黑體輻射公式的多種推導及其在近代物理構建中的意義(五)_風聞

黑體輻射是近代物理史上一隻會下金蛋的鵝，是近代物理的搖籃。黑體輻射研究的意義還在於這是唯一一個涉及c, k, h三個普適常數的物理情景。黑體輻射譜抗測量誤差的特性帶來了輻射標準和絕對温度參照，譜分佈公式對模型的不敏感則使得黑體輻射成為獨特的物理研究母題。黑體輻射譜分佈公式，普朗克多角度推導過，德拜推導過，艾倫菲斯特推導過，勞厄推導過，洛倫茲和龐加萊深入討論過，泡利推導過，玻色推導過，愛因斯坦在20多年的時間裏多角度推導過且產出最為豐碩，近代還有從相對論角度的推導，每一個角度的推導都帶來了物理學的新內容，這包括量子力學、固體量子論、受激輻射、量子統計、相對論統計，等等。認真回顧黑體輻射研究的歷史細節，考察其中的思想概念演化。不啻於體驗一次教科書式的學（做）物理之旅，比如也可以嘗試給出能量局域分立化的簡單新證明。

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

黑，真他媽的黑啊！

——劉慈欣《三體》

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黑體輻射與相對論

黑體輻射的學問從一開始就是相對論統計，因為它的對象是光。實際上，1905年狹義相對論甫一問世，普朗克即將之用於在相對論熱力學方向上培養博士，且於1906年即畢業了[Kurd von Mosengeil, Theorie der stationären Strahlung in einem gleichförmig bewegten Hohlraum（勻速運動空腔內靜態輻射的理論）, Annalen der Physik 22, 867-904 (1907)]。熱的傳導方式之一是熱輻射，黑體輻射也叫熱輻射，因此用相對論的眼光看熱力學是自然的。沒有relativistic thermodynamics一章的熱力學教程是不完備的。粗略算來，相對論熱力學應該至少包括如下三方面的內容：1)黑體輻射公式的推導；2)運動空腔輻射體的運動學問題，這指向質能關係；3)温度T的洛倫茲變換。

研究運動物體熱輻射的主角當推奧地利物理學家哈森諾爾（Friedrich Hasenöhrl，1874-1915）。哈森諾爾是維也納大學畢業的物理天才，英年早逝，一生中培養過兩個博士，其中之一是薛定諤。哈森諾爾在1904年即研究運動物體的輻射理論，發表過系列論文。在Mosengeil 1907年文章後面的791-792頁上有Hasenöhrl的題為Zur Theorie der stationären Strahlung in einem gleichförmig bewegten Hohlraume[17]的點評。哈森諾爾指出，die (wahre) relative Strahlung das Lambertsche Kosinus gesetz befolge（遵循Lambert cosine-律的相對運動的輻射），是我覺得唯一同熱力學契合的假設。Mosengeil的工作表明另一個假設也是可能的。此外，亞布拉罕（Max Abraham，1875-1922）也有自己的關於運動空腔輻射的理論。這些信息可以作為研究此一問題的起點。

哈森諾爾以及普朗克等人的關於空腔輻射和熱力學的論文有：

1. Friedrich Hasenöhrl, Zur Theorie der Strahlung bewegter Körper, Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Klasse der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien 113 IIa, 1039(1904). 有英文本On the Theory of Radiation of Moving Bodies.

2. Friedrich Hasenöhrl, Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern, Annalen der Physik 15, 344-370 (1904). 有英文本On the Theory of Radiation in Moving Bodies.

3. Friedrich Hasenöhrl, Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern. Berichtigung, Annalen der Physik 16, 589-592 (1905). 有英文本On the Theory of Radiation in Moving Bodies. 有勘誤.

4. Friedrich Hasenöhrl, Zur Thermodynamik bewegter Systeme and Zur Thermodynamik bewegter Systeme (Fortsetzung) (1907-1908), Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Klasse der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien. 116 IIa (9): 1391-1405 (1907); 117 IIa (2): 207-215 (1908). 有英文本On the Thermodynamics of Moving Systems.

5. Kurd von Mosengeil, Theorie der stationären Strahlung in einem gleichförmich bewegten Hohlraum,Annalen der Physik 327(5), 867-904(1907).

6. Max Planck, On the Dynamics of Moving Systems, Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften, Berlin. Erster. Halbband (29), 542-570(1907).

7. Max Planck, Notes on the Principle of Action and Reaction in General Dynamics, Physikalische Zeitschrift 9(23), 828-830(1908).

8. Max Planck, General Dynamics & Principle of Relativity, Eight lectures on theoretical physics, Columbia University Press (1915).

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渾身都是物理的普朗克譜分佈公式

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光是局域量子化存在的新簡單論證

一個物理理論是否正確，首先要經受住邏輯判斷的考驗。一個存在內在邏輯矛盾的理論肯定是不正確的。物理史上有一個絕妙的例子，就是落體實驗。從前亞里斯多德的物理學主張在地面上重的物體下落較快。傳説中伽利略曾經從比薩斜塔拋下兩個鐵球，證明了不同重量物體同步下落（圖27）。後世有許多所謂或真或假的落體實驗，比如比較震撼的俺也不知道真假的月球表面的錘子與羽毛同步下落的視頻。不管這些實驗是真是假，實驗都無力證明“引力場中物體同步下落”（同步與否是個原則性問題而不是測量誤差問題）。且不説永遠沒有令人信服的同步開始下落以及到達落點的判定等問題，即便一切無礙，設測得的

圖27. 傳説中的比薩斜塔上的落體實驗。

黑體輻射的普朗克公式以及能量量子概念的出現，更加激起人們理解光的本性的興趣。以普朗克公式為出發點，那對輻射的構成（Konstitution der Strahlung）能推知點兒什麼呢？在這一點上，愛因斯坦又做到了直擊問題的本質，他1905年到1909年的論文都強調黑體輻射問題必然牽扯到光的吸收與發射的問題。根據愛因斯坦1909年得到的關於黑體輻射場漲落的結果，漲落由兩項之和構成，其中一項來自輻射的粒子性，另一項來自輻射的波動性。很多年前，筆者隱約意識到光的波粒二象性更應該看作是高頻時光表現為粒子，而在低頻時更多地表現為波。如今從愛因斯坦的黑體輻射場漲落公式來看，瞬間就合理了。

受此啓發，筆者於2021年10月20日想到關於波粒二象性，也許還可以作如下詮釋：自點光源出發的輻射，在近處（能量）密度大時，波動性明顯，到遠處密度變得稀疏時，粒子性明顯。這是筆者對波粒二象性的一個詮釋，即便有錯也令人鼓舞。與此相應，在《科學的價值》一書裏龐加萊曾論及數學的物理目的與美學目的，他認為我們不可犧牲任何一個。這兩個目的是不可分的，達成其一的最佳辦法是瞄準另一個，至少絕不可讓另一個逸出視野（ces deux buts sont inséparables et le Meilleur moyen d’attendre l’un c’est de viser de l’autre, ou du moins de ne jamais le perdre de vue）。龐加萊如是説。而這，愚以為是對光的波粒二象性的一個貼切的表述。

上述論證基於一個簡單的事實，輻射有個發射的過程。太陽的升起，讓我們知道光有關個發射的過程，這個説法未必正確，但是我們人類自己操控的柴火、電燈讓我們確信光有個發射的過程，有一個從無到有的過程。上述論證還是用了球波（spherical wave，不是球面波）的概念。從一個光源連續發出的光充滿以源為中心、半徑為cτ的球形空間。在三維物理空間中，點源發出的輻射，假設在近處可以用波近似的話，是球波。如果用平面波想象一束光，平面波的假象則會限制這個想法，因為平面波沒有無限延展變稀薄的問題。筆者想通這一點，來自福格特（Woldmar Voigt，1850-1919）對愛因斯坦1909年論文點評的啓發。三維空間的平面波，從字面上看就是個降維產物。平面波是個很壞的模型，極具誤導性。

註釋

[17] Hohlraume，原文如此

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