怎樣寫一篇賞心悦目的英文數學論文？_風聞

手把手教你寫好英文數學論文。

撰文 | 丁玖（美國南密西西比大學數學系教授）

對於從事數學研究的大學教師，寫作並發表學術論文和教學一樣都是不可或缺的日常事務；對於數學各個分支領域的研究生，寫作也是學術訓練的一個重要方面。目前，大部分中國學者是用英文寫作數學文章的，導致中國早已成為全世界僅次於美國的SCI論文大國。但是許多人的英文寫作是有不少問題的。在這篇文章裏，我將就英文數學寫作談談我的看法，並對一些需要注意的地方舉例説明。

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首先我指出，英文寫作與中文寫作的基本原理是一樣的，即：要想説好某件事，一定要有某事説。這被美國已故的數學寫作與演講大家哈爾莫斯（Paul Halmos）列為“寫作第一原則”：In order to say something well you must have something to say. 他心目中的“寫作第二原則”是：當你決定寫作時，問問自己預期讀者是誰（When you decide to write something, ask yourself who it is that you want to reach.）。每一個寫作者，包括數學家們，都要牢記這兩項基本原則。

對於母語和外語而言，提高寫作水準的有效方法也是一樣的。一個放之四海而皆準的妙法很簡單，就是“熟讀唐詩三百首”。大量閲讀是提高寫作能力的一大法寶。如果一個人母語的寫作能力欠缺，即便能背得出一萬個外語單詞，他用那種語言大概也寫不出拿出手的文章。所以那些想在數學英文寫作中找竅門走捷徑的人，在對那些“博覽羣書”者寫下的優美文章前“臨淵羨魚”之後，不要忘了回到家裏“退而結網”。

數學寫作屬於科學寫作。我先來概括一下科學寫作的一般要素。科學寫作的目的是交流學術思想和科學發現，所以在動筆前作者首先要清楚，這篇文章是寫給誰看的。要充分收集與本次寫作有關的材料以及關鍵的文獻，要仔細斟酌所表達內容的先後次序和邏輯結構。在寫作過程中要精確、清晰、簡潔、客觀地表達想説的東西。初稿完成後，要反覆推敲，不斷修改，這對初出茅廬的新手尤其重要。為了不斷提高寫作水平，要養成閲讀國外英文學術書刊的好習慣。此外，要熟記本學科以及相鄰學科和相關領域的基本術語和常用專業詞彙。最後我想強調的是，寫文章貴在創新，切忌表達千篇一律。“抄現成的東西”是我們應該終生“棄之如敝屣”的不良作風。

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現在我簡單談論文章的結構。一篇數學文章一般由以下幾個部分組成：題目、摘要、引言、主體、結論、參考文獻。有的文章還有附錄。我們對每一部分大致説明一下。

標題（title）是用最少的文字表達文章的主要內容，它應該簡潔、具體，並且要直接明瞭。一個佳例是我博士導師李天巖教授三十歲時與他的博士論文導師約克(James Yorke) 教授於1975年12月在《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly）上發表的論文Period Three Implies Chaos。雖然文章的定理給出的是在比“週期三點存在”更加一般的假設下，逐次迭代一個連續函數的驚人結論，但“週期三點存在”這個特殊假設使得只有四個單詞的標題成為可能，而且該題目概括了文章的主要貢獻——此文在數學上首次引進“混沌”的數學術語。筆者參與寫作的關於一類新分形的一篇文章，標題就是直截了當的分形名字：Sierpiński Pedal Triangles，讀者看了馬上一目瞭然。另外一些科學名篇的簡潔標題包括“混沌之父”洛倫茲（Edward Lorenz）的“Deterministic Nonperiodic Flow”。

由於文章標題特別重要，它需要作者費點心思推敲確定。香港城市大學電子工程系的陳關榮教授在一次關於科技寫作的演講中，舉了自己與弟子合作的一篇短論文作為例子，談論怎樣修改標題。這篇後來被廣泛引用的文章，初稿完成後的標題是“A New Chaotic Attractor Connecting the Lorenz Attractor and the Chen Attractor”。在文章修改過程中，作者仔細斟酌了標題，發現它雖然表達清楚，但有不簡潔的缺點，例如單詞“attractor”出現了三次。最終，他們將它改成了既精煉又醒目的短標題A New Chaotic Attractor Coined。

文章標題最好不要太籠統，而要具體，少用那些範圍太廣的學術名詞，切忌寫成像個書名，如Numerical Analysis for Fluid Dynamics。在某些場合，疑問式的標題容易抓住讀者的眼球，如“分形之父”曼德博（Benoit Mandelbrot）的開創性論文How Long Is the Coast of Britain？總而言之，文章標題將給讀者留下關於該文的第一印象，如果它不是那麼引人入勝的話，潛在的讀者可能不會繼續瀏覽文章的摘要進而閲讀全文。

摘要（abstract）是關於文章主要結果的一段或幾段文字概括。它是讀者的領路人，基本要求是短而精，並能提供文章的關鍵信息。為了讓更多的人讀之，應該寫得讓作者所在專業小領域的“母體”領域大同行也能不費力氣地看懂。技術上，它應該避免使用數學符號和公式，最好從頭到尾用敍述性文字，讓讀者覺得就像在林中散步時聽老朋友聊天一樣。摘要通常寫在文章初稿完成後，這時，不應該照抄文章引言或結論兩節中的有關句子。要重新構思，儘管表達與文章有關部分同樣的意思，也要使用不同的語詞表達，免得讀者有“似曾相識”之感。另外，可有可無的詞和句子儘量不用或少用，如“In this paper”。

如果必須在摘要裏提到某篇文章，不要像在正文裏那樣只列出它在文末“參考文獻”內的序號，而是詳細給出該文所在的雜誌名稱和發表信息，如發表年份、雜誌卷數和期號。這是因為許多報告過的文章摘要也被放進某次會議的摘要集，而摘要的讀者讀不到文章後面的參考文獻。

純粹數學文章的摘要一般短於應用數學和計算數學，篇幅比較短的文章摘要甚至一句話就能全面概括文章貢獻，如Lasota和Yorke一篇1973年發表的現代遍歷理論經典論文的摘要是“A class of piecewise continuous, piecewise C1 transformations on the interval [0, 1] is shown to have absolutely continuous invariant measures.”

好的摘要能吊起讀者的胃口，馬上就想讀文章的第一部分——引言，因此將它寫好對迅速傳播自己的研究成果十分重要。

引言（introduction）可被看成是擴充版的摘要，它將給出文章的背景、有關的前人研究成果、本文需要解決的問題、求解的思路等。在敍述別人的工作時，既要客觀報道，也不應隨意貶低，鋒芒畢露；當介紹自己的成果時，要用新聞體式的平實語言，概括得體。整個引言要寫得一氣呵成，開始部分要用淺顯易懂的語言引導讀者慢慢登堂入室，信心滿滿地理解整篇文章要解決的問題和採用的思想及方法。要力求避免一開始就羅列一大堆數學符號，因為這容易導致讀者對後面的部分望而生畏而止步於此。引言只須提及與本文密切相關的背景和應用，不必大張旗鼓地談論應用前景的方方面面，免得離題太遠。要知道，研究型文章寫的是自己的研究結果，不是有關應用歷史或前景的綜述場所，所以次要甚至無需的材料不要寫得喧賓奪主。

引言的中間應該概括文章的主要貢獻、好的新結果，論證的方法，以及期待的效果。它的內容包括：提出問題，總結過去，分析困難，解決措施，給出目的等。

引言的最後部分一般是對文章的結構做出説明，給出文章主體部分各小節的基本內容。但是，這裏不應該將各節的小標題再寫上一筆，而是補充交代小節的目的所在。

文章的引言寫好後常需修改，而主要修改之處往往導致“瘦身”，因為敍述囉嗦以及多此一舉是寫作中常有的毛病，容易讓第一節變得“虛胖”。再版過一本數學寫作手冊的一位英國皇家學會會士説過：“改進引言的一個可行方法是刪去第一句或前幾句，因其常為無關緊要的泛泛而談。”他舉了一個佳例：Polynomials are widely used as approximating functions in many areas of mathematics and they can be expressed in various bases. We consider here how to choose the basis to minimize the error of evaluation in floating point arithmetic. 這兩句話中的第一句是人人知道的簡單事實，不必再提。因此他將兩句縮成一句，並且是讓人思考的疑問句：In which basis should we express a polynomial to minimize the error of evaluation in floating point arithmetic? 因此，我們只要記住“可寫可不寫的句子就不要寫”的這個簡單法則，就能去掉引言中的那些“多餘的話”。

主體（main body）是文章的主要部分，它由引言和結論一前一後兩節之間的所有小節構成。這幾節的寫法百花齊放，各有各的特色。一般第一節引入所需的新老概念、術語定義以及預備知識或有用命題；對於計算數學和應用數學分支，它也含有需要數值求解的連續方程，包括微分或積分方程，或算子方程。對純粹數學而言，下面的各節就要敍述作者新發現的定理，通常做法是將定理的證明也一併帶上。對於複雜的定理證明，也可以另設一節，專事證明。也有少數篇幅較大的文章將證明放到文章主體的最後甚至更後的附錄中。對於應用數學和計算數學，這裏是數值方法設計和分析的場所，包括關於算法收斂性的理論證明，加上計算試驗的數值列表畫圖。

如果定理的證明較長，幫助讀者理解關鍵想法的一個好方法是將一個或幾個思路的結果寫成引理，放在定理的前面。有的文章將所有定理所需的引理統統放在一起，甚至單列一節。但是較好的做法是將服務於哪個定理的引理放在那個定理的前面，便於讀者閲讀。

文章主體部分的撰寫沒有套路可循，但基本的原則就是清楚完整地展示作者解決問題的思路和方法，不同學科的寫作風格和表達方式可能稍有區別。初學者可以通過閲讀寫作經驗豐富的同行專家已被髮表的論文，最好是英文為作者母語刊登在權威雜誌上的那些，來學會怎樣寫。剛開始從事寫作時可以小模仿，但絕不能整段整句地抄別人的敍述。

主體部分包含許多數學公式，有的因為後面用到而需要標號。記住一個原則：儘量少用標號。後面不需要的公式就不要標號。如果某個公式僅在下一行或幾行處提到，也不必標號，可以用像“the above equality”類似的詞組指出該公式而不會引起誤解。

結論（conclusions）通常是文章的最後一節，它的功能就是關於文章內容的“總結性發言”，闡述本文的主要貢獻，使得讀者在讀完文章主體後有個全面的回顧。這時作者可以展望未來，就相關的研究提出設想。理想的結論節除了不重複引言中的句子外，還要具備讓讀者有餘音繞樑之感或意猶未盡之慨，會引發他們對未決問題的思考，甚而心中湧起躍躍欲試的衝動。與引言不一樣的是，當在結論節總結文章的主要工作時，常常用過去式時態來敍述，例如The main contribution of the paper is that we proved an existence theorem for the class of piecewise convex transformations of the unit interval.

一些人寫到結論節的標題時只寫單數，不加表示複數的“s”，這是不太規範的。按照約定俗成的做法，這一節的標題是“Conclusions”，如果不用其他詞組如“Concluding Remarks”的話。

參考文獻（references）中堆放的是與文章內容有關並且被正文引用的那些論文和書籍。它看上去可以不費吹灰之力地完成，但實際上是最容易出錯的地方。最大的錯誤可能是格式不統一，即不同參考文獻的寫法各異。原因可能是作者不分青紅皂白地將別人文章中的對應條目全盤照搬，而忘了不同雜誌對參考文獻的寫法格式或有細微差別。其他錯誤包括作者的姓和名次序不一致、雜誌名稱的全名和縮寫前後混用、屬於同一範疇的詞組字體不一樣、上下不按照第一作者英文姓的首字母次序排列等。參考文獻應儘可能地放上原始論文，除非信息缺乏而迫不得已改列間接出處，如一本書。當然教科書中的經典結果無需列出最早的出處，只要給出含有它們的著作即可。還有一個需要注意的事項是：文章中被引用的全部論文或圖書必須與參考文獻中的所有條目一一對應。作者應該記住，與文章沒有關係的文獻一條也不應該列。極端的例子屬於柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov），他有約15篇論文沒有參考文獻，因為它們都是真正開創性的工作。另一方面，對文章研究成果出過力的任何文獻，作者都應該列出，缺一不可。

文章的第一頁除了標題外，還包含了作者姓名等信息。關於多位作者的署名，數學文章國際通用的約定俗成是按照英文姓氏首字母排序。記得我在美國讀博士時所寫的第一篇數學文章，初稿將合作者、導師李天巖教授的名字放在第一，反映出尊師的傳統習慣。他修改文章時，將兩人的署名順序顛倒過來，並告訴我“按字母順序署名”是數學界的不成文規矩，與作者貢獻無關。從此我和他的所有合作論文都是這樣按照規矩辦事的。我的師爺約克教授的英文姓是Yorke，所以他的合作文章幾乎篇篇他的署名在後，但這不影響他的學術貢獻和地位。如果數學文章的署名違反了規矩，那可能是那個排在後面的作者貢獻微小，儘管如按此人姓氏首字母應該排在前面。當然對於反序的例外情形，也有別的種種不便明説的原因。

許多文章的最後有致謝部分，感謝對文章有貢獻但未署名的人和/或研究基金。有的文章在投稿過程中，某個認真負責的審稿人對改進文章的數學或語言有不可忽視的幫助，這時作者最好表示感謝這位匿名者。致謝部分應該寫得簡潔，比如I would like to thank可以縮短為I thank。

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下面我略談一下文章寫作的基本材料——單詞和詞組。雖然科技寫作不像文學創作那樣追求想象力和抒情，但有一點是共同的，就是避免重複用詞。這就要求作者擁有比較大的詞彙量，在表達相同或相似的意思時可以選取不同的單詞來表達。我和湯濤教授合著的工具書《數學之英文寫作》中，有一章列出了數學不同學科的基本詞彙表，以及表達相同或相反意思的英文單詞和詞組。為了提高英文寫作的能力和用詞的靈活性，就要經常從本專業歐美作品中吸取營養。比如説，養成習慣定期瀏覽美國數學會網站www.ams.org中會員通俗雜誌Notices of the American Mathematical Society上的綜述文章甚至新聞簡報。我於1986年去美國讀博士的那幾年，作為系裏提名的美國數學會學生會員，每期收到這個內容豐富的雜誌後，我都要瀏覽一番，好的文章細讀，而不是像有的人那樣將它摔在一邊，不聞不問。讀這類雜誌的好處多多，不僅可以瞭解其他領域的一些行情，而且從那些優美的寫作中學會怎樣寫數學文章，還可以更進一步從那些數學家（如陳省身教授）的訪談中，瞭解他們成長的心路歷程和有趣故事。我自己的英文寫作能力除了我以前打下的中文寫作基礎，就主要得益於對英文雜誌這樣的大量閲讀。

國內學者英文寫作中的一個普遍問題是關於冠詞以及可數名詞單數或複數的用法上。一般來説，當第一次寫到某個可數名詞時，比方説在定義一個術語的時候，我們可將此名詞或詞組寫成前面有不定冠詞的單數形式，如Let V be a vector space或For an orthonormal basis，或寫成複數形式，如Generalizations of the above lemma appear in various articles。但是當所述名詞帶有限定語的時候，常常需要寫成前置定冠詞的單數形式，如Let B(H) be the algebra of all bounded linear operators on a complex Hilbert space H. 一個學科的名稱，如algebra（代數），屬於不可數名詞，所以我們這樣寫：from Banach’s Lemma in functional analysis，而不寫in the functional analysis。然而有了一個具體對象後，就要用定冠詞了，如The first part of the book is on the functional analysis of Frobenius-Perron operators and the second one is devoted to the numerical analysis of the operator. 當一個名詞第一次以複數形式出現時，一般不用定冠詞，除非名詞前有限定性定語，如teaching for sciences及teaching for the computational sciences。當一個對象存在但不是唯一時，通常用不定冠詞或複數，而當這個對象很快再被提及時，就可以用定冠詞了，此時the有着“這個 (this) ”或“那個 (that) 的意思。茲舉一例：

Suppose a smooth function has a critical point. If the second derivative of the function at the critical point is positive, then it is a relative minimum of the function.

抽象名詞因為不可數，當然不能用不定冠詞，如果非用不可，就需要某種“量詞”放在它的後頭。例如，我們不能寫This is a wonderful news，而是要寫成This is wonderful news或者This is a piece of wonderful news.

還有幾個與定冠詞有關的寫法：(i)當指一樣東西時，例如某個公式，可以有兩種途徑。一種是用the，另一種就省去它。因此from the inequality (5)和from inequality (5)都是正確的寫法。但如果不列出公式標號，光寫from inequality就不對，因為這裏讀者不知道指的是哪個公式，這時可根據上下文寫成如from the above inequality。(ii)當寫以某人名字命名的命題時，可以用所有格形式或在人名前加上the，例如by Li-Yorke’s theorem或by the Li-Yorke theorem，但不能寫by the Li-Yorke’s theorem。(iii)一些形容詞當名詞使用時，一般加the，如From the above和the more, the better。單詞next常用the，如the next theorem，但也有不加the的時候，如We come back to this topic next time.

英文數學文章常用以Let或Suppose等特殊動詞開頭的祈使句，尤其在命題敍述的開頭部分。這時它的結尾應為句號，即點號，所以Suppose the inequality is satisfied, then the conclusion is valid. 應該改為Suppose the inequality is satisfied. Then the conclusion is valid. 祈使句也可以換成分句的形式，如Denote the matrix by M. We find that可以寫成Denoting the matrix by M, we find that。前者是兩個句子，而後者是帶有現在分詞結構的一個句子。

連詞and的用法也值得注意。幾個並列的事物或句子之間用逗號隔開，並在最後一個對象前加上and，這個and之前一般加上最後一個逗號或不加，如If the first function is continuous, the second function is differentiable, and the last function is monotonic或同樣正確的If the first function is continuous, the second function is differentiable and the last function is monotonic。自然連接兩個對象時，逗號就不需要了，如See the paper by Zhang and Zhu，而不是See the paper by Zhang, and Zhu。

一些作者，可能由於沒有時間養成習慣閲讀好文章，或沒有注意到英文中那些拉丁語“小詞”的正確寫法，容易在詞語寫作上出錯，尤其是那種不易感知的“小錯”。無論“大錯”還是“小錯”，在嚴謹的寫作者眼裏都是錯誤。比如説，我在國內學者的文章中見過正確的拉丁文“et al.”（意指“等等人”）的每一種錯誤的寫法：et al，et. al.，et. al。因此只有下面的寫法是對的：The book by Carson et al. is regarded as the authoritative text on the topic。列出多於一人時，可以這樣寫：The article by Jones, Perez, et al. is well-known, but the one by Jones, Lee, et al. has been more widely cited。注意etc.指的是“等等事物”，不可與et al. 混用。

後面帶有點號的拉丁語詞或英語縮寫，當它出現在句子的最後時，一般省去表示句子結束的點號以免重複，如We refer the reader to the work of Li et al. 對於“i.e.”（即）和“e.g.”（例如），它們的前後通常加上逗號，如The claim is thus proved, i.e., the function is the difference of two increasing ones和See, e.g., the monograph [4] for more details.

在數學文章裏，應該避免將數學符號寫在句子的開頭，並且在兩個數學表達式之間放上至少一個英文詞。例如，句子h is an increasing function 可以改寫為The function h is increasing，句子From formula (1) , x = 1, g(s) < 0 for some s可以寫成From formula (1) we have x = 1 and g(s) < 0 for some s或We have x = 1 from formula (1). The inequality g(s) < 0 is valid for some s。

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在簡單介紹文章各個部分寫作基本要素及其他注意事項後，我想通過舉例的形式來對症下藥地修改一些寫得有缺點的英文。下面的例子有的來自雜誌編輯請我審核的投稿，有的來自學術界同行或朋友們撰寫的文章初稿。

1. The total methods of accomplishing the task is這裏主語methods是複數，而謂語is卻是單數，並且total 與methods搭配不當。改為The total number of the methods of accomplishing the task is。

2. The product of consecutive m positive integers is divisible by m!. 這裏雖然沒有語法問題，但將表示數量的字母m寫在形容詞consecutive的後面是不規範的，所以改為The product of m consecutive integers is divisible by m!.

50. It follows f(c) > g(c), contradiction. 當用it follows時，後面要加that，另外可數名詞contradiction前要加a。改為It follows that f(c) > g(c), a contradiction. 也可以寫成It follows that f(c) > g(c), which is a contradiction.

關於數學英文寫作的注意之處，如上我給出了一些具體意見。通過閲讀佳作，動手練習，寫作能力會不斷提高，交流數學、投稿雜誌也會感到越來越自信。總之，數學研究與文章寫作是相輔相成的，它們隨着當事人的努力，攜手共進、相得益彰。

寫於美國哈蒂斯堡居所夏日山莊

本文經授權摘自《數學科學與技術研究論文寫作：案例與方法》（上海大學出版社，2022年1月）。

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