計算流體力學的“三國演義”_風聞

東漢末年，時代動盪不安，從黃巾起義開始，各地豪強紛紛揭竿而起，一時間諸侯割據，互相攻伐兼併，一度形成了魏、蜀、吳三足鼎立之勢。

反觀流體力學，自1845年N-S方程問世以後，流體江湖的大佬不斷湧現，雷諾率先將N-S方程中的速度拆解成時均項和脈動項，吸引了無數的追隨者，從而開啓了流體力學百年的RANS時代。近四十年來，以RANS為基礎的有限體積法羽翼逐漸豐滿，在與有限差分、有限元等數值方法的割據混戰中逐漸勝出，併成為CFD江湖中最強大的勢力。

不過天下大事，分久必合，合久必分。

撰文 | 盧比與鋼蛋

01 魏武揮鞭從何起？

時光荏苒，從1895年雷諾提出雷諾平均的N-S方程到20世紀90年代初，歷經百年滄桑的RANS方法一路跌跌撞撞，從學術圈闖蕩到了工程界。其中貢獻最大的莫過於美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室 (Los Alamos National Laboratory) T-3 流體力學研究小組和倫敦帝國理工學院 (Imperial College London) D. B. Spalding 教授的科研團隊，他們的研究成果奠定了湍流模型、數值格式以及求解方法等CFD的重要基石，從而將RANS方法正式推向了工程應用。今天市面上絕大部分的商用CFD工具都可以溯源到這兩個單位的成員或研究成果。

儘管有眾多學術大佬的背書和站台，可是追求實用的工程界對於早期的CFD軟件完全不買賬。畢竟工程界的要求與學術研究完全不同，對於工程師來説，“簡單、好用、穩定、算得準”才是一個好的工具。

機會在20世紀90年代逐漸來臨，那段時間的全球科技彷彿開了掛一般，傳統工業和計算機硬件發生了天翻地覆的變化，而許多CFD軟件也在數學方法和物理模型上取得了長足的進步。硬件方面的進步使得工業界的用户開始嘗試使用高性能計算集羣 (HPC)；而另外一方面，基於非結構化網格的有限體積法、多重網格法以及滑移網格等適用於複雜幾何計算的數值方法開始進入大眾的視野。

當然，CFD軟件本身在界面友好性和魯棒性上也有了大幅的改善。這些進步使得終端用户對於CFD軟件的態度開始發生變化，而不斷加速產品迭代的傳統工業領域也急需更加先進高效的仿真工具助力產品的研發。

也許是科技進步促使了傳統工業和CFD軟件找到了越來越多的結合點，雙方開始不斷的求同存異。到了本世紀初，CFD軟件在工業領域已經全面鋪開。甚至有一些CFD軟件公司開始專注在某一類特定的工業領域，比如汽車空氣動力學、葉輪機械設計、電子散熱等等，並搭建了自動化仿真流程，將設計、仿真和優化結合起來，打造一體化的集成平台。基於RANS和有限體積法的CFD軟件在各行各業都大顯身手，率先迎來了自己的時代。

02 老驥伏櫪，可有餘力？

隨着時間的推移，CFD方法和工業應用的結合越來越緊密，已經深度融入許多產品的設計流程中。然而傳統的CFD是基於場域的有限體積法，需要用户先根據計算場景將計算域抽取出來，再劃分流場的網格。當模型複雜的時候，用户便不得不簡化許多模型的幾何細節。

通常情況下，一輛整車的外流場網格需要一名熟練的建模工程師花費2-3周的時間才能完成，勞心又勞力。另外，流動本質上就是瞬態的，而傳統CFD基於雷諾平均的N-S方程，從源頭上就忽略了對非定常湍流信息的模擬，轉而尋求平均意義下的流動結果，因此RANS方法面對強瞬態的問題時便顯得捉襟見肘。

而隨着全民CFD時代的到來，偶像劇裏都開始出現CFD計算了，再加上某些軟件廠商號稱“模擬全宇宙”的推波助瀾，簡直是把各位終端用户逼到了牆角。無論實際工程上碰到什麼難題，領導都會説一聲，“那個誰，小王，你們CFD團隊把這個問題算一下看看。”

然而，很多實際工程問題涉及到的不僅僅是一個部件，可能是一個整機或者一個完整的系統，另外許多技術問題也不是單一的流動問題，而是包含流固，甚至是流、固、熱、聲、電磁等複雜的多物理場耦合問題。

基於N-S方程的傳統CFD方法雖然也在快速地進步，不斷加強前處理的自動化程度和瞬態計算的能力，但是刻在骨子裏的基因使得傳統CFD在面對複雜幾何運動和強瞬態問題時總顯得不夠那麼靈活。於是，另外兩種天然瞬態的CFD方法開始嶄露頭角。

03 本是中山靖王后人的LBM

在青梅煮酒的典故中，曹操嘲諷了一眾所謂的天下豪傑，而後對劉備言道：今天下英雄，唯使君與操耳。承蒙亂世梟雄曹操看得起，劉皇叔必有其過人之處。那麼在計算流體力學的三國中扮演玄德公的LBM，又是如何發展壯大的呢？

1940年代，美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室的斯坦尼斯拉夫·烏拉姆和馮·諾依曼提出了元胞自動機的概念，隨後在流體力學領域催生了格子氣自動機（LGA），這也是格子波爾茲曼方法（LBM）最早的雛形。隨後，又有學者從分子混沌的假設出發，用玻爾茲曼輸運方程代替了LGA的演化方程，叩開了格子波爾茲曼方法的大門。

實際上，起源於元胞自動機的LBM在正統的統計物理範疇下，也有着清晰的脈絡。19世紀中期，氣體動理論的主要奠基人克勞修斯（Clausius）、麥克斯韋（Maxwell）和玻爾茲曼（Boltzmann）三人引進了統計概念，將宏觀理論和微觀基礎聯繫了起來。1902年，Gibbs（吉布斯）把麥克斯韋和玻爾茲曼所創立的統計方法發展為系綜理論（Ensemble Theory），使原來僅適用於氣體的理論，推廣到氣體、液體和固體，並發展為今天的統計力學。

四位大佬的存在也坐實了LBM的皇家血統，不愧是中山靖王之後。LBM的正統推導過程大概可以表述為：針對玻爾茲曼輸運方程，首先使用BGK模型將碰撞算子線性化，然後在指定座標系下進行時空離散得出LBGK方程，最終對平衡態函數進行泰勒展開並略去高階項，即可得出LBM的控制方程以及各項參數。

相對於傳統CFD方法需要求解複雜的二階非線性的N-S方程，LBM求解的玻爾茲曼方程是簡單的線性方程，其數學處理要簡單的多。另外，LBM基於粒子的統計分佈在時域上顯示推進，在本質上與傳統CFD基於隱式迭代的歐拉法完全不同。

因此，LBM方法是天然瞬態可壓縮的計算方法，同時LBM所用的完全直角網格也不愧是CFDer夢寐以求的完美網格，不僅網格質量無可挑剔，而且可以全自動生成，極大的簡化了前處理的工作。同時，LBM非常適合大規模的CPU/GPU並行，在未來GPU大規模融入仿真計算的趨勢下，LBM給了人們更大的想象力。

相對於傳統CFD，LBM方法非常適合複雜幾何結構的瞬態空氣動力學和氣動噪聲的計算，而實際工程上，越來越多的航空和汽車廠商開始使用LBM方法進行相關的仿真分析，極大的填補了傳統CFD難以駕馭的仿真領域，而學術圈更是通過數學推導證明了LBM具有Beyond N-S方程的特質。學術和工程上的優勢就像守衞在LBM兩側的大將，幫助LBM不斷的開拓疆土，而LBM也開始具備了王者之氣。

04 特色鮮明的粒子法

建安十八年，曹操率領大軍進攻濡須口，與孫權相持一月有餘。曹操見孫權水軍嚴明整肅，不禁感嘆道：“生子當如孫仲謀”。作為被曹操感慨過的又一英豪，孫權的割據套路與曹操、劉備也有相當大的差異，並靠長江天險和強大的水軍贏得了自己的生存空間。

回到CFD方法，我們知道傳統工具是標準的歐拉場域的方法，而LBM固然是在時域上追蹤粒子的速度分佈函數，但是它仍然需要在計算之前劃分好固定的網格，因此更像是一種披着歐拉外衣的拉格朗日方法。顯然，面對工程界龐雜的應用範圍，世界還需要更純粹的拉格朗日方法去解決某些特定的問題。

最近十幾年，有一類標準的拉格朗日方法從不同行業滲透到了傳統工業界，它們之前在天體物理、電影特效等領域發揮着重要的作用。這一類軟件的主要特點就是無需畫網格，直接利用粒子代替流體，求解流場的運動。其中最有名的便是光滑粒子法（SPH），SPH是一種純拉格朗日的無網格粒子計算方法。最早由Gingold、Monaghan和Lucy於1977年提出，用於模擬三維空間的天體問題，之後被逐漸引入到工程應用領域。

SPH方法用一系列粒子表示整個流場，流場中某一點的屬性通過相鄰區域的屬性來描述，而它們兩者之間的關係通過核函數建立。因此，SPH在具體計算過程中一般分兩步，第一步是“核函數逼近”，將描述流場的函數近似表達為任意函數和核函數乘積的積分；第二步是“粒子逼近”，通過一系列粒子將流場離散化。

SPH通過一系列粒子表示整個流場，使得CFD計算的前處理得到極大的簡化。因為SPH方法無網格的特性，計算過程中的剛體運動或者幾何變形都能夠很輕鬆的駕馭。傳統CFD雖然也開始使用嵌套網格等動網格技術，但是面對複雜幾何運動或者大的幾何變形時，經常會出現網格畸變，導致計算的發散。因此，相對於傳統的RANS方法，SPH更加適用於強非線性的水動力水以及複雜的流固耦合問題。

在許多工程領域，比如齒輪箱攪油、整車涉水、淋雨等工況，SPH都有着不錯的表現，給人眼前一亮的感覺。但是隨着更加深入的工程驗證，SPH在計算精度上的缺陷也逐漸展現出來。SPH方法的壓力採用顯示求解，雖然計算速度很快，但由於數學計算缺乏一定的嚴謹性，其計算的壓力場不夠準確。

為了保留無網格方法的優勢，同時提高計算精度，學術圈又提出了半隱式運動粒子法（MPS）和有限體積粒子法（FVP），這兩種方法本質上是相似的，通過求解壓力泊松方程獲得更加準確的壓力場。類似的粒子法也開始融入新的CFD工具，並得到越來越多的關注。另外，粒子法和GPU的結合也實現了更高效的瞬態計算。相信在不久的將來，粒子法也會在CFD市場中贏取自己的領地，成為“三國演義”中不可或缺的力量。

05 浪花淘不盡英雄

CFD市場猶如滾滾東逝的長江之水綿延不絕，而基於N-S方程的有限體積法依然是當仁不讓的大哥。可是面對越來越複雜的工程問題，老大哥也不免露出了疲態，而天然瞬態的LBM和粒子法帶給了人們全新的視野，於是不同的物理方法憑藉着各自的技術優勢，在CFD的江湖大顯神通，演繹着“三國演義”般的歷史大戲。相信隨着技術的不斷革新，不同的物理方法也會不斷地進步，補足各自的短板，甚至相互融合，共同助力全新的工業革命。

本文經授權轉載自微信公眾號“LBM與流體力學”。

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