複數與複數測量學問錄_風聞

撰文 | 陸俊（中國科學院物理研究所）

來源 | 本文選自《物理》2020年第7期

01

引言

萬物皆數，自然界不同層次事物的演變生死及相互關聯，選用複數進行描述不僅簡潔而且自然。比如同時包含電阻R與電感L或電容C的交流電路中 (驅動角頻率設為ω)，電流波形與電壓波形之間的換算不用針對L或C進行復雜的微積分運算，只需通過虛數單位 j (電工學中的習慣，以區分電流標識，實際上跟數學中公知的虛數單位 i 等同)，就可以將 jωL 與 R 複合加減成復阻抗或將 jωC 與 1/R 複合加減成復導納，而阻抗與導納的計算，除了運算規則複數化，跟電阻與電導操作一樣，利用串並聯等規則分析計算沒有差異。為什麼虛數單位的引入如此神奇地將複雜電路問題化繁為簡？我們所享受的這種簡潔與便利是怎樣被髮展(注1)出來的？如此美妙的純粹的數學跟現實物理世界的對應關係是怎樣建立的？如此神奇的刻畫世界理解世界的工具對於普通人的生活有沒有什麼啓示性的聯繫？這些問題實際上也是筆者多年來在複數測量相關的職業工作與對生活不停地觀察和思考的對象。碰巧在2019年兒童節那天，給一位受人尊敬的儀器維修工程師70歲壽辰慶祝，會議上筆者對自己關於複數和複數測量學問做了口頭的總結交流。本文是文字版總結。以下各章分別對這些問題進行分析討論。因為主要內容是筆者思考總結所原創的文字，本文跟複數教科書之間的關係希望是：看完此文想再學複數，學過複數欲回看此文。

02

什麼是複數？

圖1 從自然數到複數的逐步延拓過程圖示

經過了零、負數和無理數的引入，人類對數的認識從自然數逐漸延拓發展到實數，基本完成了數軸上的點和對自然數進行有限或無限次加減乘除組合運算結果之間的完整且不重複的對應關係，然而，在求解二次或三次方程根等問題的道路上，隨着負數的平方根並不對應某個實數這個新情況，一開始被人們當做不自然的東西直接拋棄不管，現在看來是實數存在開方運算不能自我封閉的缺陷，後來通過對-1平方根 (通常被記作 i) 為虛數單位的重新定義，將數的概念從基本實數拓展到一實一虛的數對構成的複數，終於完成了加減乘除乘方開方及其有限與無限混合運算結果的封閉定義。關於數的概念逐步擴展，彙總如圖1所示，其中列出人類對數的概念認知具有里程碑意義的幾個特殊數，包括 1、0、-1、π、e及剛提到的 i。對圓周率π很多人從小學就開始接觸，故耳熟能詳到小數點後 6 位以上無需再解釋。而自然底數e=2.71828…為什麼特殊，稍微提一下，這在於以它為底的指數函數y

圖2 複數構成的代數與幾何圖示

複數的加法與指數表達之間的等效換算關係如圖 3 所示，關於更多更全面的複數計算及複變函數介紹請參考專門的複數教科書[1]，在這裏需要指出的一點是，有些作者可能是圖省事，在實部虛部求幅角的時候簡單但錯誤地表達成 b/a 的反正切，這種簡單不僅錯在 a 的數值為0時非常尷尬，更在於反正切的函數範圍只在第一與第四象限，當複數位於第二或第三象限時將不可避免地出現往第一第四象限摺疊的問題。正確的做法是對實部、虛部的符號做分類處理，即需要雙參數輸入函數，在多種編程語言中已經有現成的函數模塊可供調用，比如腳本語言中一般支持 atan2 函數，它支持雙參數輸入並能輸出完整四象限角度，圖形語言比如 LabView中直接有實部虛部到幅度幅角的轉換函數。還有一點值得一提，雖然實部虛部與極座標表示之間能夠相互換算，但嚴格來講二者並不完全等價。關鍵在原點處，實部虛部定義0+i0很自然，不過極座標表示就沒有確定的相位角，儘管編程語言中通常將原點的相位角置零，運用的人要清楚這個細微但卻是本質的差異。不管怎樣，讀者看過本文以後如再碰到文章或教科書中直接將 b/a 的反正切作為複數的相位角，完全有理由直接懷疑其作者對複數的理解與認知水平。

圖 3 複數的兩種基本表示方法之間的等價換算

實數運算拓展到複數運算因為產生新的現象，不能完全受實數運算中的規則束縛，有些在實數中的常識，在複數運算處理時可能並不適用要引起注意，這裏舉例講複數乘方運算中的一條反常識之處：複數乘方運算稍不注意就會引起自相矛盾的悖論，如圖4所示，據記載最初由放牛娃出身的克勞森 (ThomasClausen) 於1827年提出[2]。克勞森悖論實際上不是複數的問題，而是在複數乘方運算過程中，復底數的相位求取是多值化的，跟乘方運算的指數相乘的相位應當為相位主值加上2πk (k 為整數)。如圖5所示的兩個乘方運算結果舉

圖4 克勞森提出的復指數悖論問題[2]

圖5 虛指數的多值性示例

至此，複數的基本概念及運算規則已經介紹結束。然而，不得不承認，複數是怎樣被發展出來的，前面的介紹只是過於簡單的版本，跟真實的人類認識與應用複數的歷史出入比較大，如果要我對於歷史這段不嚴謹的介紹給一個藉口，那無非是為了節約讀者的寶貴時間，而且這個介紹絲毫不影響複數是什麼這一知識的獲取。如果只重知識，不管真實，可以跳過本段去直接閲讀下一章。但凡是對真實有點興趣的讀者，建議耐心看完本段文字與彙總本段的圖6。筆者認為，知道真實的知識產生的過程，不僅僅能讓我們珍惜自己輕鬆就學到的知識，也讓我們意識到我們學到的知識並非人類知識的終點，進而讓自己的內心被薪火相傳，並獲得進一步去創新從而延伸人類知識的動力。如圖6所示，這是一個以千年的 時 間 尺 度 通 過 關 鍵 事 件 節 點 (what/when/who) 依次串聯來描述我們人類認識與應用複數的過程，事件涉及到的時間與人物的原始數據部分來源於Nahin博士的書與數學手冊[2,3]，為了讀者能更好地理解這個進展過程，筆者將這些事件分成幾類進行介紹：

圖6 以千年尺度彙總顯示人類認識與應用複數的歷史進程

(1) 奠基

複數的最初淵源從代數與幾何的方向分別可追溯到公元300年由丟番圖 (Diophantus) 整理編寫的《Arithmetica》(算術)，與公元888年由歐幾里得 (Euclid)所著《Elements》(《原本》，後世譯為《幾何原本》)。

(2) 鋪墊

1545年卡爾達諾 (Cardano) 在《Ars Magna》(大衍術)中系統進行了負數及運算的論述，首次公開負數的平方根數的概念；1637年笛卡爾 (Descartes) 在《La Geometrie》(幾何學) 中公開了 a+ib 解析法處理複數；韋塞爾 (Wessel) 於1797年公開虛實軸組成複平面處理矢量的思想；柯西 (Cauchy) 在1814年公開複函數可微條件，拉開了複變函數的微積分學；洛朗 (Laurent) 於1843年公開了複變函數獨有的一套級數思想與零點和極點處理方法，引入留數 (洛朗級數的一次倒數項係數)；1807 年傅里葉 (Fourier) 公開倍頻但幅度穩定的正弦餘弦分別作為虛部實部的級數來進行函數的分解；1785年拉普拉斯 (Laplace) 引入一套復指數變換方法，研究失穩過程有時非它不可。

(3) 點睛

前面提過的歐拉恆等式由歐拉 (Euler) 在1748年公開證明，沒有歐拉，這個恆等式也許會被引入，但不知道要遲多少年；一向謹慎低調的數學王子高斯 (Gauss) 在1813年終於公開確立複平面的歷史地位，複數的全面推廣從此正式開始；閔可夫斯基 (Minkowski) 於1907年公佈通過虛數單位和光速跟時間相乘，三維空間複合，引入四維時空，證明了時空相對變化中的絕對不變；薛定諤 (Schrödinger) 在1926年提出聞名於世的電子波動力學方程，儘管原文 Phys. Rev., 28, 1049 (1926) 中沒有直白地寫出他去世後在墓碑上刻着帶虛數單位模樣的方程(如圖6中1926年事件塊中所列)，但在原文第9部分對含時波函數中出現虛數單位與相位±2πEt/h，足夠表達波函數在特定能量下的振盪性質，並啓發後人理解量子力學的奧妙。

(4) 發揚

首先不得不提黎曼 (Riemann)，儘管40歲就英年早逝，但在他短暫的一生中，除了前面提到的黎曼猜想，他與柯西一樣都對複分析作出了重要貢獻，而且比柯西更加富有創造性地從微分幾何角度開展複分析，並首次往人類數理知識庫中引入非歐幾何，這對20世紀廣義相對論與弦論的誕生提供了良好的鋪墊。

狄拉克 (Dirac) 對量子力學波函數進行了相對論性改造，其中關鍵的一步是將哈密頓算符變成4×4的復矩陣，利用矩陣具有反對易性質調和了時間與空間平方反對稱與一階微分對等之間的矛盾，讓經過改造後的波函數的第四分量非常好地對應解釋電子1/2自旋，並預言了正電子的存在，極大地推動了量子力學的發展。

外爾(Weyl)在統一電磁場與引力場，構建偉大的規範不變理論的過程中，至關重要的一步是，找到跟電荷守恆相對應的對稱性是復波函數的相位不變性，該相位不變規律在電磁學中可以推導出麥克斯韋方程組，是電磁相互作用理論的終極基石。

楊振寧 (C. N. Yang) 經過艱苦卓絕的羣論推演，用2×2復矩陣找到質子與中子之間的同位旋對稱，後來蓋爾曼 (Murray Gell-Mann) 經過3×3的復矩陣運算進一步獲知微觀世界基本粒子的構建規則，從而準確解釋或預測出全部微觀基本粒子的種類及相互作用，楊先生與蓋爾曼引入被稱為標準模型的理論實現了除引力外所有已知基本力的偉大統一。順便一提，在2000年楊先生回顧20世紀物理學三大主旋律為：量子、對稱、相位因子。

(5) 遺憾

在複數的發展過程中，從二元複數到多元復矩陣的過程中，代數學上還經歷過三元數、四元數、乃至八元數的嘗試，其中最著名的要數哈密頓 (Hamilton) 創立的四元數 (quaternion) ，遺憾的是，多元複數的代數運算簡潔程度與效果比不上2×2與4×4復矩陣，從而在20世紀物理學發展的大舞台上並沒有獲得哈密頓本人預期的實用，儘管在比較小的學科分支上也有獨到的應用，比如將四元數的模設成1時可以用於描述三維空間旋轉，空間導航時相比通常的歐拉角方法有更小的誤差與較高穩定性。當然，形式上將 lijk 換成2×2復矩陣組並不影響實質上的大同小異，從這個意義上講，形式上未被重視不應該掩蓋哈密頓的超複數思想與邏輯的偉大。

除此以外，19世紀中葉，複數的概念已經被數學主流認可並應用的時候，邏輯代數創始人布爾 (Boole) 卻堅持認為虛數單位是不可解釋的符號，現在看來讓人難以理解，不過二值比特邏輯有其自身的優勢及發展之路，虛數在數值邏輯中的確不必要，或許在未來某天模擬計算與數值計算平分秋色之時，複數在計算機架構中的重要性將不言而喻。

還有，麥克斯韋 (Maxwell) 在他1865年“A Dynamic-al Theory of theElectromagnetic Field”論文中，未見使用虛數，子方程數達20個之多， 後來多虧Oliver Heaviside與Willard Gibbs運用矢量分析進行大幅度改造才使得麥克斯韋方程組成型到容易理解的聞名於世的四個子方程形式，當然瑕不掩瑜，麥克斯韋的這篇論文在電磁規律綜合並牢固確立場的概念、引入位移電流、同時通過波速證明電磁波是光這幾個方面的貢獻是劃時代的。

(6) 插曲

我們知道，負數是虛數之源，虛數的引入必須以負數為前提，但不知因何原因，在古代中國引入並運用負數非常自然，而西方正式接受負數比中國晚約1700年，不過西方在接受負數後隨即就開啓了虛數的研究，而中國人對虛數的發展未見任何實質性的貢獻，只是由《數書九章》中秦九韶提出的二次、三次及高次方程求解算法，可見他是中國古人中距離虛數發現最近的人，而且更加難能可貴的是，《數書九章》是《幾何原本》與《大衍術》之間約600年間地球上數一的數學著作。

還有一則，在歐拉恆等式被引入之前，複數的計算通常需要高超的數學技巧，比如約翰·伯努利運用(x+i)(x-i)=1+x 2 的技巧找到了反正切與對數函數之間的內在聯繫，並運用於虛數因子分解積分，被萊布尼茨 (Leibniz) 評價為非凡智能的一個優美神奇。

(7) 可期

跟其他人類知識體系一樣，複數發展至今不應是終點，未來有更重要的發展事件也是可期的。我們知道以複數波函數為主要特徵的量子力學樣樣都好，屢次都被證明是正確的，至今也還沒有發現被實驗結果證否的事件，但就是推不出引力方程，讓人隱憂哪裏有些不對，實現大統一或證明大統一是不可能實現的幻想的突破性的事件，讓我們努力使它在我們有生之年發生。

03

如何測量複數？

儘管複數及其重要性廣為人知，但也不可否認，複數測量長期以來只是一個小眾的主題，筆者曾經在南京大學一個網絡課程中聽主講老師竟隨口説出一句複數還不能被測量，也許該老師的表述有筆者沒有留意到的小語境，但側面反映出瞭解複數測量的羣體遠小於瞭解複數的羣體這個事實。還有很多同行每天都在使用在信號或波函數層次實質上都是複數測量的儀器，比如頻譜儀、阻抗分析儀、介電分析儀、矢量網絡分析儀、交流磁化率儀、交流電壓表等等，但由於被測物理量或儀器名稱上不容易看出是在進行復數測量，導致複數測量本身很少被人關注。

真實世界中的複數測量通常不是直接有一副如圖2一樣的抽象座標軸平面讓人用尺去度量，而是隱藏在變化的波函數中，比如隨時間變化的交流信號或隨空間變化而起伏的波形，時域的頻率或空域的波數可以千差萬別，對應的複數測量實部虛部結果也許會一樣，但這兩個複數在物理世界能相提並論的前提條件必須是“在同一條船上”，這個話題將在下一章展開討論。

與其他測量手段需要諸如光子、電子、中子等探針才能看到跟探針相當的結構信息類似，複數測量波函數一般也使用複數“探針”，一個跟被測波函數步調一致的參考波函數，如圖7所示參考信號被穩頻後的正弦信號所承載。為了同時獲得實部與虛部，參考信號通過相位穩定部件分成相位差成對鎖定成90°的在藍線中的餘弦信號與淺藍色的正弦信號，它們分別通過相敏檢波部件，實際上是二入一出的乘法部件，跟紅色標識的需要測量信號分別相乘後輸出經過低通濾波獲得的被測信號跟參考信號頻點ω0一致的實部與虛部，分別如綠色與淺綠色線所示，從而完成複數測量過程。在信號強度不夠的情況下，當然還可以選取輔助的前端或後置放大。由傅里葉級數規則，同頻的正弦與餘弦信號正交 (正交意味着二者經過乘法和低通濾波部件後的輸出為零) ，於是實部和虛部測量結果之間在原理上保持相互獨

圖7 鎖相放大器測量原理示意圖[4]

由測量原理看出ω0頻點的穩定極為重要，在普通的振盪源的頻率穩定性不夠的時候，需要增加鎖相環 (phase lock loop，PLL) 部件，其結構如圖8所示，在強制外部參考的模式下，受控振盪源為了和外部頻點保持一致，需要實時測量跟外部參考信號的相位差並進行自我調整，通過相位差的鎖定來維持測量頻點的穩定。因而這種複數測量方法與工具通常被稱之為鎖相技術與鎖相放大器 (lock in amplifiers)。

圖8 鎖相環結構圖示[4]

如此可見，用鎖相技術實現複數測量的關鍵在於交流變化維度的鎖相環跟蹤與實部虛部的正交相敏檢波測量，更多的專業介紹請參考文獻[4]。這裏對鎖相的含義，為讓外行人能更好理解這個複數測量的強大工具，做一點延伸解讀：鎖相，跟成語相夫教子中的作為動詞的“相”含義默契，夫婦之間的關係實際上是一個長期的相位和步調通過鎖定達到美滿的境界，如果失鎖就比較麻煩了。此外，鎖相環這種自動保持穩定步調但又具備一定的隨外界環境而自我調節能力的神奇部件，何嘗不是一個原始態的機器心靈？

04

複數測量新方法

15年前，當我第一次因為弱磁電耦合測量需要開始接觸到鎖相放大器的時候，實驗室有一台老舊的手動設置紙筆記錄的EG&G PARC Model 124A from Princeton Applied Research，邊看波形邊掃頻並用紙筆boring的記錄鎖相測量結果的時候，不知怎麼就冒出一個idea，有波形數據 (當時國產數字存儲示波器已經問世，我恰巧就購買了現在早已停產屬於普源Rigol DS5062C這個國產骨灰級數字存儲示波器)，我可以在電腦裏完成鎖相啊，完全取代普林斯頓的EG&G 124A的功能，幹嘛要多此一舉費力還容易出錯地將精力白白耗在古董鎖相上？有想法的時候通常自動具備不停的幹勁，幾個月下來，經過dll的C調用驅動接口、自學虛擬儀器LabView圖形語言、vi實施鎖相算法、自動測量程序控制一路逐層通關，竟然將最初設想的功能實現了，而且鎖相性能與測量效率都有明顯提升 (性能與效率對比後來投稿發表在Meas. Sci. Technol. 上[5])，自此終於徹底廢棄了普林斯頓的EG&G 124A，我也從枯燥的手摁筆錄工作中解放出來。用國產幾千元人民幣的低端示波器，加上自己編寫的虛擬儀器算法，完美取代從普林斯頓進口的幾千美元的鎖相，讓我領悟到示波器使用的 “ 看 ”、“ 測 ”、“變”、“ 馴 ”四重境界，併網絡公開分享[6,7]。對自己辛苦編寫的代碼也毫無保留地在網絡上公開[8]，公開代碼行為我認為是自信開放地將過去的成就放下，積極採取面向未來繼續創新的姿態。除此以外，這個經歷對於訓練我養成奮鬥者思維的幫助很大，後來的工作中在面臨資源不足的困難時，從不想着抱怨，只一味主動激勵自己積極行動將困難當作提升能力的機遇。

圖9 頻率、幅度和相位之間一體性關係的圖示

上段介紹筆者進入複數測量研究生涯的起點，這個起步經歷只是驗證鎖相可以被虛擬儀器化，並無原理創新，接下來進入正題，鳥瞰筆者這些年在複數測量原理創新方面取得的一點點進步上[9-11]。上一章談到，用鎖相進行復數測量的兩大關鍵，鎖相環頻率跟蹤與虛實部相敏檢波，而且傳統方法測量結果是跟參考信號頻率對應的複數，被測複數真實的交變頻率是作為隱變量，通常被當作跟參考頻率完全一致。然而被測信號的頻率與參考信號的頻率總能完全一致嗎？這個問題是筆者在想盡辦法改進鎖相時的關鍵切入點，答案顯然是否定的，讓兩路信號保持頻率一致在一致度要求不高 (比如0.1%) 時不難，但要達到 1ppm 量級的不一致度時就很不容易，由圖8可知，鎖相只在參考信號一側應用了鎖相環保證頻率穩定，而另一端，恰好是被測信號通常無法穩頻，此時由於介質非線性、傳輸色散、多普勒效應等不可避免引入頻漂，頻漂的存在，造成相敏檢波的兩個輸入信號存在頻差，一定會導致實部虛部測量結果的不準乃至錯誤，因為信號頻率與幅值及相位共同描述一個完整的信號，分別好比浮在水面上的船體與船帆的位置及方向，如圖9所示，以船體作參照物看船帆相對固定，而以岸作為參照物時則在波浪中更多看到的是船帆的飄搖，因而固定參考信號的鎖相工作像是現代版的刻舟求劍。

圖10 新型鎖相測量技術原理框架

圖11 鎖相頻率計與快速傅里葉變換(FFT)的測頻精度比較

筆者解決這個問題的思路如圖10所示，實際上是取消被測信號的頻率與參考信號的頻率一致的假定，通過鎖相的算法改進成頻率的泛函，同時解決被測信號的抗噪測頻與準確鎖相兩個問題，新方法的名稱叫測頻鎖相儀或鎖相頻率計。使用鎖相頻率計的測頻精度跟快速傅里葉變換(FFT)的對比效果如圖11所示，我們知道傅里葉變換的頻率精度受取樣窗口的制約，很難進一步提高，而鎖相頻率計新方法能夠在頻域進行超精細掃描，比如圖11中相比FFT的測頻精準度只有約萬分之一，鎖相頻率計能精細到百萬分之一以內。當然，精度的提高在原理上有限度，一定的時間長度與採樣率條件下頻率測量不確定性存在統計學上的下限即Cramer-Rao下限[10,12]，經過數值仿真可知，新方法在不同信噪比條件下的測頻精度接近理論下限，如圖12所示。近期，筆者理論推導出單週期信號的鎖相頻譜在估計頻點附近的局部函數形式，證明了正確的函數形式優於經驗的拋物線，並基於此使用較少的計算

圖12 新型鎖相頻率計在不同信噪比條件下的測頻精度與理論極限 Cramer-Rao Lower Bound(CRLB)對照圖

圖13 新型鎖相頻率計對一個977 Hz實際信號的測量結果(監控持續約 80分鐘)

從讀研究生時開始接觸複數測量於起步時用虛擬儀器在國產低端示波器替代美國普林斯頓的古董鎖相，到如今定製芯片硬件中嵌入原理創新的鎖相儀器的核心指標超越瑞士蘇黎世儀器與美國斯坦福儀器的主流鎖相，筆者作為測頻鎖相奮鬥者的時光流逝了15年。

05

複數測量未來前景

圖14 極微觀結構與超宏觀事件探測都離不開復數測量(顯微探針與引力波探測示意圖均源自網絡)

隨着中國智造的加速轉型，複數測量的普適度與深度在繼續，在人類看得見摸得着的範圍內，未來的智能感知、準確定位與互聯、精密製造、與痕量物質探測中鎖相測量的應用前景讓人樂觀。在人類肉眼難以感知到的超微觀與超宏觀世界，如圖14所示，亞原子與深太空探索更是無止境，無論浩瀚與微渺，不管剎那還是永恆：複數事件不息，複數測量不止。