為什麼説中國古代不可能發現無理數？_風聞

首先聲明，這是我的一個猜想，如果能夠被否定，我會非常感謝！

那麼，為什麼我認為中國古代不可能發現無理數呢？

現在我們先來看看，古希臘是怎樣發現無理數的。

一

古希臘畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數”。他們認為1是最神聖的數，1生2，2生諸數，數生點，點生線，線生面，面生體，體生萬物。

我國古代也有“道生一、一生二，二生三，三生萬物”的道家思想。這是一種樸素的“萬物皆數”的思想，但沒有畢達哥拉斯學派這麼明確和系統。

畢達哥拉斯學派的萬物皆數，就是萬物都可以用自然數和分數來表示。自然數和分數合在一起，就是有理數。自然數都是整數。而分數則可以分為兩種：能夠化為有限小數的分數，如二分之一，可以化為0.5；能夠化為無限循環小數的分數，如三分之一，可以化為0.333333······

那麼，什麼是無理數呢？

無理數，就是無限不循環小數。典型的無理數，也是我們最熟悉的，就是圓周率π。

無理數可以分為4類：

1.π，e(自然對數的底）等；

2.函數式，如lg2等；

3.開方開不盡的根式，如√ 2等；

4.其他無限不循環小數（---可以自己構造），比如，0.1010010001·······（兩個1之間依次增加一個0）.

在2000年前，至少幾個大文明，基本上都知道了有理數。

但是，發現了無理數的，只有古希臘文明一家！

這是為什麼呢？

二

現在我們來看看，古希臘人是怎樣發現了無理數的。

我們知道，在中國被稱為“勾股定理”的表示直角三角形三邊關係的等式---a²+b²=c²，在古希臘叫做“畢達哥拉斯定理”。

有一次，畢達哥拉斯的弟子希帕索斯研究了一個兩條直角邊長度都是1的三角形，那麼，這個三角形的斜邊應該是多少呢？

根據畢達哥拉斯“萬物皆數”的思想，這條斜邊當然是有理數！

那麼，它到底是不是有理數呢？

好在，古希臘人最擅長的，就是幾何學證明---為什麼不證明一下呢？

根據畢達哥拉斯定理，1²+1²=2=（√ 2）²。那麼，斜邊的長度是√ 2.

希帕索斯想證明：√ 2是有理數。

那麼，可以設√ 2=m/n，m/n是最簡分數，m、n都是正整數。

兩邊平方，然後兩邊再同時乘n²,則有2n²=m²。

因為n²的尾數只能是0、1、4、5、6、9中的一個，所以2n²的尾數只能是0、2、8中的一個。

因為2n²=m²，而任何正整數的平方的尾數，都不是2、8，所以，m²的尾數只能是0.

而根據上面等式，2n²的尾數當然也是0.

這樣的話，n²的尾數只能是0或者5.

因此，m、n有公因數5，與m/n是最簡分數矛盾！

所以，結論只能是：√ 2不是有理數！

三

這裏，希帕索斯用反證法證明了：√ 2不是有理數。

對於畢達哥拉斯學派而言，這樣的發現，幾乎是闖下了塌天大禍。

不是“萬物皆數”嗎？現在，這個直角三角形的斜邊，居然不是數！

退一步説，即使它勉勉強強可以算作數，那也是非常“沒有道理”的！所以就叫做“無理數”吧。

令人意想不到的是，無理數到底是不是數---這個問題，居然困擾了數學家2000年。

這是後話，暫且不提。而希帕索斯被溺死的結局，也暫且不提。

無理數的危機，加上芝諾悖論，被稱為數學史（科學史）上的第一次危機。

而事實上，這是人類思維的一次巨大飛躍！也是人類科學史上的一個劃時代成就！

為什麼這麼説？

因為，首先，它不是測量出來的；

其次，也不是觀察發現的。

它，是通過反證法，純粹通過人類的抽象思維能力發現的！

這，可以説是人類純粹通過抽象思維、邏輯思維獲得的第一個偉大科學成就！

它説明：嚴密而系統的抽象思維、邏輯思維能力，對於科學發現，具有多麼了不起的偉大價值！

有許許多多自然的、科學的奧秘，比如無理數，無論你有多鋭利的眼睛，都不可能觀察出來。

無論你有多麼強大的儀器，也不可能測量出來。

但是，意想不到的是，這樣幾乎令人束手無策的奧秘，居然僅僅通過抽象的邏輯思維，就能夠迅速而準確無誤地被發現！

至此，我們不能不為人類抽象、邏輯思維的偉大力量而驚歎、而歡呼！

四

最後來説説，我為什麼認為，中國古代不可能發現無理數。

這是因為，無理數的發現，幾乎只能依靠抽象的嚴密系統的邏輯思維！

而這樣的邏輯思維能力，古希臘人通過對於幾何學的痴迷鑽研，已經修煉到了爐火純青的地步，可以説絕對是全球一枝獨秀。《幾何原本》就是這種鑽研的最大成果！

這一點，我們看看前面希帕索斯的反證過程，就可以充分體會到其邏輯思維是如何滴水不漏、無懈可擊！

而同時代全球其他文明，對於抽象的邏輯思維，都沒有充分重視。

中國古代，尤其是春秋戰國時期，諸子百家中也有重視抽象、邏輯思維的，但是他們基本上是淺嘗輒止，與古希臘人的深入系統鑽研相比，他們只能稱之為業餘愛好者。

正如愛因斯坦所説，古希臘人的形式邏輯是現代科學的兩足之一（另一足是實驗）。而抽象、邏輯思維始終都是業餘水平的古代中國，沒有科學毫不意外（這個話題，可以參考我另外的帖子）。

説中國古代不可能發現無理數，還因為在2000年前，像直角三角形的斜邊這樣的無理數的例子，非常罕見，如果不是對於幾何學有深入細緻的鑽研，根本就不可能想到會有無理數的問題！

通過這個帖子，我想強調一點：

古希臘文明，具有同時代所有文明都沒有的獨特的巨大優點----對於抽象、邏輯思維的極端重視與專注！！

正是這樣的優點，讓他們在2000年前，就發明出了古希臘理性科學！

而古希臘理性科學，是現代科學的父親（母親是基督教文明----參考我另外一個帖子）。

以上觀點，歡迎網友討論。

（本文內容部分引用了發表於《數學教育研究》2011年第27期朱淦的《無理數的秘密》，特此致謝）