這個益智遊戲有趣易行，是給眾多普通人家孩子的春節禮物_風聞

“抓三堆”遊戲及其終極奧秘 （全文）

   　　　　          　  萬春熙，2022年 1月                

前言

“抓三堆”遊戲有趣且簡便易行、隨時隨地都可玩起來，可以自娛自樂（左右手對弈），能增益智力。遊戲者若掌握其原理，將有助於發展十進/二進制轉換與集合運算能力。

我在1969年接觸到這個遊戲。那時，北理工的教師和學生一起到首鋼參加勞動。休閒的時候，一位同學用這遊戲發起“挑戰”；在上、下工的隊伍裏，我們曾經用輪流口述三個數字的方式，一邊走路一邊玩遊戲。後來，我悄悄地破解了這個遊戲的奧秘。

五十多年過去了，卻發現網上居然湧現出很多討論這個遊戲的貼文，但無一能明確徹底地揭示該遊戲的奧秘；反而，混亂和錯誤比比皆是。所以，深感有必要把這個遊戲的終極奧秘公佈出來，併力求解説得明白透徹，供有興趣的朋友們實踐運用或研究參考。

本文有兩部分：第一部分是入門，介紹該遊戲的操作方法、規則和初步技巧。第二部分揭示該遊戲的終極奧秘。

建議先讀第一部分，並親自試做幾次遊戲（左右手互弈也很好），積累經驗、試探規律。然後再讀第二部分（涉及一點點計算機專業的入門數學知識，絕對不難），才能徹底理解並掌握百戰百勝的法則。

春節即將到來，又是疫情期間，希望這遊戲以及本文能給人們增添快樂。

第一部分   “抓三堆”遊戲入門

一、遊戲方法與規則：

設置三堆棋子（或石子、紙團、硬幣等顆粒物），每堆數量不限。熟練後也可用口述或書寫三個數字等方式來代替棋子。

規則：甲乙兩方對弈，輪流從任選的一堆（限制只選一堆）中取出至少一枚（甚至全部）棋子。反覆進行，直到最後一堆的最後一枚（甚至全部）棋子被一方取走，清零，則最後這位操作者獲勝。

定義：若a,b,c是各堆棋子的數目，則集合 {a,b,c} 是遊戲的局勢，簡稱“局”。集合中各元素可任意排序，即 {a,b,c}={b,c,a}={c,b,a}。

定義：局中棋子的總數為該局的“層級”。遊戲中的每一步操作必定使局的層級降低，直至清零（層級為零，無可再低）。

在所有可能的局勢中，“可控局”是致勝關鍵（其嚴格定義留待第二部分），下面的例子將展示遊戲過程中，主控方如何通過一系列“可控局”，一步步取得勝利。

例1，設置三堆棋子，隨機地假定局勢為｛5,7,9｝（非可控局）。

第一輪：甲將5減至2，得到 {2,7,9}；

乙將9減至5，得到 {2,7,5} —— 這是可控局，於是，乙成為主控方。

第二輪：甲將7減至3，得到 {2,3,5}；

乙將5減至1，得到 (2,3,1) —— 這仍是可控局。

第三輪：甲將3減至0，得到 {2,0,1}；

乙將2減至1，得到 {1,0,1} —— 這仍是可控局。

第四輪：甲將某個1減至0，得到 {0,0,1}（無選擇餘地）；

乙將最後的1清零，得到 {0,0,0}，乙勝。

二、制勝的初步秘訣和策略（較簡單的“可控局”等）：

１、最簡制勝招數是造成“兩堆一樣”，這是一批“可控局”。—— 在例1第三輪，乙方弈出 {0,1,1}；即鎖定了勝局。隨後，無論甲方如何操作，乙方總能清零並獲勝。故對於甲方而言 {0,1,1} 是必敗局，對於乙方則是必勝局；這就是一個可控局，乙方是主控者。

注意，{0,2,2}、{0,3,3}、…{0,m,m}、…都可經過若干輪的操作而抵達{0,1,1}，故 {0,m,m} 是一批可控局，其中m是任何正整數。

（注：若對方已陷入 {0,m,m} 局中；若他從某個m中減去p枚棋子，主控方只需在另個m中也減去p枚棋子，局勢 {0.m-p,m-p} 仍是“兩堆一樣”，直到 {0,1,1}、{0,0,0} 為止。）

2、{1,2,3} 是第二個最簡單的可控局。—— 在上例第二輪第二步，乙方弈出的 {1,2,3} 也是可控局。甲方此時有6種操作方案，但是隨後乙方必能弈出 {0,m,m}，最終獲勝。

3、“可控局”、“可控操作”和“可控網”：—— 存在無限多的可控局，但卻有更多的“非可控局”。下面列出一批層級較低的可控局，將它們按層級列陣如下（只需掌握其中5-6個以上的、其層級最接近 {0,0,0} 的可控局，就能在遊戲中擁有很大的主控權）：

：：：：：：：

{5,8,13} , {5,9,12} , {5,10,15} , {5,11,14} , {5,16,21} , {5,17,20}, … … ;

{4,8,12} , {4,9,13} , {4,10,14} , {4,11,15} , {4,16,20} , (4,17,21), … … ;

{3,4,7} , {3,5,6} , {3,8,11} , {3,9,10} , {3,12,15}, … … ; 

{2,4,6} , {2,5,7} , {2,8,10} , {2,9,11} , {2,12,14}, … … ;

{1,2,3} , {1,4,5} , {1,6,7} , {1,8,9} , … … ; 

{0,1,1} , {0,2,2} , … … … , {0,m,m} , … … ;

{0,0,0} 。

從任何一個層級高於 {0,0,0} 的可控局出發，若只通過一步操作，絕不可能抵達另一個可控局；只能抵達某個“非可控局”（必定是層級較低的）。

但從任何“非可控局”出發，施行某種“可控操作”（後面將詳細解説，也可按上面舉出的可控局陣列操作），定能抵達某個層級較低的“可控局”。

如此逐輪操作下來，可構成朝向 {0,0,0} 匯聚的網，即“可控網”。

策略：主控方必須搶先弈出可控局，隨後每輪持續弈出可控局，使對方無法擺脱可控網、逐步逼近 {0,0,0}；最後以可控的方式“清零”。

三、變換“獲勝準則”將會怎樣？可以“讓對手獲勝”嗎？

1、變換“獲勝準則”之後，如何獲勝？

若約定“清零者失敗”（事實上，的確有不少人偏愛這個準則），前述的獲勝策略總體上仍然有效 —— 主控方仍需一路控制局勢，直到清零之前的最後一輪，才必須做出調整。

回憶例1，原來有：“ …  … 

　　  第三輪操作：甲將3減至0，得到 {2,0,1}；

　　乙將2減至1，得到 {1,0,1} —— 這是可控局。

　    　第四輪操作：甲將某個1減至0，得到 {0,0,1}；

　　    乙將最後的1清零，得到 {0,0,0}，乙勝。 ”

現在，因為獲勝準則已改變為“清零者失敗”，乙方必須在第三輪第二步及時調整策略：避開可控局 {0,1,1}， 卻要搶先弈出 {0,0,1} （“非可控局”）。隨後，甲方只能清零；按新規則甲敗，乙方獲勝！

詳細地説，調整後的策略應是：

（1）目標：搶先弈出 {0,0,1} 。為此，主控方需從較高層級的可控局出發，一路控制下來，直到弈出 {0,2,2} 或 {1,2,3} 為止。

注意：絕不可弈出{0,1,1}，它緊鄰 {0,0,1}，對方將一步獲勝。

　（2）{0,2,2} 是第一個可控臨界點。此後，對方有2種可能方案，即 {0,0,2} 或 {0,1,2}，隨後，主控方必能弈出 {0,0,1}。

（3）{1,2,3} 是第二個可控臨界點。此後，對方有6種可能的操作方式；待其操作後，主控方將有：

（i）2個機會：若對方弈出{0,1,2} 或 {0,1,3}，主控方應及時弈出 {0,0,1}；

（ii）2個機會：若對方弈出{1,1,2} 或 {1,1,3}，主控方應弈出 {1,1,1}，以迫使對方弈出 {0,1,1}，然後主控方就能夠弈出 {0,0,1}；

(iii）2個機會：若對方弈出 {0,2,3} 或 {1,2,2}，主控方應弈出 {0,2,2}，然後按（2）執行。

（注1：無需硬記上述細節，只需理解並掌握原則、臨機應變。）

（注2：一般地，從某個層級較高的可控局出發，總能通過若干輪操作後抵達 {0,2,2} 或 {1,2,3}，隨後即可按（2）或（3）執行。但或許會出現對方急於求敗的情況：即對方可能從某個可控局出發，弈出一個非可控局 {0,1,m}，m > 1；這時，主控方就能直接弈出 {0,0,1}，更快地鎖定勝局。）

2、如何能夠（並且，為何有需要）“使對方被動地獲勝”？

假若，獲勝準則恢復為：“清零者獲勝”，那麼，運用上述調整後的策略，主控方在最後一步弈出了{0,0,1}，那麼，對方隨即就能清零。於是，在主控方控制之下，對方將“被動地獲勝”。

又假若，獲勝準則已變為“清零者失敗”；那麼，只要繼續採用前面第二節的全套策略、不做任何調整，主動地一路弈出可控局，直到最後主動清零、“主動失敗”，遂使得對方“被動地獲勝”。

如果遊戲的對方是晚輩小朋友，他們大多會覺得有輸有贏的遊戲才有趣。如果能不動聲色地讓他們多贏幾盤，取得皆大歡喜的效果，應該也是樂事！—— 如果能夠給需要關愛的人們帶來更多的快樂，那將是更高層級的快樂。

第二部分　　“抓三堆”的終極奧秘

一、施行“可控操作”的兩個方法：

可控操作就是從任何非可控局出發，只經過一步操作，就到達某個層級較低的可控局的操作。下面是兩個施行方法（第一個必須知道，但第二個更好）：

1、布爾代數的“異或”運算法（似更適合機器計算）：

舉例説明：設非可控局為 {5,9,14}，要對其施行可控操作：

第一步，將前兩個數字5和9轉換為二進制表達＊：

       5 = 0+4+0+1  →  [0101]；（注：右側是二進制表達。）

       9 = 8+0+0+1  →  [1001]。

（＊註釋： 二進制表達之前，要把十進制的數字轉換為二進制諸位權之和，如63=32+16+8+4+2+1,  53=32+16+0+4+0+1, 等等。

相應的二進制數就是：63→[111111],  53→[110101], 等等。）

第二步，對這兩個二進制數施行“異或（Exclusive OR）”運算，即逐位相加，但須令1+1=0（可理解為‘同性相斥’或“一山不容二虎”）。遂有：

　　　[0101] ⊕ [1001]  =  [1100]；　其中，⊕ — 異或運算符。

第三步，再將此二進制數轉換為十進制數，即

   [1100]  → （8+4+0+0）= 12。

第四步，將所得數字12替換原來 {5,9,14} 中最後的數字14，得到的 {5,9,12} 就是一個層級較低的可控局。

以上四步完成了一個可控操作。 

2、集合對稱差運算法（更簡捷、適合心算）：

繼續引用前例。

第一步，將5和9按二進制位權展開，並映射為集合，如下：

        5 = （0+4+0+1） →  {0,4,0,1} （熟練後可表為 {4,1}）；

  9 = （8+0+0+1） →  {8,0,0,1} （或 {8,1}，將0視為“虛無”）。

第二步，對此二集合施行“對稱差運算”，就是把兩個集合併合，但將“非零相同元素”排除。設定“⊕”是對稱差運算符（與“異或”運算符相通）。例如：

{0,4,0,1} ⊕ {8,0,0,1} = {8,4,0,0}； 或簡寫為：  {4,1} ⊕ {8,1} = {8,4}。

本例中，“非零相同元素”是兩個‘1’；“將其排除”就是消減至“零”，即視為“虛無”。

第三步，將運算結果，反向映射為數字，即：

{8,4,0,0} → 8+4+0+0 = 12； 或簡寫為： {8,4}  → 8+4 = 12 。

    第四步，仍如 （1）那樣，將所得的12替換原來的數字14，得到 {5,9,12}。

這個方法免去了十進/二進制來回轉換的步驟，更為簡捷。

其實，布爾代數中的“異或”運算乃是集合論中“對稱差”運算的一個特例。上面兩種方法的核心都是：按2的冪次展開之後，視為集合，再進行對稱差運算。

可以設定一個新的運算符“**Ⓧ****”**來統括表達上述過程，並簡稱之為“二進對稱差運算”。例如：  5 **Ⓧ**9 = 12。這樣的一個算符就代表了上面從第一步到第三部的全過程。

為熟悉這種表達方式，再舉一例：如 {5,14,19} 為非可控局，從它出發，要施行可控操作，首先要對5和14施行“二進對稱差運算”:

5**Ⓧ14  →  {4,1} ⊕ {8,4,2} = {8,2,1}  → 11；或直接地表達為： 5Ⓧ**14 = 11 。

用此11代替 {5,14,19} 中的19，得 {5,14,11}，這是個可控局（且層級降低了）。 

二，實現可控操作的充分條件：

上述二進對稱差運算是實現可控操作的必要條件。

要實現可控操作，運算結果必須小於所要替換的數字，即新的可控局的層級必須比原來的非可控局更低。這是充分性的條件。

例如，從上面的例子 {5,14,19} 出發，兩兩一組地施行二進對稱差運算，可得：

5**Ⓧ14 = 11 ，14Ⓧ19 = 29，19Ⓧ**5 = 22；

但是，29 > 5，22 > 14；無論 {29,14,19} 或 {5,22,19} 都比 {5,14,19} 的層級更高。所以，只有第一組運算的結果滿足充分條件（11 < 19），可以實現可控操作；其他兩組運算都無效。

滿足充分條件的可控操作是肯定存在的，證明從略，三組運算中至少有一組結果會滿足充分條件。頂多試算三次或兩次，就能找到這個結果。

（注：在遊戲進程中，主控方若已弈出可控局{a,b,c}，對方又從此出發，弈出了一個非可控局 {a,b,c*}；隨後，從 {a,b,c*} 出發，主控方無需再試算aⓍb，因其結果肯定又回到上一輪的 {a,b,c}。這時，頂多再試算兩次就能找到滿足充分條件的運算結果。）

下面的方法可能有助於快速找到這組滿足充分條件所需要的結果。

仍以 {5,14,19} 為例，對三個元素實行二進展開，如下：

5 = 4 + 1   → { 0, 0, 4, 0, 1}  → [00101]

14= 8+4+2  → { 0, 8, 4, 2, 0}  → [01110]

19=16+2+1  → {16, 0,0,2,1}  → [10011]。

可以看出，第三行（‘19’數據行）中有個16，是位權數值最大的（16>15=8+4+2+1），而且在三組數據裏是唯一的。若保留19並且將其與14或5實行二進對稱差運算的話，16將被保留下來（一權獨大），運算結果肯定大於14和5；不能滿足充分條件。因此，可控操作所需的數值減縮對象只能是19。

    這個方法只需審視三組中最大的位權數值，有時可以快速找到運算目標，適合於心算。

三，可控局的固有性質，以及“抓三堆”遊戲的終極奧秘：

上面兩節的三個方法是相通的，其核心都是對稱差（或‘異或’）運算⊕。對稱差運算，具有一個奇妙的固有性質：

設 {a,b,c} 為集合，若且僅需若a⊕b = c，則必有 c⊕a = b，且 b⊕c = a。

也就是説，滿足對稱差運算關係的三個元素，是一個彼此互為因果的“小圈子”。

可控操作的“二進對稱差運算”是對稱差運算的外延，延續了對稱差運算的這個性質。例如，若 {28,47,51} 為可控局，則28**Ⓧ47 = 51，51Ⓧ28 = 47 和 47Ⓧ**51 = 28。

由於具有這個特性，若A是可控局，則不可能找到另一個可控局B，其中會有兩個數字b1,b2與A中的某兩個數字a1,a2相同。因為，若A,B中有任何兩組數字互等（a1=b1,a2=b2），則做為二進對稱差運算的結果，第三個元素a3與b3，肯定也相等（a3=b3）；所以“另一個”可控局實際上是不存在的。

換言之，若只是改變某可控局中的某一個數字（另二個數字保持不變），其結果不可能是另一個可控局，而只能成為一個非可控局。

但對於任何非可控局 {a,b,c*}，按 a**Ⓧ**b = c （且c < c*）的方法將c*替換為較小的c，就能獲得一個層級較低的可控局 {a,b,c}。

因此，若從某個可控局出發，必須（且只需）改變兩個數字才能（且必能）到達另一個可控局。

因此，當主控方弈出一個可控局之後，按規則，對手只能使某一個數字減小，其結果只能到達某個非可控局 —— 恰好為主控方施行可控操作、繼續保持可控權提供前提條件。

這就是“抓三堆”遊戲的終極奧秘。