一卷廁紙有多少長？沒有人比我更懂卷_風聞

撰文 | 大模頭

引 言

儘管某些國家或地區的人（例如印度）上廁所時不用廁紙（衞生紙），但對大多數體面的現代人來説，廁紙是不可或缺的生活用品。而人們每天使用的這些廁紙中，超過 75% 的都是由原生樹木製造的[1]（圖 1）。

圖 1: 廁紙的生產流程

為了滿足人們對廁紙的需求，全球每天需要生產 2.8 億卷衞生紙，砍伐 8.2 萬棵樹[2]。巨大的廁紙需求使自然資源和環境揹負上了沉重的負擔。

圖 2: 各國人均年廁紙消費量（2018 年數據）

在 2018 年的一項調查[3]中顯示，我國人均生活用紙消費量處於全球較低水平，僅為 4.4 公斤（圖 2）。而自我標榜環保的美國、德國、英國等西方發達國家，無一例外，都是廁紙消費大國。美國人均年廁紙消費量最高，達到了 12.7 公斤。其次是德國和英國，也都超過了 10 公斤。

圖 3: 廁紙廣泛使用前的替代品

相較之下，古代人就比較環保。在古代，紙還不那麼地普及，只能用來書寫的時候，人們用來擦屁股的物品可謂五花八門（圖 3）。富人用羊毛、織物、草紙等柔軟物品；窮人則用樹葉、竹片、乾草、小石塊、農作物秸稈、果皮等，附近有水源的則用水洗。

圖 4: 朕倒要看看，這紙到底有多長？

而我們現在普遍使用的卷狀廁紙直到 1890 年才出現。現代卷狀廁紙通常中間有個空心紙芯（捲筒），上面一圈圈地纏繞着衞生紙。衞生紙寬度為 10 釐米左右，總長度一般在十幾到幾百米不等。具體長度取決於卷狀廁紙的內、外半徑和紙的厚度。相信很多人都好奇過一卷廁紙到底有多長？本文將建立多個模型來回答這個問題。

問 題

圖 5: 廁紙的幾何參數

模 型

等面積模型一種最簡單、也最容易想到的方法是利用廁紙卷展開前後側面積相等來計算。

圖 6: 等面積模型示意圖

同心圓模型除了上面連小學生都會的等面積模型，還可以通過加和每一圈紙的周長來計算廁紙的總長度。為了簡化問題，我們將廁紙卷近似為一圈圈的同心圓（圖 7）。

圖 7: 同心圓模型示意圖

注意，上式給出的結果與等面積模型的完全一樣。這是因為同心圓模型與等面積模型沒有實質差別（圖 8）。

圖 8: 同心圓模型與等面積模型

在同心圓模型中，如果每個圓環的周長乘以紙張厚度h就轉化為了面積。因此，周長的加和本質上就是面積的加和。

螺旋線模型上一個模型中，我們假設廁紙卷一圈圈半徑的增大是離散的。實際上，捲紙半徑隨着紙的纏繞角度逐漸增大更符合直觀。

圖 9: 自然界中的螺旋線

數學上將旋轉半徑隨旋轉角度勻速地增大而產生的軌跡稱為阿基米德螺旋線，自然界中也有很多類似螺旋線的結構（圖 9）。因此可將捲紙假設為阿基米德螺旋線[4]。

圖 10: 螺旋線模型示意圖

更懂卷模型同心圓模型假設一圈圈廁紙的半徑是離散的，而螺旋線模型假設廁紙半徑是連續均勻變化的，這兩個模型都不是廁紙卷的完美近似[6]。真正的廁紙卷並不是以同心圓或螺旋線的方式纏繞在紙芯上的。

圖 11: 沒有人比我更懂卷

圖 12: 更懂卷模型示意圖

結 果

圖 13: 廁紙的參數測量

將這些參數分別代入同心圓（等面積）、螺旋線和更懂卷模型，得到各模型算得的廁紙長度分別為 23562 mm，23562 mm 和 23556 mm。幾種模型給出的結果並沒有什麼明顯差別，都約為 23.6 m。而實際該廁紙包裝上標註的長度為 23 m（圖 13）。模型計算出的廁紙長度與包裝上的標註長度之間相差僅 2.6%

結 論

針對一卷廁紙有多長這個問題，本文分別建立了等面積、同心圓、螺旋線和更懂卷模型。這四個模型依次由易到難（適合不同層次的讀者），但都僅需要知道廁紙卷的內外半徑和一層紙的厚度就可以計算出廁紙的總長度。通過對各模型的廁紙長度表達式對比發現，四個模型給出的結果相同或相近。為了驗證模型，我們將這四個模型應用到某型號的廁紙上。四個模型給出的結果幾乎沒有差別，都約為 23.6 m，這與該型號廁紙包裝上的標註長度（23 m）僅相差 2.6%。

通過比較四個模型，我們發現，儘管螺旋線和更懂卷模型比等面積和同心圓要複雜得多，但複雜的模型並沒有得到明顯更好的結果。因此，對於僅關心廁紙長度的人來講，等面積模型就已經是一個足夠簡單和足夠精確的模型。而對於關心廁紙到底是如何卷在紙芯上的人，更懂卷模型是一個很好的演示。

圖 14: 線軸上的線有多長?

本文針對的問題是二維的，所建立的模型也都是二維的。現實生活中還存在類似的三維問題，如線軸上纏繞的線（圖 14）。但實際上，本文的模型也可以稍作擴展來解決這些三維問題。例如對於線軸問題，可將線軸上每一層線想象成一層紙，而每一層線又都是三維螺旋。關於線軸上的線有多長，這裏就不再展開討論，有興趣的讀者可參考本文模型自行建模計算。

參考資料

[1] 標準起草小組. 《綠色產品評價紙和紙製品》國家標準編制説明, 2017: https://www.energylabelrecord.com

[2] 大模頭. 為什麼我鼓勵大家不擦屁股? 2021: https://mp.weixin.qq.com/s/KxaPBl2GP_mXgZlw0yD2kA

[3] Martin Armstrong. The u.s. leads the world in toilet paper consumption, 2018: https://www.statista.com/chart/15676/cmo-toilet-paper-consumption

[4] Peter R Johnston. How long is my toilet roll?–a simple exercise in mathematical modelling. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 44(6):938–950, 2013.

[5] UT CALCULUS. Arc length of polar curves: https://web.ma.utexas.edu/users/m408s/m408d/CurrentWeb/LM10-4-4.php

[6] Jan. Calculating the length of the paper on a toilet paper roll, 2016.: https://math.stackexchange.com/questions/1633704/calculating-the-length-of-the-paper-on-a-toilet-paper-roll

[7] Tork. Tork conventional toilet roll advanced –2-ply, 2020: https://www.tork.co.uk/product/100200/refill/toilet-paper

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