波蘭學派的傾力之作——《數學與邏輯》_風聞

本文主要介紹由兩位波蘭裔美國籍數學家卡茨（M. Kac, 1914—1984）與烏拉姆（S. M. Ulam, 1909—1984）在 1968 年合作撰寫的一本數學普及著作——《數學與邏輯》（Mathematics and Logic）。

波蘭數學在 20 世紀 20 年代突然崛起，湧現了巴拿赫（S. Banach, 1892—1945）等一大批舉世聞名的數學家，對現代數學的發展產生了不可估量的影響。波蘭數學之所以能夠獨樹一幟，與他們對數學的認識與看法不無關係。因此我們不禁好奇，以烏拉姆和卡茨為代表的波蘭數學家如何看待和探討數學的本質？

撰文 | 王濤（中國科學院自然科學史研究所）

波蘭學派的興起

要説近代史上哪個民族與國家多災多難，那波蘭絕對可以算一個。18 世紀中葉時， 波蘭的領土面積還位居歐洲前列。然而從 1772 年俄、普、奧簽訂條約瓜分波蘭開始，歷經三次瓜分，波蘭作為一個國家在 1795 年宣告滅亡。雖然俄、普都曾大力推行去波蘭化，但波蘭民族始終沒有丟失自己的語言和文化。第一次世界大戰行將結束之際，隨着俄國革命與內戰的爆發、德國的戰敗崩潰以及奧匈帝國的解體，波蘭在消失 123 年後成功復國，堪稱奇蹟。

圖1: 1930 年利沃夫學派的主要成員丨維基百科

隨着波蘭民族的獨立與復興，此前默默無聞的波蘭數學也開始異軍突起，進入到一個光輝發展的階段。丁玖教授在《一個受盡欺凌的民族，如何孕育出聞名世界的數學學派》中，曾詳細探討過波蘭學派的起源，我們在這裏將不多作介紹。波蘭學派主要由華沙學派與利沃夫學派組成，其中利沃夫學派的組織者是施泰因豪斯（H. Steinhaus, 1887-1972）與巴拿赫，他們對泛函分析的發展做出了決定性的貢獻。特別是巴拿赫， 幾乎一個人奠定了這門學科的基礎，因此被譽為泛函分析的奠基人。在他們的帶領下，利沃夫學派吸引與培養了很多年輕有為的數學家，其中即包括本書的兩位作者——卡茨和烏拉姆。

烏拉姆與卡茨

烏拉姆與卡茨都是猶太人，前者 1909 年出生於利沃夫，後者於 1914 年出生於克雷梅內斯（Krzemieniec）。雖然烏拉姆與卡茨在幼年時均表現出了對數學、物理和天文學的濃厚興趣，然而那時的數理科學作為一個職業能提供的崗位仍然極少。家人曾勸他們學習法律與工程，但在施泰因豪斯、巴拿赫與庫拉托夫斯基（K. Kuratowski, 1896-1980）的影響下，他們最終都選擇了數學。《數學與邏輯》中列舉了很多波蘭數學家的工作，由此可見波蘭學派對卡茨和烏拉姆所產生的影響。也正因為如此，《數學與邏輯》才能體現出波蘭學派對現代數學的看法。

圖2: 今天的蘇格蘭咖啡館與《蘇格蘭文集》中載有施泰因豪斯與巴拿赫筆記的一頁

利沃夫學派的工作方式十分特別——在咖啡館討論數學問題。據烏拉姆回憶，有一次巴拿赫主持的討論長達 17 個小時，除了就餐之外沒有間斷過。這些問題被記錄在蘇格蘭咖啡館保管的筆記本上。這些本子不可思議地在接下來的戰火中保存了下來， 並以《蘇格蘭咖啡館數學問題集》（Scottish Book）出版。在這樣的優良的數學環境中， 烏拉姆與卡茨很快便在數學領域嶄露頭角。

1933 年，烏拉姆在庫拉托夫斯基與斯托熱克（W. Stożek, 1883-1941）的指導下獲得利沃夫理工大學的博士學位。4 年後，卡茨獲得利沃夫大學的博士學位，導師為施泰因豪斯。這一時期他們二人的主要研究領域是集合論、測度論、遍歷論與概率論，這些學科正是波蘭學派有意挑選出來加以重點研究和發展的。如果將數學比作一棵大樹的話，研究它的根乾和枝葉顯然是有天壤之別的。歷史已證明，波蘭學派選擇的正是數學這門學科的根與幹。

博士畢業之後烏拉姆在父親的資助下到西歐遊學訪問，見到了歐陸與英倫的諸多名家。然而對烏拉姆影響最大的是馮·諾伊曼（von Neumann, 1903-1957），正是後者在 1935 年底邀請他到普林斯頓高等研究院訪問數月，從而改變了他的一生。之後烏拉姆又經伯克霍夫（G. D. Birkhoff, 1884-1944）推薦到哈佛大學擔任研究職位，任期三年。而卡茨在 1937 年博士畢業後一心要出國，終於在 1938 年再度申請時獲得了約翰·霍普金斯大學的獎學金。這些事件使他們幸運地躲過了接下來的戰爭。

圖3: 卡茨

圖4: 烏拉姆

第二次世界大戰爆發後，波蘭損失了大批的精英數學家，輝煌不再。烏拉姆與卡茨則在 20 世紀 40 年代入籍美國，他們的友誼也真正開始。烏拉姆曾兩次加入洛斯阿拉莫斯實驗室，參與了曼哈頓計劃中原子彈的研製。他與馮·諾伊曼發展了“蒙特卡羅方法”，和特勒（E. Teller, 1908-2003）共同設計了氫彈的模型，因此他理所應當也是“氫彈之父”。1967 年烏拉姆從洛斯阿拉莫斯實驗室退休，到科羅拉多大學任教，晚年研究生物數學。

卡茨到美國後曾長期在康奈爾大學任教，直到 1961 年到洛克菲勒大學，晚年後又到南加州大學工作。卡茨開創了概率論的現代發展，特別是其在統計物理中的應用。不過卡茨最為人所知的是他的“聽音知鼓形”問題，這使得他第二次獲得美國數學協會頒發的數學寫作獎——Chauvenet 獎，可見他的寫作能力有多麼出色。

烏拉姆與卡茨是生活在“物理學家中的數學家”，因而對數學與自然科學的關係領悟深刻。他們還繼承了歐陸科學家的哲學傳統，數學思想與科學哲學經常在一起交相輝映。巧的是，烏拉姆的自傳《一個數學家的經歷》（Adventures of a Mathematician） 的最後一章就是“關於數學和科學的隨想”。

《數學與邏輯》簡介

《數學與邏輯》以如下內容為開篇：

“數學是什麼？它是如何被創造出來的？過去與現在，創造和實踐它的人又是誰？人們能描繪出它的發展、它在科學思想史中所扮演的角色並預測它的未來嗎？

實際上，這也是本書的主旨，作者將在書中對這些問題提供自己的解答。有了如此精彩的開篇，讀者又怎能沒有興趣繼續讀下去？

書名：數學與邏輯

書號：978-7-04-051606-7

作者：Mark Kac, Stanislaw M. Ulam

譯者：王濤, 閻晨光

定價：69.00

《數學與邏輯》共分為 4 章，其中第一章為“例子”，由 19 個小節組成，佔據了全書約 2/3 的篇幅。

在這些例子中，作者首先討論了最初始的數學對象——整數。作者着重強調的是：推廣是數學最重要的工作之一。正是由於推廣，數學才能不斷提出新的問題而青春常在。例如從歐幾里得關於素數無窮多的證明出發，數學家們可以推廣得到孿生素數猜想、素數定理、黎曼猜想與哥德巴赫等各種猜想。這些猜想看似沒有超出既定的知識體系，實則極難解決，需要引入新的概念、方法與理論。

作者繼而討論了數與幾何概念的抽象演化。例如隨着數系的不斷抽象，其與最初的計數功能幾乎完全分道揚鑣，例如複數已經完全看不到計數的影子。然而正如作者所表達的：抽象是數學中與推廣同等重要的一項工作。正是由於抽象，數學才能具有如此不可思議的有效性。從特定的計數問題出發，經過推廣與抽象可以得出如下一系列的數學工作：可以使用施佩納引理來證明布勞威爾定理，整數分拆的問題可以由冪級數與複數域上的因式分解來解決，從測量面積、體積發展而來的測度論奠定了現代概率論的基礎……

在推廣與抽象數學的過程中，《數學與邏輯》對“不可能性”極為看重，列舉了一系列不可能性的例子：倍立方體、斯坦納定理、不可測集合……作者認為大量數學總是圍繞特定構造的不可能性證明以及找出各理論與方法的極限。這導致現有數學概念的不斷擴大、公理系統的持續擴張並不停地引入新的數學對象。

《數學與邏輯》解釋了為什麼有必要對集合論的基礎進行檢查，因為即使看起來非常平凡的選擇公理也會導致悖論。作者反覆強調了邏輯的重要性，指出很多直觀或者直覺上顯然的事實有時候並不成立，只是反例通常很難找到，因此必須進行嚴格的證明。與布爾巴基類似，波蘭學派的數學也建立在集合論的基礎上，因此對數學結構同樣非常重視。作者進一步展示了數學家如何思考置換羣乃至一般變換羣，以及如何通過將這些對象的集合看作空間來嘗試建立一般化的結構理論。

本書還強調了數學各個不同分支的滲透與應用——數學的統一性，這條思想幾乎貫穿全書。作者以線性代數中的線性變換以及矩陣為例，探討了代數與幾何如何有機地結合，如何與羣論一起為狹義相對論提供了一個數學框架，以及在馬爾可夫鏈中獲得應用。作者還展示了若干個數學統一性的例子，例如正態定律與遍歷論如何出現在與其完全不相關的數論研究當中。

《數學與邏輯》的第二章為“主題、趨勢與綜合”。如果説第一章是在案例中體現數學思想，那麼第二章則是數學思想的進一步濃縮與提升。作者高度認同現代數學建立在康托爾（G. Cantor, 1845-1918）的集合論與希爾伯特（D. Hilbert, 1862-1943） 的公理化方法之上，並指出在此基礎上，現代數學產生了結構數學與元數學兩個顯赫的分支。作者以數學的代數化（抽象代數）與幾何化（點集拓撲）兩個主題為例充分展示了結構數學的威力。

作者在本章中再次強調了邏輯的重要性，特別是系統論述了數理邏輯在 20 世紀的發展，這也是本書為什麼以“數學與邏輯”為名的原因。《數學與邏輯》介紹與論述了幾何學基礎、公理化集合論、哥德爾不完備定理、遞歸論與判定問題等數理邏輯的內容。20 世紀上半葉，數理邏輯曾有過一段激盪人心的歲月，很多數學家都加入到對它們的研究當中。例如正是在解決可計算性問題時，圖靈（A. Turing, 1912-1954）引入了圖靈機的概念，從而為後來的電子計算機奠定了理論基礎。

電子計算機對現代數學產生的影響無論怎樣高估都不為過。不過在本書問世的年代，很多數學家們對計算機還持有漠不關心或者敵對的態度。烏拉姆和卡茨是少數堅定認為計算機在數學未來的發展中有重要作用的數學家。他們不僅滿足於計算機對數值計算的提升，更期待計算機能夠在形式系統中工作。如今看來，他們的看法非常具有前瞻性。

《數學與邏輯》的第三章為“與其他學科的關係”，這裏的其他學科主要是指經驗科學，又稱自然科學。眾所周知，“數學與自然科學的關係”是科學史與科學哲學上的一個難題，對此問題一個廣為人知的答案是：

“無疑，數學來源於經驗世界。但是，數學很快就拋棄了其具體背景而上升到了抽象的高度。新的概念和理論正是產生於上述進化過程中產生的高度內省的活動，並進而頻頻對數學之外的科學發展產生決定性的影響。”

這個答案成功地解答了“數學在自然科學中不可思議有效性”的問題。作者對此認同並以排隊論、博弈論與信息論等新興學科為例進行了闡述。

然而上述回答也容易滋生出這樣一種觀點，即純粹數學可以與自然科學隔離開並且自給自足地發展，布爾巴基對數學的看法即如是。卡茨和烏拉姆考察了歷史上諸多數學概念和理論的產生，指出數學同樣受到了自然科學的影響，有時候甚至是決定性的。因為外部的自然世界暗示了大量的數學工作，並且新概念與理論的推廣並不全是任意的。

《數學與邏輯》的第 4 章為“總結與展望”。作者在這一章回顧了數學的發展以及在物理學中的應用，並就數學在生物學中的應用做了展望。與物理學相比，在生物學中應用數學來得相當晚。20 世紀 50 年代，生物學家沃森（J. Watson, 1928-）與克里克（F. Crick, 1916-2004）發現了 DNA 的雙螺旋結構，並藉此拉開了數學與生物結緣的序幕。如今生物數學已呈現出十分繁榮的景象。

最後，讓我們迴歸本書的書名《數學與邏輯》。數學與邏輯是一種什麼關係？通過前面的介紹，我們已經知道了作者的主要觀點：數學的直覺必須要經受邏輯的檢驗，因為邏輯起着衞士或者底線的作用；但試圖將數學完全還原為邏輯又是不可行的。因為數學比邏輯要多，而又比直覺要少。

本文經授權轉載自微信公眾號“數學與人文”。

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