無序中的對稱性——諾獎得主帕裏西工作解讀_風聞

2021年度諾貝爾物理學獎授予三位科學家，真鍋淑郎(Syukuro Manabe)、克勞斯·哈塞爾曼(Klaus Hasselmann)和喬治·帕裏西(Giorgio Parisi)，以表彰他們“發現了氣候和其他複雜現象中的隱藏模式”。其中帕裏西獲得二分之一的獎金，獲獎理由是“發現從原子到行星尺度的物理系統中無序和漲落之間的相互影響”。帕裏西的自旋玻璃理論深刻地揭示了無序體系中的隱藏對稱性，為文章介紹的重點。

撰文 | 李欣陽（中國科學院理論物理研究所，中國科學院大學）、金瑜亮（中國科學院理論物理研究所，中國科學院大學）

來源 | 本文選自《物理》2022年第1期

01 相變、序參量與對稱性破缺在自然界和日常生活中，我們隨處可見相變——物質從一種相變為另一種相。一個最常見的例子就是水：液態水既可以通過降温結成冰，也可以通過加熱蒸發為水蒸氣。這兩個相變過程 (液相到固相、液相到氣相) 都伴隨着某些宏觀物理量 (例如密度) 的突變，被稱為非連續相變或一級相變。有意思的是，在水的相圖上(圖1)，代表氣液相變的線終止於374℃附近 (這個終點稱為臨界點)。在臨界點，並沒有任何物理量發生不連續的變化，但是某些物理量 (如壓縮係數) 發散，在臨界温度之上，氣液不可分。物質經過臨界點的過程稱為連續相變或二級相變。

圖1 水的相圖

另一個重要的相變例子是鐵磁相變，即磁鐵 (鐵磁相) 在升温過程中失去磁性變為順磁相的過程。首先發現這個現象的是著名物理學家皮埃爾·居里，因而，鐵磁相變發生的温度被稱為“居里温度”。鐵磁相變是一個連續相變，在居里温度處，磁化率發散。

圖2 結晶與玻璃化

在相變發生的過程中，外界條件 (例如温度) 是連續變化的，然而物質的狀態卻可以發生突然的改變，以至於某些物理量發生不連續的變化或者發散。解釋這種“神奇”的現象長期以來都是一個讓物理學家着迷的問題。19世紀30年代，前蘇聯的天才物理學家列夫·朗道提出了“序參量”的概念，並且建立了朗道相變理論[1]。根據朗道理論，相變的過程必然伴隨着某種“序”的變化。例如，液態的水分子是雜亂無章地排列的，而一旦結冰，它們就會規則有序地排列在晶格位置 (分子會在晶格位置附近振動，但不會遠離)，因而水結冰的液固相變過程中產生了晶體序，如圖2所示。而在鐵磁相變的過程中 (圖3) ，原子的自旋指向由順磁相中的隨機狀態變為指向某一特定方向，因而鐵磁相變伴隨着自旋指向序的產生，從而導致了材料的宏觀磁性 (自發磁化) 。根據朗道理論，序參量在連續/非連續相變中，分別發生連續/非連續的變化。

圖3 鐵磁相變和自旋玻璃相變。灰色的邊代表鐵磁相互作用 Jij=1，紅色的邊代表反鐵磁相互作用 Jij=-1

相變過程中序的產生對應着某種對稱性的破缺。例如，水具有平移和旋轉對稱性——由於水分子在空間是均勻無序分佈的，整個體系在做任意的平移或旋轉之後不變，然而一旦水結冰，平移和旋轉對稱性就破缺了 (圖2) ，體系只有在特定的平移或旋轉下才能保持不變 (要求所有的分子在平移或旋轉之後還處在晶格格點上) 。類似地，順磁相具有鏡像反演對稱性——所有自旋翻轉後體系不變，而在鐵磁相中這種對稱性破缺——鏡像反演操作後整個體系的磁化強度會改變符號 (圖3) 。基於序參量和對稱性破缺，朗道理論揭示了相變這一日常現象的深刻本質。

02 玻璃化和無序系統偉大的物理理論往往有令人驚歎的普適性，朗道理論也不例外。幾乎所有已知的兩相之間的轉變過程都可以被納入朗道相變理論的框架。然而，似乎存在一個例外——玻璃化。高温下熔融的二氧化硅液體經過淬火 (快速降温) 形成石英玻璃，這個過程稱為玻璃化。液體和玻璃 (固體) 在宏觀性質上有着顯著的不同，然而在微觀分子的排列上似乎都是雜亂無章的 (圖2)。類似地，順磁相也可以通過自旋玻璃相變在低温下變為自旋玻璃相 (圖3)。自旋玻璃沒有宏觀的自發磁性 (類似順磁)，然而所有自旋幾乎都是“凍”住、不會隨着時間演化而翻轉的 (類似鐵磁)。

圖4 2008年，帕裏西在中國科學院理論物理研究所講課

如果朗道理論還是正確的，那麼玻璃化過程對應了哪種序的產生、以及哪種對稱性的破缺？事實上，玻璃態代表了一類複雜體系，稱為“無序系統”。無序系統具有不同於簡單體系 (如氣體、液體、順磁等) 的宏觀性質，但是微觀狀態上似乎又是雜亂而沒有規律的。這有悖於物理學家對於相變的理解：新相的產生必須有對應序的產生和對稱性的破缺。最終，喬治·帕裏西提供了答案。而他也因為“找到了無序複雜系統中隱藏的模式”而獲得了2021年的諾貝爾物理學獎 (圖4)。

帕裏西的理論基於自旋玻璃模型，而在介紹這個模型之前，我們先需要了解它的“初級版本”——伊辛模型。

03 相變的基本模型——伊辛模型表徵，其中

代表熱力學系綜平均。物理學家最感興趣的問題是，從(1)式的哈密頓量出發，統計物理理論能否給出順磁與鐵磁之間的相變 (即m從0變到有限值) ？

早在1925年，楞次的學生恩斯特·伊辛就得到了一維伊辛模型的嚴格解。他發現，一維伊辛模型不會發生相變——在任意温度下，一維伊辛模型的穩態都是順磁態。不過，伊辛把這個結論做了錯誤的推廣，認為在其他維度下，這個模型也沒有相變。直到1944年，拉斯·昂薩格 (1968年諾貝爾化學獎得主) 發表了二維伊辛模型的解析解[2]，嚴格證明了二維伊辛模型在有限温度下存在二級相變，這也使得二維伊辛模型成為第一個在有限温度下呈現連續相變的模型。1952年，李政道和楊振寧 (1957年諾貝爾物理學獎得主) 提出了李楊相變理論[3，4]，嘗試從數學上解釋伊辛模型在熱力學極限下 (無窮大體系) 存在相變的原因。然而，儘管無數偉大的物理學家做了不懈的嘗試，目前為止，三維伊辛模型還無法嚴格求解。

04 自旋玻璃模型圖5 阻挫現象 (a)伊辛模型，無阻挫；(b)自旋玻璃模型，有阻挫

有意思的是，哈密頓量中看起來微小的變化，就導致自旋玻璃模型與伊辛模型的低温物理性質發生了巨大的改變。在零温條件下(T=0 K)，對於伊辛模型而言，如果所有自旋的方向全部相同，那麼體系的哈密頓量取得最小值，體系處於鐵磁相。不過，對於自旋玻璃而言，自旋對間相互作用的隨機性使得體系的能量最小值並不容易尋找。不妨看一個簡單的

05 自旋玻璃相變、複本交疊序參量與複本對稱性破缺由於阻挫的存在，自旋玻璃模型在低温下的穩定構型看起來是無序的 (自旋指向隨機)。然而從動力學的角度來講，幾乎所有的自旋都是不動的，因而低温的自旋玻璃相 (類比玻璃) 與高温的順磁相 (類比液體) 明顯不同。從順磁相到自旋玻璃相的過程看起來是一種無序到無序的相變，伊辛模型的序參量磁化強度(2)式不再有效，因為m在兩相中都為零。那麼，自旋玻璃相變到底對應了什麼序參量的變化和哪種對稱性破缺呢？

複本對稱理論雖然可以預測自旋玻璃相變的產生，但是也存在着問題。該理論得到的零温熵S(0)=-1/2π≈-0.16，而按照熵的微觀定義，離散變量物理體系的熵不可能為負值，這就是所謂的“負熵災難”。另外，de Almeida和Thouless發現複本對稱解在自旋玻璃相中並不穩定 (自由能函數展開式的二階項前的係數矩陣不正定)[9]。由此，他們找到了複本對稱解穩定區間的邊界，稱為AT線。在AT線之下，複本對稱性破缺！

圖6 平均場自旋玻璃模型(SK模型)相圖(其中混合相同時具有自發磁化和複本對稱破缺)

基於以上結果，可得到平均場自旋玻璃模型的相圖 (圖6)。在順磁相中，m=q=0；鐵磁相中m≠0，q>0。順磁相和鐵磁相中複本對稱，自旋玻璃相中複本對稱破缺。最後剩下的問題是，自旋玻璃相中複本對稱性是如何破缺的？或者説，自旋玻璃相的真正穩定解是怎樣的？最終，帕裏西找到了答案。

06 無序中的對稱性——平均場自旋玻璃模型的帕裏西解圖7 複本交疊矩陣。從左到右分別為複本對稱、一階複本對稱破缺、二階複本對稱破缺

既然自旋玻璃相中複本對稱性破缺，不妨先假設一種簡單的破缺方式：一階(K=1)複本對稱破缺。在該假設下，整個相空間分裂成多個子空間 (稱為“純態”)。在子空間內部，複本在任意重排下對稱，即只要複本α、β屬於同一純態，那麼不論它們如何取值，qαβ=q1。另外，純態也在任意重排下對稱，即只要複本α、β屬於不同純態，那麼不論它們如何取值，qαβ=q0 (圖7)。可見，一階複本對稱破缺在承認複本對稱破缺的前提下，保留了最高的對稱性。帕裏西計算了一階複本理論的零温熵，發現S(0)從-0.16增加到了-0.01，另外，自旋玻璃相的自由能雖然還是不穩定的，但是更接近穩定 (自由能函數展開二階係數矩陣的本徵值雖然仍有負值，但更接近零) 。自然地，沿着這一思路，可以進一步考察二階(K=2)、三階(K=3)……複本對稱破缺 (圖7)。帕裏西的計算表明，隨着破缺階數的增加，S(0)逐漸趨向於零 (表1)。

表1 不同階複本對稱破缺理論得到的零温熵S(0) [7，8，10]

這些嘗試讓帕裏西推測，只有無窮階(K→∞)複本對稱破缺(稱為全階複本對稱破缺)才會給出自旋玻璃相的真正嚴格解。全複本對稱破缺的理論確實得到了零温下的熵S(0)=0，而且通過對自由能函數展開分析表明，全複本對稱破缺解在低温下是穩定的[7，8]。另外，全複本對稱破缺理論的結果與SK模型的模擬結果也很好地吻合。幾十年後，帕裏西解被數學上嚴格證明[11]。

帕裏西對全階複本對稱破缺的設計在K→∞的情況下保留了最高的對稱性。自旋玻璃的相空間分裂成無窮級，每一級都由多個子空間構成，同一子空間內複本對稱 (如果複本α、β屬於k級的同一子空間，則不論α、β如何取，qαβ=qk)，而子空間之間也具有重排不變性 (如果複本α、β屬於k級不同子空間，則不論α、β如何取，qαβ=qk-1)。這種分裂可以按照分形(自相似)的形式一直進行下去，直到最小的子空間(純態)。純態的qαβ迴歸到Edwards—Anderson序參量qEA。

圖8 (a)分形的樹結構；(b)相空間的超度量性

帕裏西解數學上十分優美，具有分形特徵和超度量性。如圖8(a)所示，複本 (微觀態) 以分形樹的形式組織。分形樹具有自相似的特點：該樹的每一分枝都與原樹相似，而每一分枝又由相似的子分枝組成。圖8(b)則展示了超度量性。如果取出其中任意三個複本，它們兩兩組合將會得到三個交疊量qa、qb、qc。這三個值之間的關係只有兩種可能性：要麼qa=qb=qc，組成等邊三角形；要麼qa>qb=qc，組成等腰三角形。超度量空間的這種關係對應了普通度量空間的三角不等式，並給出了超度量空間中距離的定義。有意思的是，在普通度量空間中，對於一個行走者來説，即使步長很小，只要堅持不懈地走，總可以走到遠方。而在超度量空間中，只要步長是一定的，那麼不管走了多久，終點與起點的距離都是一樣的 (圖8(b)中，在任意子空間中任取兩點，代表起始態和終態，它們的距離一樣)。在超度量空間中，布朗運動 (隨機行走) 並不各態歷經。

帕裏西的理論對於無序複雜系統的研究產生了深遠的影響，已被廣泛地應用在各類問題中[7，12—14]，包括玻璃化轉變、阻塞相變、進化動力學、優化問題、神經網絡、人工智能模型等。

07 結 語顧名思義，“無序”體系看起來雜亂無章。帕裏西解的精美結構，並不存在於真實世界的空間中，而在物理學家構建的抽象空間(相空間)中。詩人顧城曾説：“黑夜給了我黑色的眼睛，我卻用它尋找光明。”如果説，尋找無序體系中的規律，像在黑夜中探索，那麼帕裏西的理論，就像是普羅米修斯的火種，帶來了最初的光明。

參考文獻

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[12] Parisi G，Urbani P，Zamponi F. Theory of Simple Glasses：Exact Solutions in Infinite Dimensions. Cambridge University Press，2020

[13] Nishimori H. Statistical Physics of Spin Glasses and Information Processing：an Introduction (International Series of Monographs on Physics，111). Clarendon Press，2001

[14] 周海軍. 自旋玻璃與消息傳遞. 北京：科學出版社，2015

本文經授權轉載自微信公眾號“中國物理學會期刊網”。

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