抓三堆遊戲及其終極奧秘（第一部分）_風聞

“抓三堆”遊戲及其終極奧秘 （第一部分）

 　　　　　          　  萬春熙（北京理工大學），2022年 1月    

前言

“抓三堆”遊戲有趣且簡便易行、隨時隨地都可玩起來，可以自娛自樂（左右手對弈），能增益智力。遊戲者若掌握其原理，將有助於培育十進/二進制轉換與集合運算能力。

我在1969年接觸到這個遊戲。那時，北理工的教師和學生一起到首鋼參加勞動。休閒的時候，一位同學用這遊戲發起“挑戰”；在上、下工的隊伍裏，我們曾經用輪流口述三個數字的方式，一邊走路一邊玩遊戲。後來，我悄悄地破解了遊戲奧秘。

五十多年過去了，忽然發現網上竟湧現出很多討論這個遊戲的貼文，但卻無一能明確徹底地揭示該遊戲的奧秘；反而，混亂和錯誤比比皆是。所以，深感有必要把這個遊戲的終極奧秘公佈出來，併力求解説得明白透徹，供有興趣的朋友們實踐運用或研究參考。春節即將到來，又是疫情期間，希望這遊戲能給人們增添快樂。

本文有兩部分：第一部分是入門，介紹該遊戲的操作方法、規則和初步技巧。第二部分揭示該遊戲的終極奧秘。

建議先讀第一部分，並且要親自試做幾次遊戲（左右手互弈更好），積累經驗、試探規律。然後再讀第二部分（需要某些數學知識），才能徹底理解並掌握百戰百勝的法則。

第一部分， “抓三堆”遊戲入門

一、遊戲方法與規則：

設置三堆棋子（或石子、紙團、硬幣等顆粒物），每堆數量不限。熟練後也可用口述或書寫三個數字等方式來代替棋子。

規則：甲乙兩方對弈，輪流從任選的一堆（限制只選一堆）中取出至少一枚（甚至全部）棋子。反覆進行，直到最後一堆的最後一枚（甚至全部）棋子被一方取走，清零，則最後這位操作者獲勝。

定義：若a,b,c是各堆棋子的數目，則集合 {a,b,c} 是遊戲的局勢，簡稱“局”。集合中各元素可任意排序，即 {a,b,c}={b,c,a}={c,b,a}。

定義：局中棋子的總數為該局的“層級”。遊戲中的每一步操作都必定使局的層級降低，直至清零（層級為零，無可再低）。

在所有可能的局勢中，“可控局”是致勝關鍵（其嚴格定義將留待第二部分），下面的例子將展示遊戲過程中，如何通過一系列“可控局”，一步步取得勝利。

例1，設置三堆棋子，隨機地假定局勢為｛5,7,9｝（非可控局）。

第一輪操作：甲將5減至2，得到 {2,7,9}；

乙將9減至5，得到 {2,7,5} —— 這是可控局。

第二輪操作：甲將7減至3，得到 {2,3,5}；

乙將5減至1，得到 (2,3,1) —— 這是可控局。

第三輪操作：甲將3減至0，得到 {2,0,1}；

乙將2減至1，得到 {1,0,1} —— 這是可控局。

第四輪操作：甲將某個1減至0，得到 {0,0,1}（無選擇餘地）；

乙將最後的1清零，得到 {0,0,0}，乙勝。

二、制勝的初步秘訣和策略（較簡單的“可控局”等）：

１、最簡制勝招數是造成“兩堆一樣”，這是一批“可控局”。—— 在例1第三輪，乙方弈出 {0,1,1}；即鎖定了勝局。隨後，無論甲方如何操作，乙方總能清零並獲勝。故對於甲方而言 {0,1,1} 是必敗局，對於乙方則是必勝局；這就是一個可控局，乙方是主控者。

注意，{0,2,2}、{0,3,3}、…{0,m,m}、…都可經過若干輪的操作而抵達{0,1,1}，故 {0,m,m} 是一批可控局，其中m是任何正整數。

（注：若對方已陷入 {0,m,m} 局勢中；假定他從某個m中減去p枚棋子，則主控方只需在另個m中也減去p枚棋子，局勢 {0.m-p,m-p} 仍是“兩堆一樣”，直到 {0,1,1}、{0,0,0} 為止。）

2、{1,2,3} 是第二個最簡單的可控局。—— 在上例第二輪第二步，乙方弈出的 {1,2,3} 也是可控局。甲方此時有6種操作方案，但是隨後乙方必能弈出 {0,m,m}，最終獲勝。

3、“可控局”、“可控操作”和“可控網”：—— 存在無限多的可控局，但卻有更多的“非可控局”。下面列出一批層級較低的可控局，將它們按層級列陣如下（只需掌握其中5-6個以上層級最接近 {0,0,0} 的可控局，就能在遊戲中擁有很大的主控權）：

：     ：     ：     ：     ：     ：

{5,8,13} , {5,9,12} , {5,10,15} , {5,11,14} , {5,16,21} , {5,17,20}, … … ;

{4,8,12} , {4,9,13} , {4,10,14} , {4,11,15} , {4,16,20} , (4,17,21), … … ;

{3,4,7} , {3,5,6} , {3,8,11} , {3,9,10} , {3,12,15}, … … ; 

{2,4,6} , {2,5,7} , {2,8,10} , {2,9,11} , {2,12,14}, … … ;

{1,2,3} , {1,4,5} , {1,6,7} , {1,8,9} , … … ; 

{0,1,1} , {0,2,2} , … … … , {0,m,m} , … … ;

{0,0,0} 。

從任何一個高於 {0,0,0} 的可控局出發，若只通過一步操作，絕不可能抵達另一個可控局，只能抵達某個“非可控局”（必定是層級較低的）。

但從任何“非可控局”出發，施行某種“可控操作”（本文第二部分將詳細解説，也可按上面舉出的可控局陣列操作），定能抵達某個層級較低的“可控局”。

如此逐輪操作下來，可構成朝向 {0,0,0} 匯聚的網，即“可控網”。

策略：主控方必須搶先弈出可控局，隨後每輪持續弈出可控局，使對方無法擺脱可控網、逐步逼近 {0,0,0}；最後以可控的方式“清零”。

三、變換“獲勝準則”將會怎樣？可以“讓對手獲勝”嗎？

1、變換“獲勝準則”之後，如何獲勝？

若是約定：“清零者失敗”（事實上，的確有不少人偏愛這個準則），前述的獲勝策略總體上依然有 —— 主控方仍需一路控制局勢，直到清零之前的最後一輪，才必須做出調整。

回憶例1，原來有：“… …  

　　第三輪操作：甲將3減至0，得到 {2,0,1}；

　　乙將2減至1，得到 {1,0,1} —— 這是可控局。

　　第四輪操作：甲將某個1減至0，得到 {0,0,1}；

　　乙將最後的1清零，得到 {0,0,0}，乙勝。       ”

現在，乙方需要在第三輪第二步及時調整策略：避開可控局 {0,1,1}， 卻要搶先弈出 {0,0,1} （“非可控局”）。隨後，甲方只能清零，按新規則甲敗，乙方獲勝！

詳細地説，調整後的策略應是：

　　（1）目標：搶先弈出 {0,0,1} 。為此，主控方需從較高層級的可控局出發，一路控制下來，直到弈出 {0,2,2} 或 {1,2,3} 為止。

注意：絕不可弈出{0,1,1}，它緊鄰 {0,0,1}，對方將一步獲勝。

　 （2）{0,2,2} 是第一個可控臨界點。此後，對方有2種可能方案，即 {0,0,2} 或 {0,1,2}，隨後，主控方必能弈出 {0,0,1}。

（3）{1,2,3} 是第二個可控臨界點。此後，對方有6種可能的操作方式；待其操作後，主控方將有：

（i）2個機會：若對方弈出{0,1,2} 或 {0,1,3}，主控方應及時弈出 {0,0,1}；

（ii）2個機會：若對方弈出{1,1,2} 或 {1,1,3}，主控方應弈出 {1,1,1}，以迫使對方弈出 {0,1,1}，然後主控方就能夠弈出 {0,0,1}；

 (iii）2個機會：若對方弈出 {0,2,3} 或 {1,2,2}，主控方應弈出 {0,2,2}，然後按（2）執行。

（注1：無需硬記上述細節，只需理解並掌握原則、臨機應變。）

（注2：一般地，從某個層級較高的可控局出發，總能通過若干輪操作後抵達 {0,2,2} 或 {1,2,3}，隨後即可按（2）或（3）執行。但或許會出現對方急於求敗的情況：即對方可能從某個可控局出發，弈出一個非可控局 {0,1,m}，m > 1；這時，主控方就能直接弈出 {0,0,1}，更快地鎖定勝局。）

2、如何能夠（並且，為何有時需要）“使對方被動地獲勝”？

假若，獲勝準則恢復為：“清零者獲勝”，那麼，運用上述調整後的策略，主控方在最後一步弈出了{0,0,1}，那麼，對方隨即就能清零。於是，在主控方控制之下，對方將“被動地獲勝”。

又假若，獲勝準則已變為“清零者失敗”；那麼，只要繼續採用前面第二節的全套策略、不做任何調整，主動地一路弈出可控局，直到最後主動清零、“主動失敗”，遂使得對方“被動地獲勝”。

如果遊戲的對方是晚輩小朋友，他們大多會覺得有輸有贏的遊戲才有趣。如果能不動聲色地讓他們多贏幾盤，取得皆大歡喜的效果，應該也是樂事！—— 如果能夠給需要關愛的人們帶來更多的快樂，那將是更高層級的快樂。