統計物理中的一道百年小謎題及其破解_風聞

新理論不僅能給出實驗已經確立的結果，還能預言新的結果，而這一結果在物理上之合理之巧妙，只能歸結於大自然的安排。

撰文 | 劉全慧（理論物理博士，湖南大學物理與微電子科學學院教授）

物理難題和數學難題有一個很大的不同，世紀“高齡”的數學難題屢見不鮮，例如，費馬大定理從提出到證明相隔了358年；哥德巴赫猜想已經280年。有趣的是，數學的難題，每解決一個就相當於殺掉了下金蛋的鵝。物理學中也有百年難題，每解決一次就相當於發現了一隻下金蛋的鵝。這些問題小到冰面為什麼打滑，大到宇宙的結構及其演化；複雜如氣候變遷，具體如飛鴿回巢，等等。本文的有限尺寸效應難題，寫在物理教材裏，歷史上不斷有研究論文發表，是一個介乎數學和物理之間的小難題。

一

有限尺寸效應難題

在所有的統計分佈中，求最概然的一個，是統計學的入門知識。不過，統計學關心大量的樣本。稀罕的事例，不在統計學的範疇內。統計物理也求最概然分佈，但是，一個系統常常會和熱庫、粒子庫接觸，系統中就可能只有一個粒子。換言之，在統計物理中，即使出現一個粒子，也會出現分佈。單原子熱機是近些年的一個研究熱點，處理的就是隻有一個粒子的統計分佈。通常的熱力學處理的是大量粒子的系統，數學上處理為無限多個粒子，同時系統體積也要取為無限大，而粒子數的密度不變，就是所謂的熱力學極限。在熱力學極限的另外一極，就是小系統，或者少粒子系統，或者有限尺寸系統。這裏會出現的新效應，可以稱之為有限尺寸效應，或者少粒子效應。

但是，超過一個半世紀的時間裏，數以十萬計的統計物理的學者們，求最概然分佈，一直被如下問題所困擾：相關理論的適用性要求粒子數很大，只有滿足這一條件才能藉助成熟的數學工具給出統計分佈。當然，當粒子數很大的時候，這些結果也都是正確的，受到了實驗的嚴格檢驗。那麼，當粒子數很少的時候，有無分佈? 分佈的形式如何？數學上，這一問題歸結於如何處理一個變量x連乘積x!的對數lnx!及其微積分，其中變量x可以理解為粒子數，x=0,1,2,…。例如x在1和10之間，就是所謂的少粒子系統。

在統計物理中，常常使用lnx!的如下斯特林公式，lnx！≈xlnx-x。這一公式在x的取值非常大的時候，精度非常之高。但當x較小的時候，例如x在1和10之間取值時，這個公式的精度非常差。但是，在物理上，只能這樣取，多一項少一項都不行！關鍵的原因在於，惟其如此，才能保證一個熱力學系統的熵的廣延性。如果利用更為精確的近似，必然破壞廣延性。換言之，精確的斯特林公式，給出的最後的結果如果是正確的，應該是所謂的少粒子效應或者有限尺寸效應，不過大概率是錯誤的。

當x為粒子個數的時候，lnx!是天生的離散函數。使用近似公式lnx!≈xlnx-x的一個重要目的在於把lnx!變成連續函數進行微積分運算。但是，當x較小的時候，把lnx!處理為連續函數的精度非常差，只能處理為離散函數，這個時候，lnx!的微分dlnx!應該用差分Δlnx!來代替。可是差分Δlnx!的定義非常多，例如，前一步差分Δlnx!= ln(x+1)!- lnx!=ln(x+1), 後一步差分Δlnx!= ln(x)!- ln(x-1)!=ln(x)，前兩步差分，後兩步差分，…，中心差分，偏心差分，…等等。定義如此之多，給出的物理結果互不相同，選擇其中的任意一個相當於引進了新的假設，即使這樣，給出的結果大概率也是靠不住的。

因此，統計物理出現lnx!的時候，在兩個地方需要進行嚴格的處理，一個是lnx!精確的表達式，第二是嚴格的離散微積分。

二

尋找最穩定的解

尋求函數lnx!的斯特林公式精確表達，物理學家玩不過數學家。把數學家發現的結果搬運過來就是。所以，問題不在是否使用精確的斯特林公式。問題必然出現在函數差分上。經過了很多次探索和失敗之後，我們終於發現有一條狹窄但是巧妙的解決這一問題的途徑[1]，而且根本不需要用到斯特林公式。

統計物理中求最概然分佈，可以理解為一個求變分的過程，走在正確的道路上，一定會碰到一些 “妖魔鬼怪”。下面通過一個簡單的例子來説明。

因此，後差解更加穩定。給一個合理的説法，來自數學或者物理都行，只要能挑出後差解就行了。

極少數研究人員會走到這裏，然後通過一個新的物理原則，把最穩定的解作為真實的解，把不真實的解剔除。

可是，即使到了這裏，還沒有從根本上解決物理問題。

三

一點數學新花樣：異步差分

經過一點運算，新理論給出的結果分為三部分。第一部分，粒子數很大的時候，結果完全回覆到傳統的結果。這部分結果經受了實驗的反覆檢驗，如果新理論不能給出相同的結果，理論肯定錯了。第二部分，如果系統內只有兩個粒子，例如玻色子或者費米子，原來的分佈繼續有效。這一點，似乎傳統統計物理中的巨正則分佈提示過這個結果。但是，提示不等於確立。巨正則分佈給出的結果，是否適合於只有一兩個粒子的系統，統計物理本身給不出判斷。第三部分，如果系統內只有一個粒子，新理論認為，粒子的量子性突然消失，所有的粒子都遵守同樣的統計，即玻爾茲曼統計。這一個結果，是理論首先給出了結果，後來才理解。關於這一點，不妨多説幾句。

兩個粒子是費米子或者玻色子，量子力學認為是系統狀態滿足交換對稱性的一種後果；而量子場論認為，自旋和統計之間有簡單的一一對應的關係。根據新的理論，如果系統中原本有兩個玻色子，滿足玻色分佈。突然取走其中的一個，問，剩下的一個還是玻色子嗎? 量子力學認為，由於這個玻色子不能和其它粒子進行交換，再説這個粒子是玻色子或者不是，已經失去意義。就在這裏，新理論進一步預言，這個粒子應該滿足玻爾茲曼統計。這個結果一度使我非常焦慮，後來突然理解了，這才是大自然的巧妙且必然的安排。只有一個粒子的時候，整個系統可以作為定域區域，這個粒子就是定域粒子，當然只能滿足玻爾茲曼統計。因此，新理論預言，隨着粒子從兩個變為一個，出現兩個統計之間的躍變，這個時候一定會出現新的熱量交換。因此，文章[1]進行了如下暢想：新理論能提供實驗可以檢驗的結果。

四

小 結

很明顯，這裏涉及的有限尺寸效應問題之所以困難，是因為沒有恰當的數學工具。我是被物理感覺所指引，覺得大概應該有一個什麼長相的物理結果，然後倒逼數學，發現只有引入異步差分才能解決問題。也許，在數學上有人在其它領域提出過異步差分的思想，但是從來沒有引進到物理學中來。

異步差分似乎突破了數學的陳規，卻依然在數學的框架內。異步差分就在我們身邊，距離只有一層薄紙。新理論不僅能給出實驗已經確立的結果，還能預言新的結果，而這一結果在物理上之合理之巧妙，只能歸結於大自然的安排。

後 記

一輩子寫文章，很多文章寫着寫着就忘記了。投稿之後，也不知道投到了哪個刊物。甚至有篇不錯的文章，因為一審已經通過但是沒有能及時回覆而被退稿了。這篇文章[1]不同，是我二十餘年講授“熱力學與統計物理”課程的之後給自己的一個交代，也是2020年6月份起，華盛頓大學錢紘教授召集國際納米熱力學研討會 (International Seminar Nanothermodynamica series) 以來，我下決心要交付的一篇作業。文章在“五·四”青年節正式刊行，正值納米熱力學研討會兩週年之際，祝願研討會常研常青。物理學年刊 (Annals of Physics) 的編輯迫不及待發表這篇文章，也説明這篇論文有所原創。但是，之前不斷的拒稿，弄得我有點氣急敗壞，不但把論文的第一句改寫成一句廣告：“本文旨在解決統計物理中一個歷史很長的基礎性難題”，還迫不及待地到2020-2021年中國物理學秋季年會上做了一場報告進行推廣。論文接收後，居然還有點不敢相信；校完樣，還特地買了一盆花來紀念下自己；文章發表了，還要寫這篇文章來吹噓一下。

學術乃天下公器，誠摯期待各位專家、老師、朋友批評指正。

參考文獻

[1] Q. H. Liu，Asynchronous finite differences in most probable distribution with finite numbers of particles，Annals of Physics，Vol. 441, June 2022, 168884. https://doi.org/10.1016/j.aop.2022.168884

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