趣味數學遊戲：隱藏在生活中的超越數（上）_風聞

關於自然常數e的快樂謎題，難倒不少專業數學從業者，看看你能解決哪個？

撰文 | Pradeep Mutalik

編譯 | 哪吒

圖片來源：James Round/Quanta Magazine

π是我們所熟悉的超越數，因為它無處不在，但是歐拉數e是如何超越普通數的呢?

在日常語言中，“transcendental"這個詞指的是某件超乎尋常的事，是隱秘且難以理解的，具有近乎於魔法或神秘的力量。另一方面，在數學中，“transcendental”一詞的含義較為平凡。它簡單地描述了一類數——超越數——它們不可能是多項式方程的解，如ax3+bx2+cx+d=0，其中係數a, b, c, d都是有理數，x的最高次冪可以是任何正整數。正如偉大的數學家歐拉（Leonhard Euler）所説：“它們超越了代數方法的力量。”

然而，“transcendental”這個詞的日常內涵對於兩個最著名的超越數——普適常數π和e——來説是真實的。這兩個數字確實神秘而強大，並表現出幾乎魔法般的性質。它們在數學的許多分支中發揮着核心作用，在你最意想不到的時候出現在問題的解決方案中。在這兩個數中，π對我們大多數人來説要熟悉得多。每個學生都知道它的近似值，並在計算中使用過它。但另一個，歐拉數（自然常數）e或2.71828…，相對來説人們就不太清楚了。事實上，查爾斯·厄米特 (Charles Hermite) 在1873年證明了e是第一個非構造的超越數。這裏須明確指出“非構造”（non-constructed），因為在1850年，約瑟夫·劉維爾（Joseph Liouville）提供了第一個可證明的超越數的例子——但這個數是他為那個唯一目的而構造的，它並不是自然地出現在任何數學分支中。當然，這使得它與e有很大的不同，後者在數學中幾乎無處不在。許多人知道e是自然對數的底，並且出現在複利和指數增長、衰減等理論中，但在這些領域中我們去計算時並沒有明確遇到e。今天將討論一些普普通通的問題，其中e會意外出現，使我們對它的普遍性有大概的瞭解。

像π和其他超越數一樣，e有一個無限的小數表示——它的數字無窮無盡，沒有任何規律可循。即便如此，e的前15位數字還是有一個好玩的規則模式，而且很容易記住，只需如下分組：2.7 1828 1828 45 90 45。當然，這種規律性純粹是巧合——其餘的數字是完全隨機的。但e有幾個驚人的特性，使它在所有數中獨一無二。在這一系列的謎題中，你將瞭解到其中的一些屬性，有一些是經典的，當然，還有我自己添加的。歐拉數e會在它們中自然地出現，即使你只是模糊地理解e出現的原因，也能欣賞它們。這種transcendental顯靈的確切細節就留給那些受過必要數學訓練的人。看看誰能用最簡單的方式表達這種聯繫。

謎題1：分解

任意取一個數，比如10，把它寫成某些等大小的數的和，比如兩個5，然後乘起來：5 × 5 = 25。現在可以把10寫成3個，4個，5個或6個等大小的數的和，然後做同樣的事情。在做乘積的時候會發生什麼？

2 等分：5 × 5 = 25

3 等分：3.33 × 3.33 × 3.33 = 37.04

4 等分：2.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5 = 39.06

5 等分：2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

6 等分：1.67 × 1.67 × 1.67 × 1.67 × 1.67 × 1.67 = 21.43

可以看到乘積數增大，然後似乎達到最大值，之後開始減少。嘗試對其他一些數（比如20和30）執行相同的操作。你會發現，在每種情況下都會發生同樣的事情。這與數本身無關，而是由e的獨特屬性引起的。

a. 看看你是否能弄清楚乘積何時達到給定數的最大值，以及這與e有什麼關係。

提示：當每個等分的數值最接近e時，乘積達到最大值。

b. 對於數10，最大的乘積（39.06）比第二大乘積（37.04）大約 5.5%。在不計算實際差異的情況下，你能否猜出小於100的正整數中，哪個數在最大乘積和第二大乘積之間的百分比差異最小？為什麼會這樣呢？

c. 你能解釋一下為什麼e會出現在這個看似簡單的問題中嗎？

謎題2：相親

一位億萬富翁的未婚繼承人陷入困境。根據繼承條款，他需要在21周內結婚，否則將失去他的份額。儘管期限很短，但他決心選擇最好的伴侶，所以他在一個名為e-marriage的婚姻app上註冊了。該應用程序具有以下規則：它的專有算法可以立即為用户匹配一位與用户要求高度符合的候選對象，每兩週匹配一次。在這兩週裏，用户必須與候選人見面，瞭解他/她，要麼接受，要麼拒絕。候選人一旦被拒絕，就不再被召回。

繼承人的想法是，他可以在20周內遇到10名非常匹配的潛在候選人，並在截止日期前的最後一週結婚。但他仍然希望將選擇最佳伴侶的機會最大化。因此，當他了解候選人時，他會給每個人分配一個等級。問題是，他無法預測他沒有見過的匹配者的排名，也無法預測他擁有的匹配者的最終排名。如果太早接受一個人，他可能會錯過後面更好的；如果等待太久，他可能已經錯過了最好的那個。

a. 假設沒有排名相同的情況，繼承人如何最大限度地提高選擇最佳伴侶的機會？b. 如果有10%的概率兩人並列第一，那麼繼承人遇見最佳伴侶的機會如何變化？

c. 這是一個經典問題，其解與e有關。你能解釋一下e是如何進入答案的嗎？

雖然這個經典問題着眼於最大化繼承人選擇最佳生活伴侶的機會上，但即使是e也無法保證transcendental的幸福。這是因為，如果最佳候選人提前出現並被拒絕，繼承人可能會在第20周結束時被排名低得多的候選人困住。如果目標是選擇最好的候選人之一，但不一定是最好的候選人，則需要一種更實用的方法。如果我們假設10名候選人的排名從1到10，其中1是最高排名，希望有一種方法，比如説，大多數時候，選擇前三名或前四名之一。

d. 在這種更實際的選擇場景中，繼承人如何才能選到候選人的最高預期排名？最後，對於那些沒玩夠的讀者來説，這裏還有一個更難的謎題。

謎題3：親密無間

讓我們假設繼承人成功了，而且他確實找到了婚姻的幸福，並繼承了鉅額財富。這對幸福的夫婦決定去一個僅限情侶的度假勝地度假。在那裏，一個大禮堂安排了一場獨家音樂會。入場方式是先到先得，當然，觀眾僅由伴侶組成。當一對夫婦進入禮堂時，他們隨機選擇兩個相鄰的座位。每對夫婦都會做同樣的事情，一般情況下，這會導致兩對夫妻之間會剩下單個的空座位。持續入場直到只剩下單個的座位，然後禮堂宣佈滿員，表演開始。

a. 當停止入場時，預計有多少比例的空座位？

b. e是如何進入這個雙人大禮堂的？

這就是關於超越數的趣味內容。希望你喜歡解決這些謎題，也許可以瞭解一些你以前不知道的歐拉數e的神奇性質。所以，令人費解的快樂謎題，這裏祝願你在超然冥想中實現“e-和諧”。

本文譯自Where Transcendental Numbers Hide in Everyday Math 原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/where-transcendental-numbers-hide-in-everyday-math-20211027/