何事，但現在他已經改變了自己的方向，只嘗試讓每件事物以最簡單的形式出現在每個人面前。前面所説的生命遊戲就具有這種特點。
Conway的另外一項出名的工作來自紐結（knot）理論。紐結理論是拓撲學的一個分支，但也可以用純粹的組合方法進行研究，這正是Conway的拿手好戲。
美國數學家James Alexander在1923年定義了一種紐結不變量，稱為Alexander多項式。Conway在六十年代發現了一個奇妙的拆接（crossing change）關係式，可以用來遞歸地定義Alexander多項式，連中學生都能看得懂，計算起來也很方便。（拆接關係式在Alexander的原始論文中已經出現，但沒有引起人們的注意。Conway實際上是重新發現了這一關係，並強調了其重要性。）
到80年代時，Vaughan Jones發現了一個新的紐結不變量：Jones多項式，並因此獲得1990年的菲爾茲獎。（Jones多項式發現過程中的故事可見《出名要趁早？94歲的新科女院士，41歲才獲得博士學位》。）Jones多項式滿足跟Alexander多項式非常相近的拆接關係式，而它們還可以推廣為更一般的HOMFLY多項式，滿足更一般的拆接關係式。
HOMFLY這個名字是發現它的六位數學家姓名首字母的組合。説起這事來Conway還頗有些耿耿於懷。他説當時自己好長時間沒有研究紐結，也不去參加各種會議。Jones多項式出現後他的那些紐結界的朋友們（比如説L）一直沒告訴他，瞞了他好幾個星期，等到HOMFLY多項式出來以後他才得到消息。他只用了一個下午就證明了這個HOMFLY多項式確實是紐結不變量，但為時已晚。Conway説如果他早知道Jones多項式的事，HOMFLY前面就得加個C成為CHOMFLY了……（當時還有兩位波蘭數學家P和T也獨立發現了HOMFLY多項式，但西方對他們工作了解較晚。文獻中也經常把這一多項式稱為HOMFLY-PT多項式。）
Conway於90年代初離開劍橋大學，來到普林斯頓做訪問教授。按普林斯頓的慣例，從別處挖人來時，給的是終身職位，但第一年的頭銜還是訪問教授，這樣如果一年過後這人不願意留下，還可以回原來的學校。Conway解釋説當初並不是他自己作決定留下來，“I was undecided”，是他的太太喜歡這裏。
Conway結過三次婚，跟第一位太太生了四個女兒，跟第二位有兩個兒子，跟第三位又生了個兒子。去年底他大病初癒時，我看見他帶着一個蹣跚學步的小男孩玩，便問他：“Is he your grandson?” 他自豪地回答：“No, he is my son.” 再問其年齡，答曰兩年三個月。我頓時肅然起敬，——要知道Conway可是1937年出生的。在我聽説過的數學家裏面，恐怕只有I. M. Gelfand在這方面比Conway更出色。
也許鼓勵創新的美國比相對保守的英國更適合Conway，儘管Conway堅持認為普林斯頓比劍橋更保守。美國人崇拜的科學英雄倒未必需要有非常出色的學術成就，但一定得有張揚的個性。Conway剛好就是他們所需要的類型，加之他又喜歡跟媒體打交道，所以Conway頻頻在媒體上曝光，聲名一時無兩。普林斯頓數學系三樓走道旁有一塊板，上面貼了各種關於系裏教授報道的剪報。Conway的報道佔了將近一半，跟John Nash不相上下。當然如今在好萊塢的炒作之下，Nash是比Conway出名多了。
另外一位著名的John Conway是以好幾本分析教材聞名於世的John B. Conway. 我起初還以為這兩位是同一個人，曾頗奇怪了一陣，因為John B. Conway寫的那些書跟John H. Conway的工作風格完全不同。後來才注意到兩者的中名不同。
我們的這位John Horton Conway説他曾經多次在會議上碰見過John B. Conway. 有一次參加一個會議，John H. Conway正低頭算些東西，突然聽前面有人問：“Are you the John Conway?” Conway頭也不抬地答道：“I don’t know, it depends on which John Conway you mean.” 一抬頭，發現就是另外那位John Conway。
John’s Adventures in Wonderland
Conway有種種奇奇怪怪的數學玩具，common room裏就堆着好多。上學期我選他的一門課，第一次課前見他在common room裏抱着一個箱子。看那個箱子的體積、形狀、質地，怎麼看都覺得裏面裝的是筆記本電腦。接下來他帶着箱子進教室，打開，原來是一箱積木，汗
他這次課講的是三維空間中對稱的分類，採用一套他自己創造的記號，——Conway研究問題時總喜歡使用自己的記號。我當時聽不太懂他的英國口音，只能狂抄筆記，他的板書中有好多即興發揮的縮略語，字跡又潦草，得費好大的勁兒來辨認。所以只忙着抄，根本顧不上思考其中的含義。
講課中間，Conway給每人發了兩個積木，叫大家説出積木的對稱性，——當然是用他自己的記號。另外兩個學生説對了，我卻都錯了。Conway勃然大怒，到黑板上把某個定義中的一句重念一遍，中間一個詞突然用十倍的音量吼出來“NOT!!!”，當時把我嚇得渾身一哆嗦。後來知道 Conway上課時獅子吼是常事，有位師姐也碰見過。還有一次我路過一間教室，忽然聽裏面傳出一聲咆哮“ABSOLUTELY!!!”，心知就是Conway在裏面上微積分課，正嚇唬本科小孩們。
前面已經説過，Conway是一流的紐結專家。別人講紐結都是用繩子、皮帶之類的有一定韌性的東西來演示，他偏要用剛性的東西。他有幾根彎曲的金屬管，連接起來後在接口處可以轉動，Conway能以此展示出所有交叉點不超過五個的紐結。有一次他在common room裏給大家擺弄這件寶貝，末了覺得不過癮，便往地下瞅。我被他瞅得心中直發毛，突然見他俯下身，伸出魔爪，一把握住我的鞋。我沒敢抵抗，任憑他把我的鞋連同腿腳一同擱到茶几上。然後他便開始解我的鞋帶，扯了幾下後發現我的鞋帶並不像他想象中那樣好解，於是又開始打別人的主意。環視一圈後沒找到合適的目標，只得轉而尋求更加正統的方法。他拿起筆，在一張紙上隨手畫了一些紐結，用的還是他自己的記號。不過畫紐結並非Conway的獨門絕學，好多紐結專家信筆一揮也能畫出非常複雜的紐結。
Conway還有許多數學內容的T恤衫，整天穿着。有些上面是數學漫畫，有的則相對簡單，比如圓周率到小數點後一千位。據説有一次Conway的太太需要用π的精確數字，便問Conway，Conway隨口就背出了小數點後的一百位。可他太太嫌不夠，問他能不能背更多。Conway感到很沒面子，便決定背到一千位。他制定計劃，每天跟太太出去散步時背上二十位，而且是兩人一起比賽着背，互相考問。這樣沒用多長時間，他們夫婦倆就都能背到一千位了。
Conway非常熱衷於研究有趣的初等數學，下面這個look-and-say序列就是一例，他在common room裏給我講過：
1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, …
這裏面有什麼規律呢？説穿了非常低幼。第二個數字11應該讀作“1個1”，表示前一個數字是1個1。第三個數字21應該讀作“2個1”，表示前一個數字是2個1連寫在一起。第四個數字1211應該讀作“1個2再1個1”，表示前一個數字先是1個2，再是1個1。第五個數字111221表示前一個數字先是1個1，然後是1個2，再是2個1……
這看起來就是幼兒園小朋友胡亂作的規定，Conway卻能發現其中的數學內容，專門寫了一篇論文研究其性質。比如説Conway證明了這個序列中出現的數字都由1, 2, 3組成。換句話説，只要你會數到3就能把這個序列一直寫下去。作為普林斯頓大學數學系的講席教授，Conway絲毫不覺得研究這種初等數學有多麼“跌份”。這或許是他有如此高人氣的一個原因吧。Conway是數學遊戲愛好者，他發明過好多遊戲，生命遊戲只是其中最有名的一個。據説以前在劍橋時，他經常在休息室裏赤着腳，用紙和筆來玩數學遊戲。有時他抓着學生、同事和訪客陪他玩，找不到對手就自己坐在地下研究這些遊戲。
下面這個“豆芽遊戲”就是Conway在劍橋時和Michael S. Paterson一起發明的。兩個人用紙和筆就可以玩，幼兒園小朋友也能理解。
遊戲開始時，在紙上畫若干個點。每方每回合在兩點（可以是同一點）間畫上一條連接線，然後在此線中間增加一個點，把這一條線分成兩條。連接線可以是直線或曲線，但不能跟自己或別的線相交。每一點最多跟三條線相連。
豆芽遊戲有兩個版本。普通版本（normal play）裏，畫最後一條線者贏；悲慘版本（misère play）裏則是畫最後一條線者輸。悲慘版本的難度比普通版本要大許多，有興趣的讀者不妨都試試。
Conway在遊戲方面的一個有趣結果是“超現實數（surreal numbers）”。他發現每個實數都能對應一個遊戲，相應地，實數的四則運算可以用遊戲的語言來解釋；此外還有許多遊戲具有類似於實數的性質，卻不對應實數。這樣，Conway便把遊戲看作“數”，得到實數體系的擴充，稱為“超現實數”。
Conway把他的想法告訴了計算機科學家Donald Erwin Knuth（高德納），Knuth對此大感興趣，便借自己在挪威度假的機會，寫成了一本小説體的數學書 Surreal numbers : how two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness : a mathematical novelette.
需要指出的一點是，Conway對遊戲的研究並非博弈論（Game theory）的主流，標準的博弈論教科書上根本沒有一點兒對Conway工作的介紹。Conway研究的遊戲確實非常有趣，但在我們這些人眼中，不會給數學帶來多大的進益。
也許在Conway看來，一個問題並不必重要或困難，只需要有趣便可以吸引他去研究。在21世紀的今天，數學已經更多地成為一種職業而非興趣。可對於如孩童一般在海灘拾貝的Conway來説，它永遠還只是遊戲。
參考文獻
[1] 勞拉·常，趙伯煒等譯，約翰·H·康威——神秘數學世界的漫遊者，《紐約時報50位科學家》，海南出版社，2003.
[2] 李學數，英國的怪數學家康威，《數學和數學家的故事3》，新華出版社，1999.
[3] J. J. O’Connor and E. F. Robertson, John Horton Conway, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Conway.html.
本文經授權轉載自微信公眾號“普林小虎隊”，原題目為《Conway：遊戲人生》。