黑體輻射公式的多種推導及其在近代物理構建中的意義(四)_風聞

黑體輻射是近代物理史上一隻會下金蛋的鵝, 是近代物理的搖籃。黑體輻射研究的意義還在於這是唯一一個涉及c, k, h三個普適常數的物理情景。黑體輻射譜抗測量誤差的特性帶來了輻射標準和絕對温度參照，譜分佈公式對模型的不敏感則使得黑體輻射成為獨特的物理研究母題。黑體輻射譜分佈公式，普朗克多角度推導過，德拜推導過，艾倫菲斯特推導過，勞厄推導過，洛倫茲和龐加萊深入討論過，泡利推導過，玻色推導過，愛因斯坦在20多年的時間裏多角度推導過且產出最為豐碩，近代還有從相對論角度的推導，每一個角度的推導都帶來了物理學的新內容，這包括量子力學、固體量子論、受激輻射、量子統計、相對論統計，等等。認真回顧黑體輻射研究的歷史細節，考察其中的思想概念演化。不啻於體驗一次教科書式的學（做）物理之旅，比如也可以嘗試給出能量局域分立化的簡單新證明。

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

黑，真他媽的黑啊！

——劉慈欣《三體》

14 玻色的推導

印度人玻色（Satyendra Nath Bose, 1894-1974）是一個典型的polymath型的學者（圖25）。玻色1913年大學畢業，1915年碩士畢業，據説總考第一，他的朋友薩哈（Maghnad Saha，1893-1956）總考第二。玻色和薩哈是親密朋友，構成了一個研究聯合體。{薩哈關於原子離化的公式與相空間、統計有關，這和玻色的學問極為接近。愛因斯坦在伯爾尼時和朋友Conrad Habicht、Maurice Solovine組成了三人學習小組，自稱奧林匹亞學園，Akademie Olympia}[13]據説當年一個德國植物學家P. J. Bruhl來到了印度，隨身攜帶大量的德語科學書籍。這位老兄原本計劃到印度悠閒地多讀幾本書，結果發現印度太熱，於是急忙逃離連書都不要了。薩哈和玻色兩人因此得以熟讀玻爾茲曼、普朗克、維恩等人的著作。{這個德國植物學家是老天專門派去成就玻色和薩哈的。1975年知識青年陸續聚攏，我從我家旁邊的知青窩點撿到了半本被丟棄的《大同煤礦工人血淚史》，那是我讀過的第一本小學課本之外的書。要是那些知青能丟下個半本量子力學、相對論啥的，説不定我也能13歲上大學。}此外，一個叫Debendra Mohan Bose的印度人1919年從德國回到印度，給玻色又帶回了普朗克的書，這也就容易理解玻色為什麼會研究黑體輻射問題了。玻色精通熱力學和電磁學理論，從1916年起開始研究相對論，故非常熟悉愛因斯坦的工作。1918年，薩哈和玻色兩人聯手在英國的Philosphical Magazine雜誌上發表了關於氣體動力學的文章[Megh Nad Shaha, Satyendra Nath Basu[14], On the influence of the finite volume of molecules on the equation of state, Philosophical Magazine 36, 199-202(1918)]，算是初試牛刀。1919年的愛因斯坦因廣義相對論而家喻户曉, 玻色與薩哈兩人努力把愛因斯坦的相對論德語表述翻譯成英文。1921年，玻色開始教授熱力學和麥克斯韋的電磁理論。據説是薩哈讓玻色注意泡利和艾倫菲斯特等人新近推導普朗克分佈的努力。1923年，玻色向Philosophical Magazine雜誌投了一篇稿件, 宣稱統計力學方法即足以研究輻射-物質間的熱平衡，與能量交換過程的具體機制無關。6個月後，玻色被拒稿。

1924年6月4日，玻色給愛因斯坦寄去一封德語信，信中寫道：

尊敬的先生，我斗膽隨信發給您一篇文章向您請教。我急切地想知道您的看法。我試圖不依賴經典電動力學而只通過假設相空間的體積單元為h3就能得到普朗克定律裏的係數8πν2/c3。我的德語水平不足以把這篇文章翻譯成德語。如果您認為這篇文章還值得發表，請您安排它在Zeitscrift für Physik上發表，對此我不勝感激。儘管我們素不相識，但我在做出上述請求時沒有任何猶豫，因為雖然我們只能通過您的文章受教於您，我們也都是您的學生。

您真誠的

玻色

我必須説，這是一封真誠的、禮貌周到的信函。

愛因斯坦於7月2日回覆了一張明信片，不長，照錄如下：

Lieber Herr Kollege, ich habe ihre Arbeit übersetzt und der Zeitschrift für Physik zum Druck übergehen. Sie bedeutet einen wichtigen Fortschritt und hat mir sehr gut gefallen. Ihre Einwände gegen meine Arbeit finde ich zwar nicht richtig. Denn das Wiensche Verschiebungsgesetz setzt die undulationstheorie nicht voraus und das Bohrsche Korrespondenzprinzip ist überhaupt nicht verwendet. Doch dies thut nichts. Sie haben als erster den Facktor quantentheoretische abgeleitet wenn auch wegen des Polarisations-Faktor 2 nicht ganz streng. Es ist ein schöner Fortschritt.

Mit freundlichen Grüss Ihr

Albert Einstein

愛因斯坦的回覆可簡單翻譯如下：

親愛的同事先生，我已將您的工作翻譯了，並交給Zeitscrift für Physik雜誌刊印。您的工作意味着一個重要的進展，我很喜歡。您對我本人的工作的挑剔我以為並不正確，因為維恩的位移公式不以波動理論為前提，也根本沒用到玻爾的對應原理。當然了，這沒關係。您首先用量子理論導出了（普朗克公式的）因子，儘管關於極化因子2的部分不那麼嚴謹。這確實是一個漂亮的進展。

致以友好的問候，您的

阿爾伯特·愛因斯坦

我必須説，對愛因斯坦的這個回覆，我不知道説啥好。

愛因斯坦接受了玻色的請求，把他的文章給翻譯成了德文。不知道玻色的對愛因斯坦公式的挑剔是不是在英語原文中有更多體現。愛因斯坦在提交德語譯文給雜誌時還附上了一個便條，上寫道：“我認為，玻色對普朗克公式的推導是一個重要的進展。這裏用到的方法也能得到理想氣體的量子理論。關於這一點，我會在別處展開 (Boses Ableitung der Planckschen Formel bedeutet nach meiner Meinung einen wichtigen Fortschritt. Die hier benutzte Methode liefert auch die Quantentheorie des idealen Gases, wie ich an anderer Stelle ausführen will)。”

圖25. 玻色

派斯在愛因斯坦傳記中認為，玻色1924年的文章是老量子力學的第四篇也是最後一篇革命性文章，前三篇分別是Planck (1900)，Einstein (1905) 和Bohr (1913) 那三篇。我比較認同這個説法。

玻色的推導簡單明瞭，但它有三個新穎、激進的特徵。1）黑體輻射由0-質量，動量為hν/c（那時候關係p=hν/c才剛寫出一年半）、能量為hν的類粒子光量子組成，它們被當作粒子進行排列組合；2）沒有涉及經典理論。所謂獨立的、穩衡的振動模式數被粒子相空間的小室（數目）給替代了；3）玻色的在小室中分配頻率區間內量子數目的統計規律，意味着粒子間存在一種新的統計相關。這種特徵被稱為粒子不可分辨性（全同性），只和計數方式有關。將相空間整數化，相較於普朗克的能量整數化，看似是個進步。其實，相空間量子化是幾何的玩法，量子就是首先被黎曼1859年作為幾何對象引入的。物理幾何化也是物理的後來發展方向。這些算是關於光的行為和統計的革命性看法。玻色的文章稱輻射是無質量粒子。{光子，photon, 這個名字 1926年才出現。}因為吸收和發射, 熱輻射作為粒子集合那就有粒子數不守恆問題。在這些認知下，用一種新的統計方式描述，得到了普朗克統計。

玻色認為上述推導包含不必要的假設，物質在輻射場中的熱平衡依然可以用統計的方法得到而不必涉及具體的能量交換機制。{這正體現統計的威力啊!}況且，體系狀態的概率就是兩者各自概率的乘積，所謂的平衡態就是整體體系的概率最大。若平衡時輻射場是普朗克分佈，物質是麥克斯韋分佈，那相應的統計關係是什麼樣的呢？

愛因斯坦對玻色的第二篇文章的評論是，“您的原理同如下兩個條件不相容: 1） 吸收係數獨立於輻射密度；2）輻射場中振子的行為應該作為極限情況從統計規律得到。” 玻色不能接受這種觀點。1925年兩人在柏林相遇，愛因斯坦建議玻色考慮兩件事：1）新統計是否意味着光量子之間有新的相互作用？2）在新量子理論中光量子統計和躍遷概率是怎樣的？結果都沒下文。

據Partha Ghose回憶，玻色有自己的構造量子論的方法，基於自發輻射和受激輻射之間的關聯，擬作為其第三篇文章的主題。愛因斯坦是將自發輻射和受激輻射當作獨立的過程處理的。玻色説他打算從新觀點看待輻射場，把能量量子的傳播同任何電磁影響分開來，而且如果量子論要想同廣義相對論合拍的話，這種分離就是必要的。但是玻色關於黑體輻射的第三篇文章一直沒有蹤影。1924-1925年在法國和德國待了一段時間後，玻色從柏林回到印度，後來就沒有研究成果了。

玻色在這兩篇論文裏的玩法，是愛因斯坦早已經玩得溜溜的了。因此，愛因斯坦看到玻色的論文願意為他翻譯，並且説他也要接着做些工作。愛因斯坦説到做到，1924年一篇，1925年兩篇，且在第二篇論文中引入了凝聚（玻色-愛因斯坦凝聚）的概念。

關於玻色的工作，如下幾篇文獻可供參考：

Kameshwar Wali, The man behind Bose statistics, Physics Today 59(10), 46-52(2006).Robert Bruce Lindsay and D. ter Haar, Men of physics: Lord Rayleigh-The Man and his work, Pergamon (1970).Mehra Jagdish, Golden age of theoretical physics, World Scientific (2001).Barry R. Masters, Satyendra Nath Bose and Bose-Einstein statistics, Optics and photonics news, 41-47, April 2013.

15 愛因斯坦再次出場

愛因斯坦此前的工作表面表明，黑體輻射是輻射場的漲落，黑體輻射分佈函數1/(e^hν/kT-1)中的“-1”在輻射-雙能級分子模型中明確來自受激輻射機制。愛因斯坦一直對熱力學、統計力學感興趣，我甚至覺得愛因斯坦並未區分什麼物理的領域，他只是研究物理的而已。前面説過，閲讀愛因斯坦論文時每一個字都不可以漏過。我不敢説其中的每一個字都包含物理，但我感覺其中的每一個字都對我理解物理有幫助。

玻色的黑體輻射推導勾起了愛因斯坦的興趣，估計他在給玻色翻譯論文的過程中就完成了自己的推導。愛因斯坦果斷中斷了當時佔據他腦海的統一場論研究，轉過來談統計問題，而這本是他的拿手好戲。結果是，愛因斯坦迅速兩篇論文出手，其中第一篇分兩部分發表：

Albert Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases (單原子理想氣體的量子理論), Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse, 261-267(1924).Albert Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases, zweite Abhandlung (單原子理想氣體的量子理論之二), Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse, 3-14(1925).Albert Einstein, Zur Quantentheorie des idealen Gases (理想氣體的量子理論), Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse, 1825 (1925).

愛因斯坦這兩篇文章之後的統計力學有了量子統計的面貌。

這兩篇論文，因為題目相似，其1925年的“理想氣體的量子理論”一文連wikipedia的Bose-Einstein statistics和Bose-Einstein condensate條目都是忽略的。愛因斯坦的第一篇（分為兩部分的）文章，表述中連字母使用都有點兒忙亂，不是很好懂。筆者愚魯，一時不能拿捏準確。

愛因斯坦1926年和1927年的兩篇與光子有關的文章也值得關注，分別是：

Albert Einstein, Vorschlag zu einem die Natur des elementaren Strahlungs-emissions-prozesses betreffenden Experiment (關於與基本輻射發射過程之本質有關的實驗的建議), Naturwissenschaften 14, 300-301(1926).Theoretisches und Experimentelles zur Frage der Lichtentstehung (光產生問題的理論與實驗考量), Zeitschrift für angewandte Chemie, 40, 546 (1927).

行文至此，筆者以為就黑體輻射而言，愛因斯坦的研究是最深刻的，也是收穫最大的。愛因斯坦的黑體輻射研究收穫總結如下：

解釋了光電效應、斯塔克效應等；建立了固體量子論；發展了漲落理論，認識到光的波粒二象性；得出delta函數和用Dirac-comb表示的態密度分佈；得出e與h的內在關係；提出受激輻射概念；導出玻色-愛因斯坦統計；提出玻色-愛因斯坦凝聚。

有趣的是，基於受激輻射概念人類實現了激光，多年後激光冷卻技術讓玻色-愛因斯坦凝聚成為可能，而它們都是推導黑體輻射公式之努力的結果。黑體輻射是第一個相對論統計研究，在狹義相對論出現之前，後來又引出了量子力學。黑體輻射之意義，由此觀之，怎麼強調都不為過。

16

玻色-愛因斯坦統計與費米-狄拉克統計

C. G. Darwin, R. H. Fowler, On the partition of energy, Philosophical Magazine Series 6, 44, 450-479(1922).C. G. Darwin, R. H. Fowler, On the partition of energy.Part II. Statistical principles and thermodynamics Philosophical Magazine Series 6, 44, 823-842(1922).R. H. Fowler, Statistical Mechanics, Cambridge Universal Press (1952).

與玻色-愛因斯坦統計對應的還有費米-狄拉克統計。費米-狄拉克統計是1926年由意大利物理學家費米和英國物理學家狄拉克獨立提出的。費米（Enrico Fermi，1901-1954）1926年3月提交的一篇論文，題目和愛因斯坦1924年的論文幾乎一摸一樣[Enrico Fermi, Zur Quantelung des idealen Einatomigen Gases (理想單原子氣體的量子化), Zeitschrift für Physik 36, 902-912(1926)]。{費米的這篇論文是一篇標準的外國人寫的德語論文。請注意，德語很詭異，德國人自己一般都寫不好，非德國人更是很難寫得像樣。希臘人Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή (Constantin Carathéodory, 1873-1950)的熱力學第二定律的公理化表達那篇文章是外國人寫的真德語，格外稀罕。}費米指出，低温下分子運動量子化，其行為同經典理論有偏差, {前面的退化。費米用了Entartung，Entartungserscheinung, Entartungstheorie等詞, 對應德語動詞abweichen, 偏差。}解釋這些偏差的理論會採用這樣或那樣的假設，而作者發現只需要假設系統裏不可以存在量子數相同的兩個等值單元（nie zwei gleichwertige Elemente vorkommen können, deren Quantenzahlen vollständig übereinstimmen）即可。{是不是從數學得來的考慮呢？}

狄拉克在量子力學語境裏討論理想氣體[P. A. M. Dirac, On the theory of quantum mechanics, Proc. Roy.Soc. London A112, 661-677(1926)]。在1926年8月提交的這篇文章裏，他就用到了Einstein-Bose Statistics一詞。狄拉克統計從狄拉克一方一開始是從多電子體系波函數開始的。{黑體輻射帶來了普朗克分佈和光輻射能量量子化。研究原子的輻射問題，譜線位置和強度，有了量子力學。玻色關於黑體輻射的工作經過愛因斯坦到理想氣體的推廣有了玻色-愛因斯坦統計。而狄拉克得到費米-狄拉克統計來自對多電子體系的考慮，即多粒子體系波函數的對稱性問題。為了讓系統的運動積分是矩陣，滿足矩陣的乘法，那多粒子體系的波函數要麼是對稱的，要麼是determinantal form（保證反對稱性）。量子力學，從一個開始就是統計的幹活。不要把統計和量子力學分開。量子統計出現在量子力學之前，至少是在薛定諤1926年的波動力學之前。愚以為，量子統計是個不恰當的概念，統計從來基於可數性、分立性，用的是整數。}

費米-狄拉克統計可以從grand canonical ensemble, canonical ensemble, and microcanoncal ensemble推導。

如今的文獻提起費米-狄拉克統計，會謂之為量子統計，言明是遵循泡利不相容原理的粒子的統計。這個考慮是用單粒子能量狀態來描述幾乎沒相互作用的多粒子態，但沒有兩個粒子處於相同的那種多體狀態中。這個費米子無相互作用的統計前提讓我非常十分很困惑。如何將電子納入無相互作用體系的圖像的呢？或者是在將相互作用納入了背景以後的問題中使用的統計？

據信，費米-狄拉克統計是1925年由約當（Pascual Jordan，1902-1980）先推導出來的，並且他稱之為泡利統計[Jürgen Ehlers, Engelbert Schücking，Jordan, Pauli, Politics, Brecht, and a Variable Gravitational Constant, Physics Today 52(10), 26-31(1999); Jürgen Ehlers, Engelbert Schücking，Aber Jordan war der Erste (約當才是第一個),Physik Journal 1 (11), 71-74(2002)]。約當把論文投給了Zeitschrift für Physik，而主編玻恩老師把稿件往抽屜裏一塞去了美國，半年後回來再拿出這篇論文，費米的論文已經發表了（圖26）。在約當的《量子基礎上的統計力學》 (Statistische Mechanik auf quantentheoretischer Grundlage, Vieweg (1933))一書裏，約當提到這個統計，但不提任何人的名字，其中悲憤，估計別人是無法體會的。此外，波動力學最關鍵的關係式p→iħ∂也是約當於1925年及時提出來的。沒有這個關係式，哪有1926年薛定諤的方程用於氫原子問題，即把一個形式方程轉化成一個具體的二階微分方程？

圖 26. 談論約當投稿被耽誤一事的文獻截圖 [取自Ehlers & Schücking, Physics Today].

註釋

[13] 別見到個Akademie, Academy就翻譯成科學院，Academy, Ακαδήμεία，來自雅典一個英雄的名字。Ακαδήμεία是雅典城外一片供奉女神雅典娜的種橄欖樹的園子，garden，柏拉圖老師在約公元前385年在那園子裏辦學，才讓Ακαδήμεία一詞有了高大尚的意思。一般把Academy of Sciences翻譯成科學院，科學這個標籤是要硬貼上去的。在法國，Académie層次在l’Institut de France之下。

[14] 原文如此。

[15] Zelle, cell, 生物學中漢譯為細胞，固體物理中漢譯為單胞、元胞。Electric cell則被譯成電池。中國人在不着調的學者帶領下學個科學真難啊 ↑

[16] Ensemble 被漢譯成系綜，割裂統計物理同其它數學的聯繫。哪有什麼系綜，就是簡單的集合而已，可按法語中的ensemble來理解，見Nicolas Bourbaki, théorie des ensembles (集合論), Springer (2006).

特 別 提 示

1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閲不同主題系列科普文章。

2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回覆四位數組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。

版權説明：歡迎個人轉發，任何形式的媒體或機構未經授權，不得轉載和摘編。轉載授權請在「返樸」微信公眾號內聯繫後台。