有的人表面強迫症，其實是想偷偷多擼幾串肉......_風聞
中科院物理所-中科院物理所官方账号-2022-01-09 16:13
原創：中科院物理所
上週小編去擼串的時候，吃到一半，發現用來放吃完的竹籤的桶已經滿了。
什麼，我已經吃了這麼多了嗎？
於是強迫症爆發，把它們整理了一下（無圖qaq），就可以放下新的竹籤了。
看着整齊的竹籤桶，小編陷入了沉思——同樣數量的竹籤，同樣大小的竹籤桶，改變竹籤的排列方式就可以讓竹籤桶從裝滿變成只裝了一半，這背後的物理是什麼呢？
體積的描述✦
首先從幾何的角度去分析，兩種竹籤的空間排列方式對應的單根竹籤平均佔據體積不同——
等等，什麼是“平均佔據體積”？
為了考慮單根竹籤的平均佔據體積，我們定義竹籤堆的總體積為，能夠覆蓋所有竹籤的最小凸多面體。其中凸多面體被定義為，如果兩個點屬於這凸多面體，那麼連接這兩個點的線段也屬於這個凸多面體。
左側的多面體（立方體）是凸多面體：多面體內部任意兩點之間的線將完全位於多面體的內部（內核）。右側的多面體不是。
來源：flookes
我們可以從凸多面體的反義詞，凹多面體去理解這個概念。比如一個被踢癟的足球（可圖），凹下的碗狀部分的邊緣都是屬於足球的，但是連接邊緣上的兩點的線段，卻對應的是空氣，不在癟下去的足球內。
踢癟的足球
來源：istockphoto
所以，當定義竹籤堆的體積為“能覆蓋所有竹籤的最小凸多面體”時，平均佔據體積就是這個體積除以竹籤的數目。
上限與下限✦
那麼平均佔據體積它的上限和下限是多少呢？
首先考慮最小的情況。假設一根竹籤為一個理想的細長圓柱體，高度是L，底面半徑為r，考慮空間最密堆積，可以計算出，一堆竹籤中單根竹籤的最小佔據體積是
。
高密度堆積圓柱 來源：Woden Kusner
在考慮最大佔據體積時，我們需要限制這一堆竹籤的可能排列方式，不然如果這堆竹籤中有幾根相距無窮遠的竹籤，那麼這堆竹籤的體積可以對應無窮大。根據這個明顯不符合我們預期的例子，我們可以要求這堆竹籤中每一根竹籤至少與一根其它竹籤接觸。
但這樣還有一個反例，那就是這些竹籤連接成環，這樣它們對應的凸多面體的體積很大，但實際上中間有很大的空心部分。
如果我們為每根竹籤賦予一個以它自身為直徑的小球。那麼我們要求，所有竹籤對應小球的體積疊加在一起（允許部分重疊）可以覆蓋****整個多面體。這樣，如果竹籤連接成環，那必然會有空心的部分，因此被排除在假設之外啦。
接下來的問題就交給數學了。考慮竹籤是只有長度****，橫截面積為零的線段。我們需要在所有可能的竹籤排列方式中找出平均佔據體積最大的解。嚴格的證明比較困難，但是物理人絕不認輸——我們可以想辦法去靠近這個解，並“順便”在這個逼近的過程中探尋物理規律。
先看最簡單的情況。一根竹籤變不出什麼花樣來；當有兩根竹籤時，由於必須相互接觸，則構造的凸多邊形面積為**|a×b|/2**，考慮上竹籤厚度r的話，平均佔據體積為**|a×b|r/4**。當兩根竹籤相互垂直時，這個體積達到最大，為rL2/4。
當有三根竹籤時，可以忽略竹籤厚度。任意三條相接觸的線段對應的凸多面體的體積為**|a•(b×c)| /6**，平均佔據體積為**|a•(b×c)| /18**。當三根竹籤相互垂****直時，這個體積達到最大，為L3/18。如果這三根竹籤的中心也恰好在一起，那麼它們對應的凸多面體就恰好是正八面體。正八面體同時也是三根竹籤對應的凸多面體中對稱性最高的圖形，具有48種對稱操作。因此，竹籤的取向對平均佔據體積影響很大。
八面體金字塔
來源：wiki
這個解給了我們什麼啓發呢？對比這個解和平均佔據體積最小的解，我們發現，兩個解中各個竹籤的方向排列不同。平均佔據體積最小的解，所有的竹籤排列方向都是一樣的，而目前找到的最大的平均佔據體積的解，每根竹籤的方向都不同，而且是盡最大可能的不同（數學上該如何定性描述呢，emm, 物理人深思）。
而對於更多數目的竹籤，情況更加複雜。小編雖然沒有找到合適的數學模型去求解，但有一個物理模型作為破解思路。實際上，微觀世界中也存在着這樣的一堆竹籤，那就是液晶。將這種材料放大到分子尺度，可以看到它們是由一根根“小竹籤”排列組合而成的，它們在低温時呈現晶體相，也就是週期性的有序排列，隨着温度升高，這些“竹籤”變得可以流動起來，有序的取向逐漸向無序轉變，直到最後所有液晶順序都丟失，達到各向同性的液體狀態。這些液晶分子的取向或許可以為我們的最大佔據體積提供線索。
從結晶狀態加熱時觀察到的不同液晶（LC）相的示意圖
來源：I.Dierking
好了好了，説到這裏小編讀者朋友已經lay了，不如讓我們迴歸生活，看看有序和無序還有哪些體現吧——
01
更多的髮量
同一個頭，不同的髮量 來源：baijiahao
左側的頭髮佔據的空間體積大，每根頭髮的排列方向較為分散，右側的頭髮佔據的空間體積小，每根頭髮的排列方向整齊。
咱也就是説，保持頭髮亂一些，可以從視覺上增大發量（bushi
靜 電 增 發 ！！ 來源：蜂鳥網
02
更暖的衣服
美麗的鵝絨毛 來源：sohu
每一根鵝絨上都有大量的細絲，每根細絲上還會分出大量絨毛。
滿杯鵝絨 來源：baijiahao
這些絨毛上的細絲方向雜亂無章，每一團鵝絨雖然很輕，但都能佔據較大的體積。而這部分體積中大多數是空氣，空氣具有良好的隔熱特性，這使得羽絨服雖然不重，但保暖效果很好。
03
更旺的篝火
燃燒的篝火
來源：全景網
錯亂擺放的木柴，同樣具有比木柴本身體積更大的平均佔據體積，這使得空氣能夠在木柴搭出的空洞中更好的流通，讓木柴更充分的燃燒。
能量的角度
或許可以想得更深遠一點，從能量的角度上來説，在一個圓筒內，錯亂的擺放竹籤，相較於整齊的擺放竹籤往往會具有更高的重力勢能，由於沒有動能，在忽略彈性勢能的前提下，其總能量更高。根據最小勢能原理，當體系勢能最小時，系統會處於穩定平衡狀態。而實際我們在放竹籤時，如果不特別的注意，會發現竹籤總是會趨於錯亂地擺放，也就是會處於一個能量更高的態。這與最小勢能原理似乎是相違背的。問題出在哪了呢？
實際上，雖然錯亂地擺放竹籤其能量更高，但是它也是一種可以穩定存在的狀態——亞穩態。亞穩態即動力系統中的一種中間能態，而非系統的最小能態。兩個穩定的狀態之間存在一個勢壘，輕易的擾動沒法讓它從一個亞穩定的狀態(1)變到更穩定的狀態(3)，而是需要克服勢能做功****來越過勢壘。
亞穩態(1) 到穩態(3) 來源：wiki
對擼串桌上的竹筒而言，就是拿出我們的手，一根一根的整理竹籤，才能夠讓它到能量最低的狀態。不同的體系中的勢壘高度不同，竹籤的形狀、重量、表面粗糙程度，還有竹籤筒的形狀，都會影響勢壘的高度，因此有的體系達到整齊擺放的狀態很容易，只需要輕微的擾動就可以讓它們從錯亂擺放的狀態變成有序的狀態。
在筷子筒中隨意的放置筷子，也能達到有序的狀態
温馨提示
好了
今天的分析就到這裏
過了臘八還有年
與友小聚，擼串之餘
別忘了整理竹籤哦~
參考文獻
Octahedral pyramid - Wikipedia
Packing cylinders with high density. | Download Scientific Diagram (researchgate.net)
Determining Convexity of Polyhedra (flookes.com)
Octahedral pyramid - Wikipedia