聊聊費馬猜想那點事兒_風聞

首發於公眾號“賊叉”

盛極必衰的道理哪兒都適用，古希臘數學在丟番圖的《算術》出來以後到達了頂峯，然後開始走下坡路。從公元3世紀一直到14世紀，由於歐洲處於教會的黑暗統治之下，數學發展就停滯了。在長達一千多年的時間裏，歐洲的數學完全沒有任何可以提的東西。直到15,6世紀的文藝復興時代，歐洲的數學才重啓了。在這個時期也出現一系列的重大成果，比如一元三次、四次方程求根公式等等——要知道這個距離一元二次方程求根公式被發現已經間隔了一千多年。但是數論這塊的重啓要晚一些，一直到了17,8世紀才開始。

這個時期湧現出來的大數論學家幾乎都是法國人，比如拉普拉斯、勒讓德、拉格朗日、費馬等等，除了歐拉是瑞士人。

是的，你看到的拉普拉斯變換，勒讓德多項式、拉格朗日中值定理中的這些人都是數論的大拿。。。而在這些人中，費馬是唯一的一個業餘數學家。

皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat，1601年8月17日～1665年1月12日），法國律師和業餘數學家。是的，他的主業是律師。和另一位全才萊布尼茲（本人的祖師爺，微積分的發明人之一）的職業一樣。

因為費馬實在是太牛了，成就超過了很多職業數學家，所以在數學史上有且僅有這一位業餘數學家，這是數學界公認的。數學家這個事情呢都是同行認同，從來沒有自封的，如果你看到有人自稱數學家那肯定就是個騙子。

費馬因為在數論中的貢獻實在太大，以至於掩蓋了他在微積分中的貢獻。學過微積分的都知道有個費馬引理，函數f(x)在x=a處可導，如果對於任意的x∈U（a)，都有f(x)≤f(a) (或f(x)≥f(a) )，那麼f ‘(a）=0。

換句話説，費馬早就發現了函數的極值和導數之間的關係，要知道那可是17世紀啊！崇禎尋死覓活，李自成揭竿而起的時候，費馬就在搗鼓這玩意。。。

而且這麼牛叉的結論對於費馬來説，只是很不起眼的工作。費馬在數論上的成就實在是太多了。比如他指出形如4n+3的質數不能表示成兩個數的平方和；形如4n+1的質數可以表示成兩個數的平方和，本質上只有一種方式。

所謂質數是指除了1和本身，這個數不能被其他正整數除盡，像2,3,5,7這些都是質數，而且2是唯一的偶質數。

那個時代的數學家還喜歡互相寫信交流心得，這和14,5世紀的數學家的作風完全不同。他們把數學技能視為自己的私有財產，絕不肯傳授給其他人。像前面提到那個發明一元三次方程求根公式的哥們是個意大利數學家，叫塔塔格里亞，他對自己獨創的一元三次方程的解法嚴格保密，後來是被一個賭徒騙走的。。。所以後來這種互通研究內容的風氣使得數論這個分支蓬勃發展了起來。

費馬在信中提到的成果也是頗為豐碩的，比如費馬小定理就是其中一個。若p為質數，則對每個整數a，a^p-a可被p整除；還有知名的費馬質數問題。

費馬質數是指形如2^（2^n）+1的整數都是質數。事實上當n=0,1,2,3,4的時候都是對的，但是當n=5的時候就不對了。

2^2^5+1=4294967297= 641 × 6700417，這是由神一樣的歐拉找到的第一個反例。後來人們發現，當n≥5的時候，目前為止2^2^n+1都不是質數，換句話説，現在變成了要證明n≥5的時候， 2^2^n+1都不是質數，現在還沒有能找到一個反例説明這個結論是錯的，或者證明它是對的。

費馬出手真的是非同凡響，就連錯都錯的那麼有個性，錯也錯出個大問題，像我們要是錯了那就是個笑話。。。