李善蘭如何用漢字寫公式 | 晚清高數課本長什麼樣？_風聞

來源 | 和樂數學

咸豐九年李善蘭翻譯的微積分課本。

大致上看起來是附圖中這樣。天地甲乙這些就是 xyz，丄丅是加減號，彳和禾是微積分號（分別取自微積二字的偏旁），訥是 ln（似乎是因為 natural log 所以翻譯成訥）。另外所有的分數都是分母在上，跟今天相反。

李善蘭也太辛苦了，在沒有現代數學符號的情況下硬是創造出了一整套用漢字寫微積分算式的土辦法……

三本微積分課本的封面

微積分課本中的術語

微積分課本中的目錄

李善蘭是何許人也？

李善蘭實乃西學東漸之悍將。

李善蘭是近代著名的數學家、天文學家、力學家和植物學家。他為了使先進的西方近代科學能在我國早日傳播，不遺餘力，克服了重重困難，學貫中西，作出了很大貢獻。其多部譯作彌補了我國數學在某方面的空白。

李善蘭創立了二次平方根的冪級數展開式，各種三角函數、反三角函數和對數函數的冪級數展開式。

這是李善蘭也是我國19世紀數學界取得的最重大的成就。李善蘭是繼梅文鼎之後清代數學史上的又一傑出代表。

《清史稿》載：“李善蘭強絕人，其於算，能執理之至簡，馭數之繁，故衍之無不可通之數，扶之即無不可窮之理。”表明他聰慧，精通數學。最能體現其卓越的數學才能的，當是李善蘭通過自學翻譯西方近代數學和着書立説，為我們留下了宏豐論著，諸如《幾何原本》、《代微積拾級》等。

01 自幼凸顯對數學的喜愛及研究

李善蘭從小就喜歡數學，而且勤于思考，常把身邊的事物和數學聯繫起來。有一天，李善蘭隨父親到海寧城裏一位大紳士家做客，看到牆上掛着一幅《百鳥歸巢》圖，畫家是當時很有名的花鳥畫高手，在他生花妙筆的點染下，使看畫的人彷彿聞到了花香、聽到了鳥的叫聲。

畫的右上角還有一首題畫詩，上面寫道：“一隻過了又一隻，3、4、5、6、7、8只。鳳凰何少雀何多，啄盡人間千萬石。”

李善蘭看到這幅畫後，心中也頓然一動。題目是《百鳥歸巢》，可全詩卻沒有百字，只有這幾個數字，好像是題詩人的有意安排，但究竟有什麼深藏的機密呢？他看着這些數字想了又想，當時他也沒有想明白。

回到家中，他還在心裏琢磨，當他看到書架上的數學書箱時，他恍然大悟，原來這是一道數學題。他在紙上寫下了這樣幾個數：1、1、3、4、5、6、7、8，怎樣能使它們和百鳥聯繫在一起呢？就在他拿來書架上的數學書翻開的時候，在腦子裏突然湧現出了幾個算式：1×2=2；3×4=12；5×6=30；7×8=56；2+12+30+56=100。

這不正對應着《百鳥歸巢》的“百”嗎？而最後的兩句詩是諷刺官員欺壓百姓，就像鴉雀一樣，把老百姓成千上萬的糧食侵佔了。

這真是一幅絕妙的畫！看來，畫家也有很深的數學造詣。李善蘭自幼就讀於私塾，受到了良好的家庭教育。他資稟穎異，勤奮好學，於所讀之詩書，過目即能成誦。有一次，他發現父親的書架上有一本我國古代數學名著《九章算術》，感到十分新奇有趣，從此迷上了數學。

14歲時，李善蘭又靠自學讀懂了歐幾里得《幾何原本》前6卷，這是明末徐光啓與利瑪竇合譯的古希臘數學名著。歐氏幾何嚴密的邏輯體系，清晰的數學推理，與偏重實用解法和計算技巧的我國古代傳統數學思路迥異，自有它的特色和長處。

李善蘭在《九章算術》的基礎上，又吸取了《幾何原本》的新思想，這使他的數學造詣日趨精深。後來，又研讀了金元時期的數學家李冶的《測圓海鏡》，清代末期數學家戴煦的《勾股割圓記》等書，所學漸深。

02 與《幾何原本》的不解之緣，致力於西方數學專著翻譯

1852年，李善蘭離家來到上海的墨海書館。墨海書館是1843年為翻譯西方書籍由英國傳教士麥都思開設的，它也是西方傳教士與我國知識分子聯繫的一條渠道。李善蘭在那裏結識了英國傳教士偉烈亞力和艾約瑟。

當時墨海書館正在物色能與傳教士協作翻譯的外語人才。李善蘭的到來使他們十分高興，但又不甚放心，於是，他們拿出西方最艱深的算題來考李善蘭，結果都被李善蘭一一作了解答，得到傳教士們的讚賞。從此以後，李善蘭開始了譯著西方科學著作的生涯。

李善蘭翻譯的第一部著作是《幾何原本》後9卷，由於他不通外文，因此不得不依靠傳教士們的幫助。《幾何原本》的整個翻譯工作都是由偉烈亞力口述，由李善蘭筆錄的。其實這並非容易，因為西方的數學思想與我國傳統的數學思想很不一致，表達方式也大相徑庭。

雖然説是筆錄，但在實際上卻是對偉烈亞力口述的再翻譯。就如偉烈亞力所説，正是由於李善蘭“精於數學”，才能對書中的意思表達得明白無誤，恰到好處。

這本書的翻譯前後歷經4年才告成功。在譯《幾何原本》的同時，李善蘭又與艾約瑟一起譯出了《重學》20卷。這是我國近代科學史上第一部力學專著，在當時產生了很大的影響。

1859年，李善蘭又譯出兩部很有影響的數學著作《代數學》13卷和《代微積拾級》18卷。前者是我國第一部以代數命名的符號代數學，後者則是我國第一部解析幾何和微積分著作。

這兩部書的譯出，不僅向我國數學界介紹了西方符號代數、解析幾何和微積分的基本內容，而且在我國的數學領域中創立起許多新的概念、新的名詞、新的符號。

這些新東西雖然引自於西方原本，但以中文名詞的形式出現卻離不開李善蘭的創造，其中的代數學、係數、根、多項式、方程式、函數、微分、積分、級數、切線、法線、漸近線等，都沿用至今。

這些漢譯數學名詞可以做到顧名思義。李善蘭在解釋“函數”一詞時説，“凡此變數中函彼變數，則此為彼之函數。”這裏，“函”是含有的意思，它與函數概念着重變量之間的關係的意思是十分相近的。許多譯名後來也為日本所採用，並沿用至今。

在 《代微積拾級》中附有第一張英漢數學名詞對照表，其中收詞330個，有相當一部分名詞已為現代數學所接受，有些則略有改變，也有些已被淘汰。

除了譯名外，在算式和符號方面李善蘭也做了許多創造和轉引工作。比如從西文書中引用了×、÷、=等符號。

李善蘭除了與偉烈亞力合譯了《幾何原本》、《代數學》和《代微積拾級》外，還與艾約瑟合譯了《圓錐曲線論》3卷。這4部譯著雖説與當時歐洲數學已有很大差距，但作為高等數學在我國引入還是第一次，它標誌着近代數學已經在我國出現。

就具體數學內容來説，它們包括了虛數概念、多項式理論、方程論、解析幾何、圓錐曲線論、微分學、積分學、級數論等，所有的內容都是基本的和初步的，然而，它對我國數學來説卻是嶄新的。有了這個起點，我國數學也就可以逐步走向世界數學之林。

1858年，李善蘭又向墨海書館提議翻譯英國天文學家約翰·赫舍爾的《天文學綱要》和牛頓的《自然哲學數學原理》。此外又與英國人韋廉臣合譯了林耐的《植物學》8卷。

在1852年至1859年的七八年間，李善蘭譯成著作七八種，共約七八十萬字。其中不僅有他擅長的數學和天文學，還有他所生疏的力學和植物學。

在介紹西學方面，這裏值得一提的是，在李善蘭之後，清代末期數學家、翻譯家和教育家華蘅芳做了積極的翻譯工作。

華蘅芳先與美國瑪高温合譯了《金石識別》、《地學淺釋》、《防海新論》和《御風要術》等礦物學、地學、氣象學方面的書共5種；又與英國人傅蘭雅合譯了《代數術》、《微積溯源》、《決疑數學》、《三角數理》、《三角難題解法》、《算式解法》6種，另有未刊行的譯著4種，進一步介紹近代西方的代數學、三角學、微積分學和概率論。

這些譯著都成為我國學者瞭解和學習西方數學的主要來源。其中的《決疑數學》具有突出地位，是第一部在我國編譯的概率論專著。

李善蘭在數學研究方面的成就，主要有尖錐術、垛積術和素數論3項。尖錐術理論主要見於《方圓闡幽》、《弧矢啓秘》、《對數探源》3部著作，成書年代約1845年，當時解析幾何與微積分學尚未傳入我國。

03 數學才能走向成熟

李善蘭的著作將近代數學思想運用於解決我國傳統課題之中，取得了出色的成就。李善蘭創立的“尖錐”概念，是一種處理代數問題的幾何模型，他對“尖錐曲線”的描述實質上相當於給出了直線、拋物線、立方拋物線等方程。

他創造的“尖錐求積術”，相當於冪函數的定積分公式和逐項積分法則。他用“分離元數法”獨立地得出了二項式平方根的冪級數展開式結合“尖錐求積術”，得到了圓周率的無窮級數表達式。

垛積術理論主要見於《垛積比類》，這是有關高階等差級數的著作，是早期組合論的傑作。李善蘭從研究我國傳統的垛積問題入手，獲得了一些相當於現代組合數學中的成果，創立了馳名中外的“李善蘭恆等式”。

素數論主要見於《考數根法》，這是我國素數論方面最早的著作。在判別一個自然數是否為素數時，李善蘭證明了著名的費馬素數定理，並指出了它的逆定理不真。

04 盛名享譽中外

李善蘭在我國數學史上佔有特殊的地位，其重要性在於，他處於我國傳統數學的結尾時期，以其傳播西方科學文化的熱情，為我國傳統數學融入、統一於世界數學之中作出了突出的貢獻。

1868年，李善蘭走馬上任北京同文館“天文算學館”（相當於今大學數學系）總教習（相當於今天的教授）。因此，他是我國第一位數學教授。他一生自學、教書、著作、翻譯，晚年又教書，直到臨終。他所教的學生，不少成為名家學者。他的成就、貢獻，來源於嚴謹治學、熱愛數學、勤奮探索、洋為中用、貫通中西數學的治學思想。例如，他研讀朱世傑《四元玉鑑》，此書一般不易讀通，而李善蘭“深思七晝夜，盡通其法。”李善蘭數學水平之高，通過下面的例子可見一斑。有一年英國牛津大學招生的數學考試題中，其中有一道較難的應用題，學校説，只要考生能解出此題，不但可以破格錄取，且發給100英鎊（相當於清朝500銀元）。當時竟無一位英國考生能解出。學校又宣佈延長一個月交卷，仍未有人解出。這事在英國轟動一時。後來，同在上海工作的一位英國學者把這件事告訴了李善蘭，他很快解答出這道應用題，並且簡捷巧妙。這位英國學者把其解法刊登在1877年上海出版的 《格致彙編》上，並寄回英國。

李善蘭重視古算實際應用的傳統，曾用相似勾股形對應邊成比例的原理，測算過東山的高度。又如他研究天文學，非常重視實地觀察天象與實地測量，他的經學老師陳奐在 《師友淵源記》中説他：“孰刁九數之術，常立表線，用長短式節候以測日景，便易稽考。”餘杼木在《白盦詩話》中説他：“夜嘗露坐山頂，以測象緯躔次。”李善蘭生命不息，科研不止。如1874年在京中風後，行動很不方便，“憚於行遠，咫尺之遙，須人扶掖”。病稍好一點，便又開始進行教學與研究工作，又着了《級數勾股》二卷，直到1882年病故才停止工作。

李善蘭是繼梅文鼎之後清代數學史上的又一傑出代表。李善蘭還是一位翻譯家，他一生翻譯西方科技書籍甚多，將近代科學最主要的幾門知識從天文學到植物細胞學的最新成果介紹傳入我國，對促進近代科學的發展作出了卓越的貢獻。

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本文經授權轉載自微信公眾號“和樂數學”，編輯：nhyilin。