專訪朱歆文：從幾何表示論到朗蘭茲_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2022-04-14 10:15
第29屆國際數學家大會將於2022年7月舉行，6位北京大學數學學科教師：鄂維南、朱小華、章志飛、董彬、劉毅、丁劍受邀成為報告人，其中鄂維南院士將作一小時報告。另有7位北大校友將作45分鐘報告，他們分別是：李馳、劉鋼、汪璐、王國禎、徐宙利、周鑫、朱歆文。
採寫 | 白瑞祺、陳澤坤、姜傑東
朱歆文，2004年本科畢業於北京大學數學科學學院，2009年獲美國加州大學伯克利分校數學博士學位。2009年至2014年先後任美國哈佛大學、美國西北大學助理教授。2014年開始擔任美國加州理工學院數學系副教授，2016年至今任教授。朱歆文主要致力於幾何表示理論的研究，尤其幾何朗蘭茲綱領方面。他研究了環路羣的旗流形的幾何和拓撲性質，並把幾何朗蘭茲綱領理論應用到算術代數幾何領域，取得了重要成果。獲2013至2014年度美國數學學會百年紀念獎學金，2020年度科學突破獎——數學新視野獎。
Q：祝賀您受邀在2022年ICM上作45分鐘報告。您準備講什麼呢？
A：具體講什麼，我現在也還沒想好。現在工作還有些進展，不知道到時候會進展到什麼程度。但是大概的方向應該是幾何朗蘭茲和經典的朗蘭茲對應，還有一些算術幾何中的應用。
Q：您博士時的研究方向更接近於表示論，您是怎樣一步步從最開始的表示論特別是幾何朗蘭茲，聯繫到現在的算術代數幾何特別是經典朗蘭茲上來的?
A：對，我博士時基本上學的就是幾何表示論，而幾何朗蘭茲是其中一部分。研究方向的轉變也不是一下子就轉過來的。博士後期間，我發現自己博士期間寫的第一篇文章“Affine Demazure modules and T-fixed point subschemes in the affine Grassmannian”中的一些方法可以用來解決一些算術幾何學家提的問題，具體來説就是Pappas-Rapoport的一個猜想。他們的動機來自於志村簇的研究，但是這個問題本身其實可以脱離志村簇，更多的是一些代數幾何方面的問題。正好我就發現我寫的這篇文章的一些技術可以用來解決這個猜想，順便我就學了一下什麼叫志村簇。所以説，學習一個概念或一套理論的最好時機就是你需要在研究中使用這個東西的時候，並且即學即用就會發現，其實這個東西也沒有那麼高深。解決猜想之後就把關於志村簇的一些代數幾何，所謂的叫做局部模型（local model），大大推進了一步。
再往後是跟肖梁合作了，正好他之前和田一超做了一些關於四元數志村簇的Tate猜想和一些幾何結果，這個東西有些地方和幾何朗蘭茲裏面一些函數域上的模空間，比如shtuka之類的，有些相像。正好大概那個時候V.Lafforgue做了一個突破，把函數域的朗蘭茲大大地推進了。後來我就意識到，幾何朗蘭茲的方法可以用來研究志村簇上面的這些Tate猜想、Jacquet-Langlands對應之類的，一大套東西都可以做。因為以前幾何朗蘭茲都是研究函數域，即等特徵上面的一些幾何,為了應用到志村簇上面，必須要發展一些混特徵的東西。所以那時候我就寫了“Affine Grassmannians and the geometric Satake in mixed characteristic”，相當於是要建立一些基本的工具，這樣就可以真正把幾何朗蘭茲的一些結果或者方法用到算術幾何上面。之後我們系統地構造成了這種不同羣之間的Jacquet-Langlands對應，還有模p志村簇上的generic情形下的Tate猜想。再然後就是應用到“Beilinson-Bloch-Kato conjecture for Rankin-Selberg motives”這篇文章上。
後來我自己又理解了這個工作背後更深層的現象，所以有了去年8月份的一篇文章，“Coherent sheaves on the stack of Langlands parameters”。這個文章系統地做了一個框架，提出了很多經典朗蘭茲裏面的猜想。當然這個文章自己並沒有證明什麼很大的定理，就是一些基礎的構造，比如構造了伽羅華表示模空間、朗蘭茲參數模空間這種東西。但是主要是提了一些猜想，我想是把以前那些算術朗蘭茲裏面的很多問題和現象統一起來了，比如説它跟Taylor-Wiles的模性定理關係很緊密，所以現在正在和M.Emerton及T.Gee考慮，我描述的這些猜想是不是可以用來證明更多類似模性提升的問題。
Q：為什麼要研究志村簇的局部模型？是要把它變成完美狀（perfectoid）嗎？有沒有純粹整體的方法去做它？
A：這個東西最早是為了研究志村簇的一些幾何吧，特別是研究鄰近圈（nearby cycle），進而來計算一些志村簇的上同調。鄰近圈這個概念最早是從拓撲上來的，後來代數幾何把它抽象成一種層論的語言。這個層長什麼樣是跟這個簇的奇性有關的，所以局部模型主要是通過研究奇性，來研究鄰近圈。這個理論大概90年代就有了，跟完美狀空間沒有關係的，完美狀空間是2010年以後的東西。
當然人們剛開始的研究用的都是比較“原始”的方法吧。志村簇的幾何很複雜，人們把它轉換成更純粹的交換代數或者線性代數問題去研究它，所以能做的東西剛開始就很有限，而且可能要逐個情形討論。後來就是剛才提到的，因為我做幾何表示論，就發現可以引入一些更表示論或者説更代數幾何的方法，直接系統地研究志村簇的這些奇性。
這個故事比較有意思的是，志村簇上鄰近圈應該長什麼樣，最早是Kottwitz在90年代提的一個猜想。這個猜想在當時很困難，但卻正好激發了幾何朗蘭茲的一些發展，特別是Gaitsgory在2001年的文章用鄰近圈來構造一些伯恩斯坦中心裏的元素。所以整個過程最早是受Kottwitz猜想的帶動，進而在幾何朗蘭茲裏面一些強有力的技術發展之後，最終能系統地把鄰近圈都算出來。然後我把這些幾何朗蘭茲的技術，比如説我早期關於Pappas-Rapoport猜想的這些工作，又用回到鄰近圈的計算上，可以把很一般的帶有所謂拋物巖堀級（parahoric level）的志村簇的情形都算出來。
其實整個學科的圖景也是類似的。最早朗蘭茲綱領是上個世紀六十年代Langlands提出來的，然後到八十年代Drinfeld和Laumon提出了幾何朗蘭茲，當然剛開始的動力都是經典的朗蘭茲，即提出和解決在函數域或者黎曼曲面的情形下的一些類似問題。但後來它就慢慢開始獨立發展一些新的方法和工具，大致從八十年代一直到2010年這二三十年，它就發展得比較獨立，更多的是跟代數幾何甚至數學物理發生聯繫了，跟數論的聯繫或者説跟經典朗蘭茲的聯繫就越來越遠，以至於我在學生時感覺好像這是兩個不同的學科。所以你們剛才採訪時才會問：我最開始做表示論的，怎麼和數論還有這些東西拉上關係了？這個學科雖然剛開始受經典朗蘭茲影響，但後來慢慢獨立發展，它又從其他學科吸收營養，比如數學物理什麼的，發展了很多工具，最後人們發現這些東西又可以回來反哺最初的經典朗蘭茲。我覺得不誇張地説，現在越來越多的做經典朗蘭茲的數學家也是在學習幾何表示論裏出來的方法。
從更宏大的角度來説，似乎數學和物理的發展也是這樣的。最早數學和物理是相互影響、共同發展的；到20世紀中期，它們就越隔越遠，完全就不一樣了；而到後來20世紀末，數學和物理基本上又連到一塊了。所以學科的發展還是蠻奇妙的，“分久必合，合久必分”。
Q：剛才提到“一般的”志村簇，所以是有多“一般”呢？比如是阿貝爾型的還是霍奇型的？
A：這個要看做什麼問題。比如我和肖梁那個工作，就是一般阿貝爾型都可以造Jacquet-Langlands上同調對應，還可以證Tate猜想。但是比如説我和劉若川的工作就不光是阿貝爾型，我們對所有的志村簇都證明了上面那些p-進局部系在p-進霍奇理論的意義下都是德-拉姆的。對，不光阿貝爾型，也就是對沒有模問題的志村簇也可以證。所以説，近十幾年p-進霍奇理論的發展，還是使得一些以前不能做的事情，現在都可以做了，以前可能問都不能問的問題，現在也可以問了。應該説近十幾年算術代數幾何發展得還是蠻迅速的，當然其中Peter Scholze起了很大作用。
Q：我們注意到arXiv上您有很多文章都是和多人合作的，比如説（2021年）八月貼出來的五個人的文章。那你們是怎麼開始合作的？我們理解是您在某些方面會有自己的技術，然後別人在處理一個問題的時候，就可以找您，把您的那一部分技術用過去，是這樣的一種模式麼？
A：現在大概一大半是合作的文章。2021年八月份的那一篇就是劉一峯、田一超、肖梁、張偉和我合作的。這個文章其實是以前我們那篇文章的一個附錄，把它重新給分離出來。因為以前那個文章太長了，審稿人建議把這個獨立出來，因為它是一個比較獨立的部分。
合作有各種各樣的模式。現在的數學可能是合作越來越多了，因為越來越精細化，越來越廣，要求的知識越來越多，大家各有專攻，有時候要把各種不同的東西放在一起才能做出來。但其實也不見得，如果要解決一個真的是很困難的問題，可能還是自己工作要好一點。當然也看是什麼問題了。
Q：是不是數論的論文一般比較偏長？怎麼去判斷一篇文章的長度合適不合適呢？
A：我覺得論文的長度沒有存在合適或不合適，就是説你把一個問題該寫的推理都寫完整，自然而然該多長就多長。但是確實像數論、算術代數幾何這個領域的文章比其他方向的要長不少。
這還是跟學科的特點有關，但跟學科的高低沒有關係。有的學科一篇文章就是一個想法、一個技巧就把一個問題證出來了，大概就幾頁紙。但是像數論或者算術代數幾何，因為它在20世紀發展出的體系特別龐大，需要準備的知識又特別的多，比如説以前Grothendieck寫了幾千頁的文章發展代數幾何的基礎，還有近些年所謂的導出代數幾何這個方向，一個美國數學家叫Jacob Lurie，又寫了幾千頁上萬頁了。它的特點就是經常一個問題需要發展一整套證明工具，所以就顯得特別的長。相反有的學科就沒有那麼多工具性、體系性的東西，可能更多的是技巧性。但我並不是説數論、代數幾何就難，因為有時候如果沒有一個特別好的體系，你要“無中生有”地想到一個技巧，這種也是挺難的。相反呢，因為數論或者算術代數幾何有一個很大的體系，固然中間也有很多技巧，但更多時候你知道有一個大概的方向，或者它有些指導性原則，所以你可以沿着這個方向往前走，總是沒錯的，只是能推進多少就説不好了。
Q：您現在在Caltech任教，您覺得這所學校有什麼吸引您的地方？或者説相較於別的學校，您覺得Caltech有什麼好的地方，為什麼選擇這裏呢？您來到這以後覺得這裏環境怎麼樣？比如説研究氣氛，或者是校園環境。
A：Caltech當然還是一個很好的地方，很好的學校。Caltech在洛杉磯嘛，在美國來説，南加州其實也是比較適合中國人居住的地方。然後我找工作的時候正好這有職位，所以我就來了。Caltech跟一般大學不一樣，它很小，全校的本科生只有900多人，規模也許跟北大數學學院的在校本科生差不多，是很傳統的一個小而精的大學。但是Caltech學術上在美國是非常厲害的，從成果量來説，雖然（與那些綜合性的大校相比）絕對數量是少，但如果是按師生比例產出的諾貝爾獎什麼的，應該在美國是最高的。我想Caltech全校的學生加上研究生大概就2000人，教職工大概有300個，所以這種小而精的私立學校，學校資源還是蠻豐富的。
但當然一個問題就是學校小的話，你自己做科研就需要有很強的動力。像北大的數學博士一年可能有七八十個，像Caltech一年的（數學）博士，大概只有5到7個人。在這裏讀書的話，就需要有很強的自我的調控，譬如説不會有這麼多人跟你一起討論，如果你沒有很強的自律，或者説沒有很強的決心的話，有可能會覺得比較孤單。
這邊的一個好處就是比較安靜，如果你有很強的動力的話，你可以踏踏實實地做學術，這是小而精的大學的好處。反正這種東西主要還是看個人的習慣：有的人就喜歡熱鬧的地方，每天從早到晚各種各樣的報告；可能有的人就喜歡安靜一點，不用去聽那麼多報告或者討論班。反正我個人覺得像我自己一週能聽一兩個報告已經非常多了，因為如果信息太多了，對我來説就會很難處理。
Q：最後一個問題：本世紀以來，越來越多的華人數學家受邀做報告。在您讀本科期間，北京舉辦了2002年的國際數學家大會；如今，您受邀成為2022年國際數學家大會報告人。作為中國數學發展的見證者和參與者，您覺得未來中國數學家會在國際舞台上扮演怎樣的角色？
A：中國數學這些年發展不管從哪個方面而言肯定是越來越好了。我想第一點就是，像我們那會兒讀書的時候，眼界還是很狹窄，像幾何表示論都是我讀研究生之後才知道有這麼一個學科，之前聽都沒聽説過。現在你們在國內比我們那時候能接觸到的信息好太多了，現在隨時有很多學者可以回來講學、辦討論班、講課什麼的，所以在這方面大家的起點肯定是越來越高。中國現在慢慢培養出來了一大批人才，從數學家的數量和平均水平來説我覺得比20年前提高了很多，可以説是成長起了一批國際數學界的中堅力量。我相信像你們將來肯定會越來越好，會佔據越來越重要的地位。
但是開創性的人物，我感覺我們還是少了一點。當然我覺得我們有一些數學家在各自領域也屬於是引領發展的角色了，但是説引領一個領域和真正開創一個領域，中間還是有一定差距。從最近二十年來看，我們的厚度現在是不錯，但像陳省身這樣開創一個領域的大數學家還沒有。天才一般很難是培養出來的，但是中國人口基數這麼大，肯定是有，主要是要能發掘出來，然後給他們提供好的環境。目前來看，就希望你們下一代能夠出現這種開創一個大場面的人物。
本文經授權轉載自微信公眾號“北京國際數學研究中心BICMR”，原文題目為《從幾何表示論到朗蘭茲 | 專訪ICM2022受邀報告人朱歆文校友》。
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