黑體輻射公式的多種推導及其在近代物理構建中的意義(三)_風聞

黑體輻射是近代物理史上一隻會下金蛋的鵝, 是近代物理的搖籃。黑體輻射研究的意義還在於這是唯一一個涉及c, k, h三個普適常數的物理情景。黑體輻射譜抗測量誤差的特性帶來了輻射標準和絕對温度參照，譜分佈公式對模型的不敏感則使得黑體輻射成為獨特的物理研究母題。黑體輻射譜分佈公式，普朗克多角度推導過，德拜推導過，艾倫菲斯特推導過，勞厄推導過，洛倫茲和龐加萊深入討論過，泡利推導過，玻色推導過，愛因斯坦在20多年的時間裏多角度推導過且產出最為豐碩，近代還有從相對論角度的推導，每一個角度的推導都帶來了物理學的新內容，這包括量子力學、固體量子論、受激輻射、量子統計、相對論統計，等等。認真回顧黑體輻射研究的歷史細節，考察其中的思想概念演化。不啻於體驗一次教科書式的學（做）物理之旅，比如也可以嘗試給出能量局域分立化的簡單新證明。

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

黑，真他媽的黑啊！

——劉慈欣《三體》

7 洛倫茲的推導

荷蘭物理學家洛倫茲（Hendrik Antoon Lorentz，1853-1928）是近代物理的旗手（所謂的leading spirit），對相對論有基礎性的貢獻（電動力學，洛倫茲變換），為量子理論思想的接受準備了基礎（圖18）。1870年洛倫茲入萊頓大學學習物理和數學，1877年24歲時即成為萊頓大學理論物理教授。{忽然想起，可能任何脱離同數學系之間關係的物理系都是個假物理系。}洛倫茲對幾乎所有的物理領域都有涉獵，尤以對電動力學和相對論的貢獻最顯著。洛倫茲關於熱力學和統計力學的工作很少有人注意，儘管他有專著和關於黑體輻射的重要文章，比如H. A. Lorentz, Les Théories statistiques en Thermodynamique（熱力學中的統計理論）, Teubner (1916)；H. A. Lorentz, Vorlesungen über theoretische Physik an der Universität Leiden（萊頓大學理論物理講座）, Band 1: Theorie der Strahlung（卷一、輻射理論）, Akademische Verlagsgesellschaft (1927)。我猜測，這個卷一應該藏着我們的電動力學教科書該有卻沒有的關於加速電荷輻射的相關內容。

圖18. 洛倫茲於1925

洛倫茲在1903年給出過關於長波極限黑體輻射譜公式的證明 [On the emission and absorption by metals of rays of heat of great wavelength, Proc. Amsterdam 5, 666-685(1903)]。洛倫茲認為，輻射可能是物質中的自由電子運動的結果，可從金屬導電模型推測其吸收和發射關係。電子的熱運動可以解釋長波行為，而無需引入發射特定頻率

在1906年羅馬數學家大會上，洛倫茲又談論黑體輻射的研究現狀。1908年，洛倫茲就自己關於金斯公式的言論再次發文[H. A. Lorentz, Zur Strahlungstheorie （論輻射理論）, Physikalische Zeitschrift 9(17), 562-563(1908)]。洛倫茲指出，金斯的公式是基於能量均分原理，在長波部分是成立的。洛倫茲注意到從當時的電子理論導出輻射公式是困難的。在普朗克的模型中，重物（壁）同以太狀態之間的能量交換是由所謂的振子或者類似的粒子所中介的。洛倫茲注意到，德魯德（Paul Drude，1863-1906）的熱導和電導理論意味着金屬中存在自由電子，而統計規律對它們來説也應該是適用的。這會導致結論，在振子的影響下會達成一個平衡態，在電子的影響下會達成另一個平衡態。就短波部分而言，如果電子帶來很慢的能量遷移過程而振子帶來快速的能量遷移過程，就能得到普朗克分佈。這段筆者弄不懂其中的道理或者引出這種沒道理論述的歷史背景，不過洛倫茲的這句話可能是重要的，da man das Kirchhoffsche Gesetz nur verstehen kann, wenn man Absorption und Emission auf nahe verwandte Ursachen zurückführt（只有把吸收和發射過程歸於相近的原因，才能理解基爾霍夫定律）。

有文獻引用時會説洛倫茲也給出了黑體輻射的新推導，不過筆者細讀洛倫茲1910年的文章並沒有發現新的推導[H. A. Lorentz, Alte und neure Fragen der Physik （物理學的老問題與新問題）, Physikalische Zeitschrift 11, 1234-1257(1910)]。洛倫茲只是就輻射同物質間建立平衡的關係、普朗克作用量子的意義等內容給出了一些有意義的討論，比如指出空腔裏有完全透明的、不發射的物質也能達成黑體輻射。筆者的另一個收穫是知道了光電效應的過程可以和β放射性平行地考慮。得出光電效應的詮釋是注意到，出射電子的速度與加熱得來的熱運動速度特徵不符。把電子出射直接同對光量子吸收掛鈎是解釋光電效應的關鍵一步，這中間實驗還曾驗證電子的出射速度似乎與金屬的温度無關。

8 金斯的努力

金斯爵士（Sir James Hopwood Jeans, 1877-1946）是英國物理學家、數學家、天文學家（圖19）。許多學物理的人知道金斯這個名字只是通過瑞利-金斯公式，其實金斯是大神級的天才科學家，24歲起在劍橋任教，1904年27歲時被聘為普林斯頓大學教授。和瑞利爵士一樣，金斯是經典物理的旗幟，但其成就多在天文學和宇宙學方面，比如1928年提出的靜態宇宙學猜想。金斯爵士是罕見的物理學表述者，思想深刻，文筆優雅，其具體著作包括：

1. The dynamical theory of gases (1904).

2. Mathematical theory of electricity and magnetism (1908).

3. Report on radiation and the quantum theory (1914).

4. Probelms of cosmology and stellar dynamics (1919).

5. Atomicity and quanta (1926).

6. The universe around Us (1929).

7. The mysterious universe (1930).

8. The stars in their courses (1931).

9. The new background of science (1933).

10. Through space and time (1934).

11. Science and music (1937).

12. An introduction to the kinetic theory of gases (1940).

13. Physics and philosophy (1943).

14. The growth of physical science (1947).

都是經典。其中的The dynamical theory of gases和An introduction to the kinetic theory of gases前後相差36年，可見氣體動力學理論一直都是他思考的問題。此與黑體輻射有關。Report on radiation and the quantum theory更是關於黑體輻射的專著。

金斯自1900年普朗克理論出現以後的態度先是堅決反對（stauch opposition），後來從1910起黑轉粉。金斯認為能量均分定理所要求的瑞利-金斯分佈同實驗的偏差是因為系統根本沒有達到平衡。玻爾茲曼在1895年的Nature文章中也説氣體-以太體系沒有足夠時間達到熱平衡。金斯認為哈密頓方程和能量均分都不破壞，那麼平衡很難在短期內達到。他甚至要和熱力學原理對着幹（contravene），認為基於第二定律的論證都是站不住腳的。用熱力學第二定律進行的論證（比如玻爾茲曼的）都涉及使用以太作為工質的熱機，當然沒有這種熱機。第二定律只是統計力學的特例，只在系統處於平衡時有用。金斯在1904年的The Dynamical Theory of Gases一書第九章中提出另一個理由，轉動、平動向振動模式轉移能量很慢，振動模式從來沒有得到應有的能量份額。振動能量相對於其模式來説太少了。在金斯看來，系統一直在靠近熱平衡態的路上，輻射的強度也依賴於同其相互作用的物質。而在普朗克看來，基爾霍夫函數與物質無關，那我們就是在尋找一種絕對的存在，這就更有價值。

1905年，金斯寫了多篇關於輻射與氣體動力學的文章，包括

1. The dynamical theory of gases, Nature 71, 607(1905).

2. On the partition of energy between matter and aether, Phil.Mag.10, 91-98(1905).

3. The dynamical theory of gases and of radiation, Nature 72,101-102(1905).

4. On the application of statistical mechanics to the general dynamics of matter and aether, PRSL A76, 296-311(1905).

5. A comparision between two theories of radiation, Nature 72, 293-294(1905).

6. On the laws of radiation, PRSL A76, 545-552(1905).

尤其值得一提的是，On the laws of radiation一文為經典圖像和瑞利分佈辯護——這讓這個分佈後來成了Rayleigh-Jeans分佈。金斯1905年得到了完備輻射體的公式，即所謂的

金斯於1909年在“Temperature-radiation and the partition of energy in continuous media, Phil. Mag. 17, 229-254(1909)”一文中分析指出，純由以太構成的體系因為缺乏模式之間交換能量的機制不能達到正態（normal state），這樣的態是Rayleigh-Jeans分佈。金斯堅持認為，同經典圖像契合的分佈就是Rayleigh-Jeans 分佈。在其1914年的Report一書裏他甚至列出三種導出Rayleigh-Jeans 分佈的方式：1)振子的輻射；2)自由電子的輻射；3)軌道電子的輻射 [James Jeans, The motion of electrons in solids, Phil. Mag. 17, 773-794; 18, 204-226(1909)]。

圖19. 金斯

1910年，金斯在“On non-Newtonian mechanical systems, and Planck’s theory of radiation，Phil. Mag.20, 943-944(1910)”一文中明確放棄了他關於黑體輻射的經典觀點，原因似乎是因為對拉莫（Joseph Larmor，1857-1942）的工作的響應。拉莫問，是否能調和普朗克譜公式與用連續運動表述的一套物理定律？答案是否定的。普朗克的工作只是表明了量子化是得到譜公式的充分條件。在1910年，金斯提供了一個量子化導致黑體輻射普朗克譜公式的必要性證明，但沒有信心，所以他自己也把必要性證明歸功於龐加萊1912年的工作。在1914年的Report一書中，金斯毫不掩飾反對輻射的經典圖像了。自1914年以後，金斯轉身接着研究天文與宇宙學去了，也許他是信了據説是龐加萊的觀點，To give further judgment on the quantum theory “would be a waste of paper and ink”（對量子理論作進一步論斷只是浪費紙墨）。

金斯的理論分析是有參考價值的。他用劉維爾定理證明均分定理。除了這要求完美反射邊界條件，他自己又指出這個理論的另一個缺陷：對短波不存在完美的反射邊界條件。金斯認為他對黑體問題的洛倫茲式的分析可以用來得出基本電荷e的值，如果假設輻射來自電子的話。這已是h和k以後黑體輻射譜用來決定的第三個普適常數。

9 德拜的推導

德拜（Peter Debye，1884-1966），荷蘭人，1936年度的諾貝爾化學獎得主 （圖20）。德拜在德國Aachen讀書時受到維恩、索末菲（Arnold Sommerfeld，1868-1951）等人的影響，後來成了理論物理教授，也領導過實驗物理機構。這位德拜先生是個物理大拿，曾是那個充滿着物理學的物理雜誌之一，Physikalische Zeitschrift, 的主編多年[12]。筆者初識德拜這個名字，是在統計物理教程裏，有關於固體比熱的與愛因斯坦模型並列的德拜模型，那就是德拜研究黑體輻射的結果。

圖20. 德拜

德拜首先指出，普朗克、金斯和洛倫茲等人推導黑體輻射的路子不是無可指責的（unanfechtbar）。洛倫茲從一開始將討論侷限於長波；金斯得到同樣的結果卻想讓其對所有波長有效，但這與實驗不符；普朗克公式倒是和實驗數據相符，但其推導的兩部分是脱節的。德拜表明，普朗克的定律可以由統計物理導出[Peter Debye, DerWahrscheinglichketsbegriff in der Theorie der Strahlung （輻射理論的概率概念）, Annalen der Physik 33, 1427-1434(1910)]。德拜自問，是否振子性質的精確知識對輻射定律的推導是必須的？他要尋找出路，僅從量子假説就得到輻射場的性質而不必在振子問題上糾纏。{輻射的平衡態同與之處於熱平衡態的物質系統、過程無關。反過來，這提供了許多從具體物質系統、過程推導輻射平衡態的可能性。愚以為，此乃黑體輻射關於模型的獨立性，是最值得關注的點。輻射平衡態與壁無關，與腔內的存在無關，還都能從某個具體的存在出發推導出來，這體現的是物理的一致性？} 假設就是物質吸收輻射和將輻射轉化成其它頻率都是以hν量子的形式進行的，這也是普朗克的假設。

拜（和愛因斯坦）都從熱力學得到了結論，電磁場能量是量子化的，這個事實不依賴於 (模型) 振子的性質，但是並沒有由此進一步地推導出電磁場的量子化。光的量子化是50年代由Suraj N. Gupta（1924-）和Konrad Bleuler（1912-1992）實施的。囉嗦一句，我個人的感覺是，光的量子化描述目前仍然是一筆糊塗賬。物理學是容騙空間最大的學科，這很讓一些人如魚得水。

10 艾倫菲斯特的推導

奧地利物理學家艾倫菲斯特（Paul Ehrenfest，1880-1933）是玻爾茲曼的學生, 曾有人稱他為物理學的良心（圖21）。愛因斯坦、索末菲誇讚艾倫菲斯特是物理課講得最好的。艾倫菲斯特把玻爾茲曼的工作表述得太通透了，以至於玻爾茲曼都説 “我要是自己理解得這麼好，那就好啦”。艾倫菲斯特的夫人塔提亞娜（Tatyana Ehrenfest-Afanasjewa，1876-1964），一個烏克蘭數學家，也是熱力學-統計物理的大家，他們一起著有Die Grundlage der Thermodynamik（熱力學基礎）, Zur Axiomatisierung des zweiten Haupsatzes der Thermodynamik（熱力學第二定律的公理化）, On the use of the notion ‘probability’ in physics等書。{Physics boys and girls，我就問你們羨慕不羨慕？}

艾倫菲斯特關於黑體輻射的工作，如下幾篇文獻值得關注：

1. Paul Ehrenfest, Über die physikalischen Voraussetzungen der Planckschen Theorie der irreversiblen Strahlungsvorgänge（論不可逆輻射過程的普朗克理論的物理前提）, Wiener Ber. II, 114, 1301-1314(1905).

2. Paul Ehrenfest, Zur Planckschen Strahlungstheorie（普朗克輻射理論）, Physikalische Zeitschrift 7, 528-532(1906).

3. Paul Ehrenfest,Welche Züge der Lichtquantenhypothese spielen in der Theorie der Wärmestrahlung eine wesentliche Rolle（光量子假設的什麼特徵在熱輻射理論中扮演了實質性的角色）？Annalen der Physik 36, 91-118(1911).

4. Tatiana Ehrenfest, Paul Ehrenfest, Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik（力學中的統計表述的概念基礎）, Teubner (1912).

5. Paul Ehrenfest, Adiabatische Transformationen in der Quantentheorie und ihre Behandlung durch Niels Bohr（量子理論中的絕熱變換及玻爾對此的處理）, Naturwissenschaften 11, 543-550(1923).

6. Paul Ehrenfest, The conceptual foundations of the statistical approach in mechanics, Oxford University Press (1959).

其1912年在荷蘭萊頓大學的就職講座題為Zur Krise der Lichtaether-Hypothese （光以太假設的危機），顯然也是基於相關工作。關於艾倫菲斯特關於量子假設必要性的論述，請參閲Luis Navarro, Paul Ehrenfest on the Necessity of Quanta (1911): Discontinuity, Quantization, Corpuscularity, and Adiabatic Invariance, Archive for history of exact science 58(2), 97-141(2004).

圖21. 艾倫菲斯特

艾倫菲斯特1906年論文的題目簡單明瞭，就是“論普朗克的輻射理論”。普朗克認為基爾霍夫的空腔輻射普適性可以推廣到假想的體系（fingierte Systeme），他自己提出的模型是鏡子圍成的空殼裏面有一個或多個振子。這樣的振子由齊次線性振動方程定義，只有輻射阻尼而沒有摩擦阻尼{就是湊個數學對象，為了用受迫阻尼振動方程。經典力學的受迫阻尼振動方程簡直是電動力學的萬金油}，只要在周圍真空裏穩定下來的輻射是黑體輻射就行。一句話，鏡子圍成的內有振子的腔體，其結果應和各處都是漫反射的鏡子圍成的空腔效果相同（因為根本不存在嚴格意義上的鏡子）。既然是純粹空的，那裏面的過程就只是空腔的本徵振動的疊加。假設振子對其本徵頻率附近的波有響應，若有大量的、頻率相挨着的振子，這就能把初始時的單色光給改造成連續的譜分佈。但問題是，什麼樣的振子理論總是在熵最大時指向絕對穩定性（黑體輻射）呢？Ein Planckscher Resonator spricht wegen seiner Strahlungsdämpfung auf Wellen aller Perioden an, die der Periode seiner Eigenschwingung genügend nahe liegen. Es wäre darnach zu·erwarten, daß eine Schar von Resonatoren mit eng aneinander anschließendenEigenschwingungsfrequenzen, die sich zusammen über das ganze Spektrum erstrecken, imstande sein müßten, eine anfänglich monochromatische Strahlung sukzessive in Strahlung kontinuierlicher Spektralverteilung zu verwandeln. （普朗克振子因為輻射阻尼而對所有頻率在其本徵振動附近的波有響應。由此可以期待，大量頻率互相挨着且覆蓋整個譜範圍的振子，可以將初始時的單色輻射逐步地轉化為連續的譜分佈）。艾倫菲斯特指出，如下的理論也歸功於普朗克，其為輻射本身提供一個經典的Komplexionentheorie（複合體理論，由complexion，即等價構型數目，導出熵的理

利-金斯公式在高頻處顯然不滿足這個要求，此處艾倫菲斯特用了一個詞Rayleigh-Jeans Katastrophe im Ultravioletten，即紫外處的瑞利-金斯災難，且全文就用了這麼一個回。這就是物理文獻裏氾濫的所謂紫外災難的來由。寫到此處，忍不住多評論幾句。在後來的眾多物理學文獻中，紫外災難莫名其妙成了黑體輻射的主角，讓人誤以為是多少有點物理的東西。筆者本人甚至傻傻地誤以為紫外災難的概念出現在普朗克1900年的工作之前，是普朗克要清除（beseitigen）的東西。造成這種局面的動力，可能是源於二流以下物理學家到一般物理傳播者的獵奇心理及其對真實物理的不屑（能）一顧。關注物理學深層的內容，可能是一流物理學家的標識。Katastrophe im Ultravioletten就這麼出現一次，就被弄得滿世界都是，説明劣質科學家還是多啊。與紫外災難一樣被羞辱的，是薛定諤1935年引入的箱子裏放貓的模型。薛定諤用放射性-錘子-毒藥-貓的模型是要説明聚焦不準帶來的照片的模糊同雲遮霧罩風景的照片的模糊之間的不同，以類比經典不確定性同量子不確定性之間的不同。愚以為，那不過是獨立變量的不確定性同耦合（共軛）變量的不確定性之間的不同而已。所謂的量子力學，不過是不得已用了二元數的物理。[x, p]=iћ是個構建二元數的步驟。

時，至少不是獨立存在時，是可以消除的。}愛因斯坦此前用兩能級的發射-吸收模型也獲得了普朗克分佈，這個和泡利的圖像能統一嗎？沿着這個方向思考可獲得對光-物質相互作用的深刻、統一認識。考察兩能級過程如下。從低能過程向高能過程dW=bρdt；從高能過程向低能過程有dW=bρdt和dW=adt兩者。{關鍵是，這裏上下兩個過程是不可逆的，而涉及輻射場的兩項卻用了同樣的b係數，體現的是互反原理。}設能量相差hν的兩能級佔據數之比滿足玻爾茲曼關係，n’=n exp(-hν/kT)，於是平衡時有速率方程nb=n’(a+bρ) ，解為

11 龐加萊的論證

龐加萊（Henri Poincaré，1854-1912），法國數學家、物理學家、工程師、哲學家，數學界最後一個啥都懂的人（圖22）。龐加萊以數學家、物理學家的身份聞名於世，其對相對論和量子力學的建立都有開創性的貢獻，參見拙作《磅礴為一》。龐加萊的物理研究涉及各個領域，自然會關切黑體輻射的研究。龐加萊批評普朗克的理論缺失振子間交換能量的機制，為此他提出兩個可能的能量交換機制。其一為多普勒效應。不同運動速度的振子會發出不同的頻率；其二，不同本徵頻率振子間的碰撞導致頻率遷移。這個批評對黑體輻射研究意義不大。龐加萊對量子力學的重要貢獻，是他於1912年證明了振子模型中能量量

工作，為自1900年普朗克用能量量子化假設，即一定頻率的光其能量為的整數倍，得到黑體輻射後物理學家們理解（擺脱）量子概念的努力劃上了句號。能量量子化是得到普朗克分佈的充分條件很容易驗證。實際上，普朗克一直在努力要證明能量量子化是沒必要的，如果不是錯的，甚至為此在1913年得到了零點能等重要概念（見上）。直到龐加萊的這個數學證明出來以後又過了一段時間，普朗克才消停，而不是如一般量子力學文獻所述的那樣，到了愛因斯坦1905年用能量量子化解釋了光電效應的實驗結果就消停了。龐加萊此一工作在眾多的量子力學教科書中未見有提及。筆者再次重申，從理論嚴謹性的角度來看，龐加萊的這個論證是不可或缺的，否則能量量子化一直就是個讓人，至少是普朗克本人，無法放心的假設。這個證明，是普朗克、愛因斯坦這種數學水平的人不可能完成的任務。從實用的角度來看，它是通往量子統計和固體量子論的橋樑，懂得這個道理後更加容易理解量子統計。愛因斯坦、艾倫費斯特等人在龐加萊此項工作的基礎上很快系統深化了固體量子論。愛因斯坦1917年閒來無事又考慮黑體輻射公式提出了受激輻射的概念，1924年見到玻色（Satyendra Nath Bose，1894-1974）的相空間量子化假設就得出了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚，這是愛因斯坦令筆者崇拜不已的小細節。

圖22. 一輩子眼神不好的大神龐加萊

關於龐加萊的證明，有如下參考文獻：

1. John D. Norton，The determination of theory by evidence: The case for quantum discontinuity 1900–1915，JSTOR 97, 1-31(1993).

2. F. E. Irons, Poincaré’s 1911-12 proof of quantum discontinuity interpreted as applying to atoms, Am. J. Phys. 69(8), 879-884(2001).

龐加萊對相對論和量子力學的貢獻都是奠基性的、一錘定音式的。他對量子化條件作為黑體輻射公式的充分必要條件的一錘定音，其意義不下於強調洛倫茲變換要構成羣對狹義相對論的意義。 這一點，在物理文獻中竟然長期被忽略了。能夠自發地認識到這一點，筆者為自己感到驕傲。

12 勞厄的小插曲

勞厄（Max von Laue, 1879-1960）和愛因斯坦同年，1914年因晶體的X-射線衍射獲得諾貝爾物理獎（圖23）。勞厄1899年在20歲上才開始上大學，先後上了斯特拉斯堡（現屬法國）大學、哥廷恩大學、慕尼黑大學，1902年轉入柏林大學，跟隨普朗克學習，1906年就在索末菲手下獲得了私俸講師的資格。勞厄著述頗豐，主要在X-射線和相對論方面，不在此一一羅列了。有一本關於物理學史的，Max von Laue, Geschichte der Physik, Universitätsverlag (1946)，被翻譯成了多種語言。

勞厄1915年發表了兩篇關於黑體輻射的文章，Max von Laue, Die Einsteinschen Energieschwankungen（愛因斯坦的能量漲落）, Verh. der Deutsch. Phys. Ges.17, 237-245(1915)；以及Max von Laue, Ein Satz derWahrscheinlichkeitsrechnung und seine Anwendung auf die Strahlungstheorie（一個概率計算的定理及其在輻射理論上的應用）, Annalen der Physik (Series 4) 47, 853-878 (1915), 愛因斯坦對後一篇論文的回覆是在同一期雜誌上發表的，見Albert Einstein, Antwort auf eine Abhandlung M. von Laue: Ein Satz derWahrscheinlichkeitsrechnung und seine Anwendung auf die Strahlungstheorie, Annalen der Physik (Series 4) 47, 879-885 (1915)。

勞厄思考的問題是，表示自然輻射之振動的傅里葉級數的係數，統計上可以當作獨立的存在對待嗎？勞厄的結論是，從這個傅里葉展開的係數看，統計上需要的輻射無序，不可能是空間上無序的眾多振子共同造成的。輻射的無序，源於單個振子之輻射的無序。筆者對這段內容看不懂，尤其是黑體輻射的愛因斯坦推導、相位相干的激光和黑體輻射的無序源於單個振子輻射的無序，這三個內容筆者一直無法在物理圖像上加以調和。

圖23. 勞厄

傅里葉分析在托勒密的天文學中即已孕育成型。筆者以為對傅里葉分析之思想角度的認識還有提升的空間。勞厄的這個小插曲很重要。把傅里葉級數的係數當成統計獨立的存在對待，愛因斯坦是認同的，是按照ja處理的。1925年，海森堡（Werner Heisenberg, 1901-1976）為構造譜線強度也是把傅里葉係數當作獨立對象對待的。這兩篇文章要放到一起參詳，並關注是否有後續的發展。容筆者有時間仔細研讀後再補充。

13 泡利的推導

奧地利物理學家泡利（Wolfgang Pauli，1900-1958）是個天才型人物，以對量子力學的貢獻和預言中微子而聞名，獲1945年度諾貝爾物理學獎（圖24）。泡利出生於維也納，從大學入學到博士畢業在德國慕尼黑大學整整花了三年時間。泡利的物理基礎非常好，熟悉熱力學, Pauli lectures on physics 包含 thermodynamics and the kinetic theory of gases（卷3）以及Statistical mechanics（卷4），可資為證。泡利1921年博士畢業後去給玻恩當助手，一年後去了哥本哈根。1923年這篇關於黑體輻射的論文就是年僅23歲的泡利在哥本哈根期間寫的。

圖24. 泡利，著名的物理學的鞭子

1923年是老量子力學已積累了足夠多的內容、量子力學馬上要誕生的一年 (Quantenmechanik一詞出現於1924年)。愛因斯坦1916年的黑體輻射推導，是基於輻射場同分子能級上的電子躍遷之間的平衡。那麼，對於根本沒有內能級的對象，比如電子，同輻射場構成的體系呢？泡利要找到輻射與自由電子之間相互作用的量子版機理，使得麥克斯韋分佈的電子同普朗克分佈的輻射能處於平衡[Wolfgang Pauli, Über das thermische Gleichgewicht zwischen Strahlung und freien Elektronen（輻射與自由電子之間的熱平衡）, Zeitschrift für Physik 18, 272-286(1923)]。愛因斯坦為原子體系（通過光吸收-發射）找到了如下的量子機理。吸收和受激輻射都是Erzwungene（被迫的）過程，平衡是自發輻射（體系自身的性質，幾率由係數A描述）與受迫過程（吸收+受激輻射。體系在輻射場下的行為，雙向的幾率由係數B乘上ρ來描述）的競爭。只要