用數學去逼近完美聖誕曲奇_風聞

撰文 | Isaac Schultz

譯者 | as

整個12月，挪威化學家、一位熱情的廚師Martin Lersch揉搓着自制的薑餅麪糰，埋頭苦幹。此人來回不停地翻轉着他的曲奇切割器，做了一牀聖誕樹形狀的曲奇出來。但Lersch的主要目標並不僅僅是一批美味的節日曲奇。他想搞出數學上完美的曲奇分割。

過去幾年裏，Lersch一直試圖解決一個困擾同行們已久的問題，作為一個曲奇烘焙師，“你想最大限度地利用麪糰，而不必回頭收集所有夾雜在中間的多餘麪糰，揉搓在一起再次擀麪。這其實是為了節省時間。”

為了讓間隙少佔有空間，你就不得不把圓形儘可能“打碎”

Lersch有一個博客，叫做Khymos，他在那上面探索烹飪的化學和科學，其中也把聖誕曲奇烘焙作為一個項目。他發現，常見的節日曲奇就形狀而言通常不會很整齊地組合在一起。聖誕老人、手杖糖和薑餅人往往都會留下很多面團碎片。於是他開始了自己的追尋之路，為了得到既有節日氣氛又有效率的曲奇切割器，最後設計出一種整齊排列的形狀，其剩餘麪糰最少。這就是Lersch的聖誕樹餅，恰恰好好，可以鑲嵌。

鑲嵌是完美結合在一起的幾何形狀，最富盛名的推廣者是荷蘭版畫家、藝術家M.C.埃舍爾，它也是伊斯蘭藝術中的一個長期特徵。你平常會見到的馬賽克、拼圖、俄羅斯方塊什麼的都在此列。生活中有許許多多這樣的鑲嵌重複堆疊，如一張牆紙圖案，從規模來説都達到了令人目眩。

Lersch設計的曲奇切割器，可以將一張卷好的麪糰變成一個鑲嵌的平面，這意味着形狀之間沒有多餘空間。埃舍爾曾經寫道，他發現這類模式的複雜性“非常有趣”，因為它們有“混淆二維和三維”的能力，的的確確，鑲嵌長期以來都困擾着數學界最偉大的頭腦們，以及它們最先進的算法。

在過去的幾年裏，Lersch一直在改進他的設計。圖片來自khymos.org

切曲奇的時候你可能感覺不到自己在計算薑餅方程式，但根據最近的一項研究，這正是數學上的工作。這篇文章的主要作者、哥本哈根大學的數學家Mikkel Abrahamsen研究了包裝問題。包裝問題是企業和設計師每天都要面對的問題，他們需要計算如何在有限的空間內儘可能多地容納物品。正如你所能想象到的那樣，包裝問題影響到從航運業到廚房儲藏室的方方面面。

Abrahamsen專門研究如何用幾何術語精確地表達算法，準確來説就是，當你將一個曲奇切割器按到一個二維的鬆軟畫布上時會發生什麼。“我們想做的是，證明當你解決這些包裝問題時，實際上是被迫去解非常複雜的方程組。”

他的團隊認為，包裝問題是一個∃R完全方程，它的複雜性超過了計算機科學家長期研究的非多項式方程。複雜性部分來自於所涉及的變量數。為了解決最佳的包裝方案——一個鑲嵌能儘可能多地切完一張攤平的麪糰，那麼你就需要提前知道每一塊曲奇的理想位置。問題是，有很多方法可以在一張麪糰上切割曲奇形狀。另外，隨着曲奇切割機的每一次推進，可以用的空間在逐漸變小。如果沒有電腦程序來幫忙解決問題，你可能只會在空間不夠的時候才會意識到這種包裝是否有效。Abrahamsen説：“在找到最佳解決方案之前，你需要嘗試無數種可能。”。

阿罕布拉宮的瓷磚鑲嵌，這是埃舍爾的藝術靈感來源。GRUBAN/CC BY-SA 2.0

受埃舍爾啓發的曲奇切割器，你可以在Thingiverse上下載它的設計文件

不過，這並沒有難倒Lersch，他利用免費平台Tess創作了自聖誕主題的鈴鐺、聖誕樹和其他形狀的鑲嵌。在一個朋友的幫助下，他還3D打印了幾個曲奇切割器並嘗試割了些麪糰。Lersch的精選甜餅pepperkake是一種奢華的挪威薑餅——作為一名化學家，他指出，這曾經是用磨碎的鹿角中的碳酸銨製成的，不過現在大多數人都用發酵粉來代替這種碳酸銨。

在確定聖誕樹是最有效的形狀後，Lersch就開動了。他模仿埃舍爾的圖案，在側面嘗試各種樹的輪廓，使之與周圍倒過來的樹完全吻合。結果非常棒，串連成排的曲奇之間沒有剩下面團。

但即便用這種切割器，麪糰的最邊緣地帶還是會留下面團來。這個缺陷Abrahamsen在論文裏警告過：用一個複雜形狀的曲奇切割器去切割一張麪糰的時候，會有太多變數。為了最大限度提高效率，你可以使曲奇形狀更簡單一些：例如，用方形曲奇切割器去切一張方形麪糰。但顯然這沒法讓你滿意，正如Lersch所説，“誰會想要方形曲奇？”

Lersch的另一個造型很有效率，但卻沒那麼具有聖誕氣氛。

Lersch還設計了以上造型，也ok，但不怎麼吸引人

對於像聖誕樹這樣複雜的形狀，找到一種最有效的方法將它們排列在麪糰上是不可能的。在1999年，算法只能解決方形容器中最多容納四個物體（簡單七邊形）的包裝問題，程序花了24小時才完成這項工作。方程中每加入一種新的多邊形，算法解決問題就變得越困難。正如在現實當中，當空間已經被佔用時，將任何東西打包到容器中也會變得更加困難一樣。據Abrahamsen所知，那以後也沒有開發出更快的算法。

但烘焙並不總是追求完美。簡單嘗試創造一種最有效的方法來切碎一些節日曲奇應該受到鼓勵。“我建議（人們）這樣做……為了解謎的樂趣去做，”Abrahamsen説，“去想想這個問題是很好的，但別期望找到最佳解決方案。”

Lersch也認為，目前可能沒有辦法製作出一批數學上完美的節日曲奇。全世界烘焙愛好者們需要等待一個比他的聖誕樹更合適的形狀。但他仍然鼓勵用鑲嵌圖案去烘焙，哪怕只是為了好玩和“書呆子氣”。“如果這能減少一些人對數學或科學的恐懼，”他補充道，“那就更好了。”

一位叫做Keith Kritselis的網友設計的聖誕曲奇切割器

本文經授權轉載自微信公眾號“科學藝術研究中心”。原文鏈接：https://www.atlasobscura.com/articles/best-christmas-cookie-cutter