蓋爾範德，他預見了一個尚未結束的故事_風聞

“數學是文化的一部分，就像音樂、詩歌和哲學一樣。”

——伊斯雷爾·蓋爾範德

撰文 | 陳關榮（香港城市大學）

伊斯雷爾·蓋爾範德（Israel Moiseevich Gelfand，1913年9月2日－2009年10月5日）出生於烏克蘭南部Okny 鎮（現稱Krasni Okny）的一個普通猶太人家庭。

蓋爾範德初中畢業後進入了一間職業技術學校受訓當化學實驗員，未結業便失學了。1930年初，16歲的他從家鄉孤身來到莫斯科投靠遠親自尋生計。他在莫斯科四處做臨時工，但經常失業。後來他在列寧圖書館找到一份外借圖書管理員的工作。在那裏，他如飢似渴地自學那些以前沒有學到的知識。他結識了幾個大學生，便常常安排時間跟隨他們去莫斯科大學聽課。他最有收穫的是旁聽了數學家米哈伊爾·拉夫連季耶夫（Mikhail A. Lavrentyev，1900-1980）組織的複變函數討論班。

1932年，沒有大學學歷的蓋爾範德由於各種出眾的數學表現被破格錄取為莫斯科國立大學的研究生，師從著名數學家安德雷·柯爾莫哥洛夫（Andrey N. Kolmogorov，1903-1987）。從此以後，用蓋爾範德自己的話來説，他的學術生涯“平常而正規，進入了數學家通常的軌道”。

圖1 蓋爾範德（1913-2009）

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喜歡數學的少年

在介紹蓋爾範德如何“進入了數學家通常的軌道”而成長為“20世紀最偉大的數學家之一”之前，先來回顧一下他小時候是如何學習數學的。

蓋爾範德的家鄉Okny 鎮裏只有一所中學。他12歲上初中時，自己弄明白了有些幾何題目是不能用代數方法去求解的。有一次，他對正弦曲線的圖形每隔5度算出一個弦長並製成了表格。後來他當然明白，是自己“創制”了一個三角函數表。那段時間，在沒有相應的代數課本的情況下，他還做完了一本初等代數習題集。這個小小的成功讓他明白並且記住了一個道理，就是通過解題是可以進入一個數學新領域的。

到了13歲時，他對平面幾何產生了特別的興趣。他注意到有些直角三角形邊長為3、4、5，或者5、12、13，就想求出邊長為整數的全部直角三角形。結果，他又“發明”了勾股定理。

那個時候他家貧環境差，經常生病。但每當病倒在牀上，特別是學校放假的時候，他就自己學習數學，結果很有收穫。多年以後，他竟然經常讓兒子病癒後在家裏多住幾天，説是有能力的學生在生病時窩在家裏可以做很多事情。

蓋爾範德小時候家境貧困的情形是別人難以想象的，比如要父母買一個練習本都是一種奢求。後來他終於得到了一個練習本，於是就在每一頁上都抄滿了數學定理的陳述和證明。他後來回憶説，這讓他學會了怎樣去寫一本數學著作。

對於很有數學天分的蓋爾範德來説，數學書籍的缺乏是他進一步發展的嚴重障礙。他經常看到高等數學書的廣告，猜測高等數學大概是非常有趣的。可惜窮父母不可能給他買這些書本。15歲那年，他得了闌尾炎，需要去大城市敖德薩（Odessite）醫院做切除手術。他趁機跟父母親耍賴，説如果你們不給我買高等數學書我就不去醫院了。父母無奈給他買了一本烏克蘭文的《高等數學教程》。可憐的爸媽只夠錢買了第一卷，其內容包括平面解析幾何和初等微積分。

蓋爾範德覺得很幸運，有機會從一本正規的大學教程開始學習高等數學了。他手術後第三天開始，就逼不及待地開始看這本書，穿插着還讀了法國作家埃米爾·左拉（Emile Zola，1840-1902）的一本小説。在醫院的九天，他讀完了這本高等數學第一冊。期間，他還獨自推導出了歐拉-馬克勞林公式、伯努利數遞推公式、前n個自然數p次冪的求和公式。對他來説，最大的收穫是鍛鍊了獨立解題的能力和養成了解題後繼續探求進一步結果的好習慣。

到了1930年，16歲的蓋爾範德便告別父母，獨自到莫斯科做工自謀生路去了。

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數學家的傑出貢獻

1932年，蓋爾範德成為了莫斯科國立大學的研究生，師從大數學家柯爾莫哥洛夫。

研究生學習期間，在導師引領下蓋爾範德進入了當時新興的泛函分析領域。1935年，蓋爾範德以抽象函數和線性算子為論題獲副博士學位。他證明了泛函分析特別是完備賦範空間的許多基本性質，建立了通過連續線性泛函把其中許多問題轉化為經典分析問題的一些普適方法。

1940年，蓋爾範德獲蘇聯物理與數學科學博士學位。在學位論文中，他創立了交換賦範環論，奠定了Banach代數的基礎。在這領域裏，他後來建立了全新的表示論，還把希爾伯特空間中線性算子的譜理論推廣到賦範代數中。一個有趣的例子是他應用賦範環的理論和技巧，僅用了5行字的篇幅就推出了諾伯特·維納（Norbert Wiener，1894-1964）早前一篇長文中證明的一條著名定理：如果一個不取零值的函數可展開為絕對收斂的傅里葉級數，則其倒數也可展開為絕對收斂的傅里葉級數。接下來，蓋爾範德開創了C*代數的研究。

1943年，蓋爾範德成為了莫斯科國立大學教授，後來還在蘇聯科學院應用數學研究所任職。1950年代，蓋爾範德在純粹數學和應用數學的多個分支開展了大量卓有成效的研究，成果累累。他的主要貢獻涵蓋泛函分析、調和分析、羣表示論、積分幾何、廣義函數、微分方程、數學物理等領域。此外，1958年後他還開展了對生物學和生理學的深入研究，並且在蘇聯科學院成立和領導了一個生物物理研究所。在生物醫學領域中，他研究X-光和CT掃描的數學問題，還改進了約翰·拉東（Johann K. A. Radon，1887-1956）的圖像變換從而開創了一門全新的積分幾何學。

蓋爾範德發表論文近500篇，其中以他個人名義發表的有33篇，只佔總數7%，而聯名發表的合作者共有206位，包括中國數學家夏道行。他還出版了教材和專著18本。1980年代末，Springer出版社出版了《蓋爾範德文選》3卷，收入作者自選論文167篇。1958年至1966年間，蓋爾範德牽頭編輯出版了6大卷的鉅著《廣義函數》。其中，第一卷討論廣義函數的定義、基本性質和傅里葉變換以及各種特殊類型的廣義函數；第二卷考察各種類型基本函數空間及其上的廣義函數以及相應的傅里葉變換；第三卷應用廣義函數研究偏微分方程組柯西問題解的存在唯一性和適定性以及自伴微分算子按特徵函數的展開；第四卷研究核空間及其應用並引進裝備希爾伯特空間，以及正定廣義函數、廣義隨機過程與線性拓撲空間上的測度論；第五卷以積分幾何為基礎，討論洛倫茲羣及相關齊性空間上的調和分析；第六卷引進表示論與自守函數。這套專著享有極高的國際聲譽，有中、英、法、德文譯本，是分析類型數學家的基本教材和參考資料。

圖2 蓋爾範德（莫斯科國立大學）

蓋爾範德的數學研究與數學教學緊密聯繫在一起。他在莫斯科國立大學經常給低年級本科生上課，1944年起又為年輕老師和研究生開辦泛函分析討論班，之後又開辦理論物理討論班。蓋爾範德組織和指導的討論班一直持續到他晚年，成為蘇聯發展泛函分析和培訓數學新秀的一個主要基地。蓋爾範德素來幽默風趣，他多次戲説：“本討論班面向一般的高中生，良好的本科生，優秀的研究生和傑出的教授”。和他合作的一批年輕人都先後來自他的討論班，其中許多後來成為著名數學家，包括數學界熟識的F. Berezin、J. Bernstein、E. Dynkin、A. Goncharov、D. Kazhdan、A. Kirillov、M. Kontsevich、A. Zelevinsky等，特別是1990年沃爾夫數學獎得主伊利亞·皮亞捷茨基-沙皮羅（Llya Piatetski-Shapiro, 1929-2009）。皮亞捷茨基-沙皮羅認為，當時的蘇聯數學界有三位泰斗，就是師徒三代的柯爾莫哥洛夫、蓋爾範德和伊戈爾·沙法列維奇（Igor R. Shafarevich，1923-2017）。他説：“蓋爾範德是最卓越的。他既有沙法列維奇那樣深刻的數學造詣，又有柯爾莫哥洛夫那樣廣博的知識。此外，蓋爾範德還有一個特別的才能：他能夠同時從事幾個基本領域的研究而不感到吃力……在這方面，蓋爾範德是無與倫比的。”

值得一提的是，或許是由於自己年輕時家貧失學的緣故，蓋爾範德對中學生的數學教育特別關心。他是1930年代莫斯科數學奧林匹克競賽的發起人之一，還參與設立了一所遠程數學函授學校。他領頭和幾位數學家朋友一起為中學生編寫了5本基礎數學讀物：《代數》《幾何》《三角函數》《函數和圖像》《座標方法》，英文版在2000年代由Springer 出版社出版，中譯版收錄在《蓋爾範德中學生數學思維叢書》中。

蓋爾範德90高齡時回憶過去，非常感激自己人生各個階段的老師：“對我來説，最重要的老師是Schnirelman，他是一個英年早逝的天才數學家。然後有Kolmogorov、Lavrentyev、Plesner、Petrovsky、Pontriagin、Vinogradov、Lusternik，他們各不相同……但他們都是偉大的數學家。我對他們所有人都非常感激，我從他們那裏學到了很多。”

圖3 蓋爾範德的部分著作

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獎勵和榮譽

蓋爾範德曾在國際數學家大會上做過3次全會報告（1954年，1962年，1970年），足以表明他在當代數學發展中的重要地位。事實上，迄今為止只有維多·沃爾泰拉（Vito Volterra，1860-1940）做過4次全會報告，以及埃利·嘉當（Élie Cartan，1869-1961）、拉斯·阿爾福斯（Lars Ahlfors，1907-1996）和安德烈·韋伊 （André Weil，1906-1998）做過3次全會報告。

蓋爾範德於1953年當選為蘇聯科學院通訊院士，1984年當選為院士。他於1968年至1970年擔任莫斯科數學會主席。後來，他三次榮獲列寧獎章（第一次在1973年），以及被譽為“日本諾貝爾獎”的京都獎（1989年）、美國文化界的最高榮譽MacArthur Fellow（1994年）和美國數學會的終生成就獎（2005年L. P. Steele Prize）。

蓋爾範德還是英國皇家學會、美國國家科學院、美國藝術與科學院、巴黎科學院、瑞典皇家科學院的院士。他獲牛津大學、哈佛大學、巴黎大學授予榮譽博士學位。

1978年，蓋爾範德和德國數學家卡爾·西格爾（Carl L. Siegel，1896-1981）分享了以色列沃爾夫（Wolf）基金會設立的第一屆沃爾夫數學獎。可是，由於他在1968年參與蘇聯99個數學家聯名的一封公開信，要求政府釋放因不同政見而被關進精神病院的數學家亞歷山大·葉賽寧-沃爾平（Alexander Esenin-Volpin，1924-2016），加上蘇聯和以色列早前已經斷絕了外交關係，蓋爾範德被禁止出席當年的頒獎典禮，讓沃爾夫獎第一次頒發就遭遇尷尬。直到1988年，蓋爾範德才得以前往以色列補領十年前榮獲的獎章。

順便提及，至今獲得沃爾夫數學獎的華人數學家只有陳省身（1983年）和丘成桐（2010年）。

圖4 蓋爾範德在MIT講課

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尚未結束的故事

1989年，76歲的蓋爾範德移居美國。他在哈佛大學和麻省理工學院訪問了一段時間之後，被羅格斯大學（Rutgers University）聘為終身傑出訪問教授。

2009年10月5日，蓋爾範德在新澤西州New Brunswick去世，享年96歲。

蓋爾範德和第一任夫人 Zorya Shapiro養育有3個兒子，Sergei 和Vladimir，但小兒子 Aleksandr 1958年因白血病去世。當年的痛苦成為了他開始研究生物醫學的主要動因。他和後來的夫人Tatiana生有一個女兒，名字也叫Tatiana。

烏克蘭數學家蓋爾範德就這樣度過了他不平凡的一生，為人類留下了一大批寶貴的數學財富。

2003年9月2日，蓋爾範德在慶祝他90歲生日的晚宴上作了個簡短的發言（參見《生於烏克蘭的大數學家Gelfand於90歲生日宴會上的講話》），主題是他對數學的看法和為什麼這麼高齡還在做數學。結束時，他語鋒一轉，説了句題外話：

“最後，我想給出一個數學之外的例子。有句簡短精闢的話組合了我之前提到的簡單和精確等特徵。這是諾貝爾文學獎得主 Isaac Bashevis Singer 説的一句話：‘只要人還以刀槍摧毀弱小，就不會有正義。’”

今天看來，他預見了一個尚未結束的故事。

圖5 蓋爾範德在Rutgers講課

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