王浩：哥德爾思想概説_風聞

譯者按

本文選自王浩最後一本著作A Logical Journey—From Gödel to Philosophy (Cambridge: The MIT Press, 1996）的引言部分，有刪節，題目為譯者所加。

眾所周知，雖然Solomon Feferman等人編輯的哥德爾《文集》已經出版了4卷，但哥德爾大量的思想，尤其是哲學思想，至今還隱藏在書信和私人淡話中。王浩這本書的一個目的是整理他在70年代與哥德爾的談話，連貫一致地報道和解釋哥德爾的哲學觀點，另一個目的是利用這些材料闡述王浩自己的哲學信念。書中內容包括哥德爾的生平與思想發展，他對上帝和來生的玄思，他與王浩談話的背景與內容，他對於不同的哲學和哲學家的議淪，他證明心比腦和計算機優越的企圖，他關於哲學作為精確科學的設想，他對數學中的柏拉圖主義的論正和建立公理形而上學的嘗試，以及他試圖發展一種作為概念論的大邏輯的理想。

這裏節譯的“引言”部分，是全書概要，一方面簡述了上面這些內容的要點（當然有些要點在這裏未能、也無須充分展開），另一方面在作者所構想的哲學框架內，對哥德爾表面上零散的思想做了梳理和評價，説明它們既與西方哲學主幹密切銜接、又遠超時代潮流。雖然哥德爾的宏大規劃並未完成，但其方法的新穎與內容的深刻，無疑為當代哲學留下了一筆豐厚的遺產。最後，王浩談了他自己對於哲學、數學和邏輯之間的關係的理解，並藉助清晰性和確定性標準，試圖為不同的數學和哲學建立了一種由弱到強的譜系，使得我們在解釋上能夠消泯其中的牴牾，達成一種“公意”的統一一下浩建議，我們應該用這種方法來理解和接受哥德爾哲學的深淺不同的部分。

《邏輯之旅：從哥德爾到哲學》（A Logical Journey—From Gödel to Philosophy）於2009年出版。

撰文 | 王浩

翻譯 | 邢滔滔

01

哥德爾其人及其定理

庫爾特·（弗里德里希）·哥德爾（Kurt Gödel，1906-1978）是公認的20世紀最偉大的邏輯學家。1951年2月，哥德爾卧病在牀，奧本海默（Robert Oppenheimer）告訴臨牀醫生：“你的病人是亞里士多德以來最大的邏輯學家。”在1978年3月3日的追悼會上，韋伊（André Weil）認為，承認哥德爾是2500年間唯一能不帶誇耀地説“亞里士多德和我”的人，其實是平淡無奇的。70年代，惠勒（John Wheeler）説道：“如果你稱他為亞里士多德以來最偉大的邏輯學家，你是在貶低他。”哥德爾自己倒覺得最適合與萊布尼茨為伍。不管怎樣，沒有人否認他在邏輯學家中的地位相當於愛因斯坦在物理學家中的地位。

愛因斯坦從1942年起直到1955年去世，與哥德爾過從甚密，他本人認為哥德爾的工作對數學，與他的工作對物理學，有同等的重要性：“既然我遇到了哥德爾，我知道數學中確實存在同樣的東西。”[1]

哥德爾的工作是現代邏輯中的一場革命，從數學和哲學上大大提升了現代邏輯的意義。另外，在他的手裏，數學和哲學意藴豐富，優美異常，且無半點門户怨氣。在意見相左的思想圈子中，他享受如此的尊重，為當世所少見。世人相爭相鬥，樂此不疲，他卻超然於競爭之外。他的著作，對當代邏輯的所有分支來説，都是基礎和生命力。在哲學中，情形卻相反，他大量的著述還未發表，對他的觀點也是眾説紛紜，莫衷一是。

1952年6月17日，哈佛大學授予哥德爾名譽博士學位，稱他是“本世紀最有意義的數學真理的發現者。”哥德爾在給母親的信（7月22日）中，説蒯因（Willard van Orman Quine）的這個評價“毫無疑問是最為美好的。”他還寫道：“可是這與愛因斯坦無關，他的發現在物理學裏而不在數學裏。”他指出這句讚辭不應被理解為説他是本世紀最偉大的數學家，而最有意義的這個短語，意思是“具有數學之外的最大的一般興趣。”

被如此讚譽的真理，是哥德爾1930年發現的，那時他年僅24歲。這是他最有名的工作，通常徑直稱作哥德爾定理，儘管他還發現了許多別的基本定理。這條定理可以按下面隨便哪一種形式陳述：

GT 數學是不可窮盡的。

GT1 每個一致的形式數學理論一定包含不可判定的命題。

GT2 沒有定理證明機器（或程序）能夠只證明全部真的數學命題。

GT3 沒有既一致又完全的形式數學理論。

GT4 數學是機械上（或算法上）不可窮盡的（或不可完全的）。

如果我們把“數學”換成“算術”（即數論或關於自然數的理論，是純數學中最簡單和最基本的部分），這些命題仍然為真。簡單説來，哥德爾定理揭示了數學（甚至算術）的算法上的不可窮盡性（或不可完全性）。按哥德爾的看法，算法上不可窮盡這個事實，表明了不是人心勝過計算機，就是數學不由人心創造，或二者皆真。因此，這個定理明顯地關係到心靈哲學和數學哲學。

用哲學的術語來講，這條定理有助於澄清邏輯與直觀，形式與內容，機器與心智，真與可證，實在與可知之間的辯證法。

哥德爾定理曾在詩歌（恩岑伯格[Hans Magnus Enzenberger]的“向哥德爾致意”）和音樂（韓策[Hans Werner Henze]的第二小提琴協奏曲）中受到頌揚，也曾在展現圖靈（Alan Turing）生平的百老匯戲劇《破解密碼》中被引述，又曾在相關的傳記《圖靈之謎》[2]中被描畫。圖靈的計算機理論建立在哥德爾定理之上，又加強了哥德爾定理。

哥德爾1931年證明定理的文章，現在有幾種英譯；這篇文章與哥德爾有關的演講（1934年，普林斯頓）一道發表在《不可判定的》[3]一書中（此書彙集了與哥德爾定理密切相關的一些基本論文），後來又收入哥德爾的《文集》第一卷[4]。對哥德爾定理的證明，有各式各樣的講解，或書本或文章，數量相當可觀，針對的讀者羣也各不相同。為普通讀者寫的書裏，最可稱道的要數納格爾（Ernest Nagel）和紐曼（J. R. Newman）的《哥德爾的證明》[5]；侯世達（Douglas Hofstadter）的《哥德爾，艾舍爾，巴赫──集異璧之大成》[6]；拉克爾（Rudy Rucker）的《無窮與心智》[7]；和彭羅斯（Roger Penrose）的《皇帝的新腦》[8]。

侯世達的暢銷書恰在哥德爾去世的後一年問世，哥德爾定理通過這本書給哥德爾帶來廣泛的聲譽，而他本人卻與之擦肩而過。這本書寫得有聲有色，把哥德爾定理與巴赫（J. S. Bach, 1685-1750）的音樂和艾舍爾（M. C. Escher, 1902-1972）的繪畫連在一起，認為它們用不同的方式表現了自指或“怪圈”。侯世達把怪圈或“糾纏分層”看成“意識的關鍵所在”，擬出一首“心智和機器的隱喻賦格曲”。哥德爾證明的構造，支持了人工智能的方案，因為它説明“從高水平看一個系統，包含了低水平根本不具有的解釋力量”[9]。維伯（Judson Webb）也所見略同，他在《機械主義、心智主義與元數學》[10]裏論證説，哥德爾定理為許多人工智能學者的信念提供了（正面的而非反面的）證據。

另一個極端的觀點，以彭羅斯為代表，他説：“從哥德爾定理考慮……我們可以看到，在形成數學判斷時，在計算和嚴格證明起如此重要的作用時，意識的角色是非算法的”[11]。哥德爾自己像思考這個問題的大多數人一樣，進一步尋找某些洞見，它們和他的定理合起來，即可成功地證明我們自然的信念：人心確實勝過計算機。希望只要表明心智特別在判定數學問題上的優越能力，就能做到這一點。

哥德爾定理在遞歸論、證明論和計算機科學的發展裏，佔據了中心地位。不僅如此，哲學家、語言學家和心理學家對之也情有所鍾。人們問道，在物理學中能不能證明一個類似的定理？[12]也有人建議把定理推廣到人間事物裏，對此，哥德爾曾經擬出一個他認為合理的表述（在一封信的草稿裏──我忘記是給誰的了，日期為1961年3月15日）:

1.1 一個完全不自由的社會（即處處按“統一”的法則行事的社會），就其行為而言或者是不一致的，或者是不完全的，即無力解決某些問題，可能是極端重要的問題。在困難的處境裏，二者當然都會危及它的生存。這個説法也適用於個體的人。

雖然對哥德爾定理的意義，人們欣賞起來深淺不一，解釋起來也不盡相同，但這個定理很快就成為對20世紀思想的一個奠基性貢獻。人人都聽説過那些奠基性貢獻，都承認它們的重要性。在這一點上，哥德爾定理就好比弗洛依德的心理學，愛因斯坦的相對論，玻爾的互補性原理，海森堡的測不準原理，凱恩斯的經濟學，和DNA的雙螺旋。

哥德爾對邏輯的另外一些重大貢獻，雖然在邏輯上很重要而且在哲學上有相當的意義，但沒有得到公眾如此的關注。他的哲學著作大部分還未發表，發表的只有幾篇文章和一些片段。人們耳熟能詳的，只是他對他的數學哲學的簡略的勾畫。然而，我跟他談話時意識到這個勾畫很不充分，很容易讓人誤解，就像冰山的一角。僅是我所見的那部分冰山，就顯示出一個比平常瞭解的龐大得多的結構。

哥德爾的數學哲學，內容之多讓一般人難以置信。比如説，跟普通的印象相反，哥德爾肯定了我們的數學直覺是可錯的，並研究了數學中不同程度的清晰性和確定性。他還承認自然數比任意集合，客觀性比客體有認識論上的優先性。

他的哲學又比他的數學哲學內容更多。他對許多困難的、看起來遠非我們所能知的問題有確定的觀點，這一點不同於今日大多數哲學家，一般而言我們對那些問題很難形成這種或那種確信。更有甚者，他的觀點通常與時代精神相悖。這種大膽的玄思無疑與他如下的信念相關：“有許多聯繫，今天的科學和正統的智慧對之一無所知”（1961年9月12日致母親的信[以下稱LM]）。

1975年，我應一份通俗雜誌之約，寫了一篇論文報道我和哥德爾的一些討論，其中彙集了他對心、物、數學和計算機之間關係的若干觀點。哥德爾在審閲論文的某一稿時，要求我加上下面一段話：

1.2 哥德爾告訴我他對心與物有一些深切的信念，他相信這些信念與今日普遍接受的看法大相徑庭。採取這些信念的理由乃是出於非常一般的哲學考慮，而且他所持的論證也不能説服信念不同的人們。因此，他只選擇陳述部分明確的信念或結論，它們之確定，甚至不須援引他的一般哲學來説明。

在他的深切的信念和他之持有這些信念的理由之間作出區分，暗示了哥德爾對他的一般哲學尚未設想出一個有説服力的表達方式。從我們對他的文字遺產的有限的知識來判斷，他的一般哲學的很多內容，似乎並沒有完成，也沒有付諸筆墨。我的印象是，他沒有像在他的數學哲學的某些部分中那樣徹底地發展他的一般哲學。甚至有可能，他和我的私下的、不拘一格的談話，會成為他鮮為人知的一般哲學的各個方面的最豐富、最完整的表達。如果這個猜想是對的話，那麼他的哲學觀點將容許大量不同的解釋。

哥德爾思想的發展雖然是個長篇的話題，但這裏對其中主要之點略加提示，恐怕是不無裨益的。

1921年，一本微積分基礎教程勾起了哥德爾對數學的興趣。那年夏天，他讀了一本歌德的傳記，這又間接地引導他對牛頓的思想和一般物理學感起了興趣。他1922年開始讀康德。1924年，他入維也納大學學習物理；但他對精確性的追求，引他出物理而入數學（1926年），進而達到數理邏輯（1928年）。從他的信中拾出的兩則文字，談了這一段時間裏他發人深省的兩件事，一是他早早就歸附了柏拉圖主義，一是他認為自己與當時的知識氣氛格格不入。

1.3 大約從1925年起我就是一個概念和數學實在論者（1975年8月19日信，引自RG, p.20）。[13]

1.4 我不認為我的工作是“20世紀早期學術氣氛的一個側面”，倒覺得正相反（同上）。[14]

1929到1933年，哥德爾在謂詞邏輯和算術基礎方面做了根本性的工作，開始考慮集合論了。從大約1933年到1943年初，他主要投身於集合論，又做出了根本性的貢獻。他關注的中心發生這樣的轉移，是因為他下決心只把力量集中於基本問題。譬如説，1937年初他告訴我的大學老師王憲鈞：

1.5 因為我自己的和其他有關的工作，數論的本質如今基本上清楚了。目前的工作是去理解集合論（“現在麼，集合論”）。

1927到1933年間，數學家門格爾（Karl Menger）曾與哥德爾交往頻繁。1981年門格爾這樣描述哥德爾在科學討論會上的表現：

1.6 在邏輯和數學問題上，哥德爾慷慨地貢獻自己的意見和勸誡。他總是快速和透徹地察覺到問題所在，並用極少的話語做出最精確的回答，經常令詢問者耳目一新。他講這些時好像一切都極為尋常，但又時時帶幾絲羞澀，油然生出一分魅力，在許多聽者的心中喚起温暖和親切的感覺。

哥德爾從1943到1946年研究萊布尼茨的著作。據門格爾回憶，1932年前後，“哥德爾就已經開始集中注意萊布尼茨了”。他1944年發表了他的羅素篇，1947年發表了他的康托爾篇的第一稿。1946到1950年間，他主要致力於研究時間問題，特別參考了康德哲學和愛因斯坦相對論──他把這稱作一次“客串”，結果產生了兩篇數學文章和兩篇哲學文章。

1951年，他寫成吉布斯講稿，並做了演講，這篇演講的主旨是論證數學中的柏拉圖主義。1958年，他發表了貝奈斯篇，把直覺主義數論解釋到希爾伯特（David Hilbert）有窮數學的一個輕微而自然的擴充裏。1953年到1959年初，他花了很大的力氣寫卡爾納普篇，打算證明數學不是語言的語法，又為某種形式的柏拉圖主義作辯解。最終他決定不發表這篇文章。1959年2月3日，他寫信給編者希爾普（P. A. Schilpp）：

1.7 我已經數易其稿，但稿稿都不令我滿意。提出有份量的、有吸引力的論證來支持我的觀點，那倒是容易的，可要完全闡明情勢卻比我預想的要困難。這個題目跟哲學的一個基本問題密切相連，一些部分還完全等同，那個問題就是概念和它們之間的關係的客觀實在性問題。鑑於偏見盛行，發表半熟不熟的稿子弊大於利。

哥德爾1959年開始研究胡塞爾（Edmund Husserl）的著作。1964年他發表了康托爾篇的修訂、擴充稿；1966到1969年他擴充了貝奈斯篇，加了3個新注。1967年12月和1968年3月，他寫了兩封信給我，解釋他的柏拉圖主義對他的邏輯工作的重要性。（我後來經他同意，在《從數學到哲學》一書裏，發表了這些信[15]）。他解釋了柏拉圖主義與他關於謂詞邏輯的工作的關係之後，繼續説：

1.8 我可以補充一點，我的一般而言對數學和元數學，特別而言對超窮推理的客觀主義思想，對於我其他的邏輯工作也有根本性的意義。

1971和1972年間，哥德爾和我大量討論哲學，他還對我的一部書稿做了評論。結果他決定通過這本書表述他自己的哲學觀的某些方面，把它們公之於眾；他的那些簡明的陳述刊載於MP：9-13，84-86，189-190，324-326。1975年10月，我們重敍前言，繼續討論到1976年6月。

02

哥德爾的哲學：規劃與實行

哥德爾的哲學規劃是要發現形而上學的一個嚴格的理論，大約具有單子論的形式。但是他自忖離此目標道路尚遠。他坦言甚至不知道哪些是正確的初始概念。他所做的，是仔細處理一些比較容易着手的子問題，表明他的一般態度，和做一些方法論上的建議。現在我的目的是解釋他的哲學討論背後的動機，為此，我把那些討論看作哥德爾的龐大規劃的一部分，但不談它們與當前哲學的直接聯繫。

哥德爾這樣刻畫他的哲學：

2.1 我的理論是有一箇中心單子[即上帝]的單子論。它在一般結構上類似於萊布尼茨的單子論。

2.2 我的理論是唯理主義的，唯心主義的，樂觀主義的，也是神學的。

為實現他的方案，哥德爾必須考慮康德對萊布尼茨的批評。他看中了胡塞爾的方法，認為用它可以對付康德的批評意見。由於這個原因，他批駁實證論，維護胡塞爾。

哥德爾理論中的樂觀主義成分，依我之見應解釋為對心靈及其能力的首要地位的肯定。正是在這個意義上，他拒斥唯物主義。關於單子論的設想，就隱隱然包含了這一點，因為單子被看成精神性的存在，它們組成基本的實體。鑑於人們普遍認為沒有與物分離之心，哥德爾不得不動手反駁這個觀點。既然物質力所能及的範圍不如計算機的能力範圍來得清晰，他假定人腦基本上像計算機一樣工作。然後着手證明心靈比計算機優越，首要的證明步驟是論證心靈比計算機能處理更多的數學。

換言之，為了論證他的唯心主義，哥德爾嘗試把形式與直覺的辯證法發展到一個新的高度，使問題更接近於獲得精確的解答。這與他在數學基礎領域的工作是一脈相承的，他的邏輯上的精確結果，對一種實證論味道十足的形式主義來説，構成了正當的和精緻的反駁。再舉一個決定性不那麼強的例子：他相信我們對時間的直觀概念不是客觀的，他對愛因斯坦的場方程的解既受這個信念的促動，又被他用來支持這個信念。

哥德爾理論中的理性主義成分既維護了柏拉圖主義，又維護了心靈的優越地位，因為理性主義，至少像哥德爾理解的理性主義，以共相為中心，把共相視為穩定的和可知的。與他龐大的規劃直接相關的，是形而上學或單子論的初始概念的獨立存在和可知性，因為從中我們可以發現制約整個理論的公理，並把它們看作真的。

但是我們還不知道哪些是初始概念。無論如何，從哲學史的經驗來看，要揀選形而上學的初始概念，那些熟悉的候選者恐怕都不夠鮮明，可知性不夠充分，不足以讓我們達成主體間穩定的一致，看出它們的公理是真的。哥德爾的典型作法是，不直接面對這個問題，而集中力量處理一個比較確定的相關子問題，即數學中的柏拉圖主義（或客觀主義）問題。然後他似乎使用了他的不受限制的概括（和類比）原則，推導出這樣的結論：如果我們思考足夠努力，並且正確看待事物，那麼形而上學概念就會變得與數學概念同樣鮮明，同樣清晰。

他的理論中的樂觀主義的和神學的成分，是用來增強我們的力量的。不受限制的概括原則是樂觀主義的一個主要應用。這兩個成分其他的具體應用，在哥德爾關於來世和上帝存在的論證中，有充分的體現。他顯然意識到，對於不相信那些結論的人，這兩個成分不能讓他們信服。實在講來，它們在哲學中只有助探的價值：相信它們的人可以藉助它們達到某些結論，然後再尋找或者説找到更廣泛為人接受的論證，來支持那些結論。

他思考作為概念理論的集合論和邏輯。就此而言，他反覆探討了對邏輯的一種構想。弗雷格（Gottlob Frege）曾有把邏輯當作概念理論的不一致的構想，在我看來，哥德爾的構想對是弗雷格的構想的一種自然的潤色加工。二者都把集合論當作邏輯的一部分，區別在於弗雷格假設每個概念的適域都是一個集合，而哥德爾則放棄了這一假設。結果，雖然集合論大大豐富了邏輯，但概念理論並不與它平行，而且還有待發展。概念理論的主要公理是什麼，眼下我們還一無所知。哥德爾除了考慮集合論的內在意義，還對探察數學的本質有興趣，一來這可進一步支持數學中的柏拉圖主義，再者這也是他心目中的邏輯的一個實質性部分，在他看來，邏輯是單子論的一個補充成分：

2.3 邏輯處理更一般的概念；單子論包含生物學的一般規律，它比較具體。

在上一節裏，我嘗試把這裏所考慮的哥德爾的觀點看成他宏大的規劃的組成部分。這個規劃的宏大目標乃是發展一種精確的理論，對形而上學做一番恰如牛頓對物理學所做的事業。我肯定今日我們大多數人看不到一條可行的道路，能達成這個目的，同時能夠曲盡其妙，不有所缺失。雖然如此，但總有可能沿着目標的方向預見一些成果，足以勾勒出一種單子論的大體輪廓。

譬如説，我們可以對維特根施坦（Ludwig Wittgenstein）《邏輯哲學論》裏的世界理論做些擴充，在概念和客體（單子和所有客體集）之間做出區別，把知覺和欲求作為單子的原始官能，將萊布尼茨的一些原則和約束知覺與欲求的一些基本規律當作公理，如此我們就可以希望得到與我們粗糙的直覺相符的一個合理的理論，特別地，還可以看到哥德爾意義下的真邏輯命題按照這個理論在所有的可能世界裏都真。考慮到後面第9章裏討論的相關的思想，我覺得有可能在這種明顯弱化了的意義下解釋哥德爾的規劃。

根據目前的哲學狀況和我自己的哲學研究，我相信可以把我所知的哥德爾哲學觀點分成兩部分，把二者分開來評説。一方面，對上帝與來生的玄思和單子論裏的中心單子超出了我的所思所慮；他的哲學裏的樂觀主義和神學的部分，我看不出足夠的合理性，無法從中得益。另一方面，哥德爾的方法論視角和他對諸多知名哲學家的評論，卻極富啓發性，能幫人開闊眼界；他大量討論了邏輯和集合論，心與機器，數學中的柏拉圖主義等問題，這些討論是對歐洲哲學傳統延續至今的對話的充滿活力的貢獻。

的確如此，甚至可以説哥德爾在其哲學的第二部分（方法論）裏，正是關注着這個傳統的基本問題。這個傳統以知識哲學為中心，注重普遍的和理論性的東西。它思索一般與個別的辯證法（堪稱希臘哲學的中心問題），主體與客體的辯證法（堪稱近代哲學從笛卡爾、康德以降的中心問題）。譬如，柏拉圖的相論乃是要解決共相的問題，又被公認為他的哲學的基石。但這只是一位哲學家的知識哲學，不是整個工作的一般性的定義。

車尼斯（Harold F. Cherniss）談論柏拉圖學園的時候，這樣描述了哲學的任務：

2.4 有兩樣東西，柏拉圖對它們的興趣比對相論本身還要濃，因為相論歸根到底不過是他用來滿足這兩項要求的工具：第一，有一個叫心的東西，能夠了解實在；第二，作為知識的對象的實在有絕對的、無條件的存在。

這兩項要求可以用不同的方式滿足。實際上，我們都相信它們確確實實被滿足了，這是我們從經驗裏知道的。但是我們要來反思一下的時候，卻發現很難確定實在是什麼，或實在意謂什麼，也很難確定在什麼意義上和在多大程度上我們的心能夠了解實在。

傳統哲學的很大一部分便是要來把握這個無條件的、絕對的實在概念，刻劃人心瞭解它的能力範圍。關於心對實在的瞭解，它的成功與失敗，我們的經驗可謂不勝枚舉。我們確信物理世界是實在的，我們所知的生活，包括科學技術令人驚異的成功，也説明人心在某種意義上能夠了解物理世界。

然而，即使只涉及最初等的知識，我們的心也必須使用概念，像紅、椅子等等，它們不像具體的紅椅子那樣存在於物理世界中。我們於是面對着概念究為何物的問題。因此，哥德爾50年中執着地追求、不斷地探索令人信服的理由來支持某種形式的柏拉圖主義，就不是什麼奇怪的事了。

按車尼斯（2.4）的提法，我們可以説知識哲學的主要問題是（1）客觀實在的範圍與本性；（2）人心瞭解客觀實在的能力的範圍與本性。

大多數人同意物理世界是客觀實在的一部分。哲學的一個基本問題，是有名的（1a）共相問題，它一起頭便問道：概念或共相以及它們之間的關係是不是客觀實在的，在什麼意義上是客觀實在的？（這問題的另一部分是共相與殊相的關係。）另外一個基本問題是（1b）時間問題，它問道：時間和變化是不是客觀實在的？

我們從經驗中知道，心對物理世界有許多知識，這一點不論從我們日常的知識還是從我們今天掌握的物理學中看，都是顯而易見的；我們還知道，心對數學世界也有許多知識，因為我們有豐富而可靠的數學。大多數人同意感官經驗在我們的知識中起重要作用，但這絕不是説僅僅用感官經驗就能解釋概念性知識，而概念性知識不但在物理學中起重要的作用，它在數學中的作用，甚至更加突出。

自然就會問到，（2a）心既然能夠具有概念性知識，尤其是能夠了解和應用數學，那麼這種能力的範圍多大，本性如何？因為我們感覺對物理世界已有相當的瞭解，又因為我們把人腦當作它的一部分，於是我們就想弄明白（2b）心和腦的關係，特別要比較它們的能力。既然計算機的運作方式比心和腦更加顯明，那麼另一個熟悉的問題就是，（2c）心或腦的功能是否像計算機一樣，還是它們能比計算機多做一些事情？

我粗略勾畫的這5個問題，以撲朔迷離和聚訟紛紜著稱。討論它們的時候，我們典型的話不投機，因此就難以發現激烈爭辯背後的真正的分歧何在。有兩個相互聯繫的策略，可用來對付這個困難，一個是把一種立場的所有分支詳盡擺出，以期更加確定地揭示它的特點；另一個是把複雜問題分成簡單的部分，想辦法從那些能夠精確處理的部分入手。據我看，哥德爾的大部分工作是以第二種策略研究哲學。

哥德爾的哲學觀點和數學發現大都能歸入上述5個問題的範圍裏，針對這些問題的一些加了限制的，或者引申出來的分支。他把1a，即共相問題，主要限制到數學概念及其關係上，力圖確立它們的客觀實在性。的確，在他的哲學著述和談話中，這個問題講的比哪個問題都多。至於1b，他與康德（還有巴門尼德和“近代唯心論者”）所見略同，認為時間和變化僅僅是主觀的（不是客觀實在的）。具體來説，他用他對愛因斯坦場方程的解──這是個嚴格的數學結果──來支持這個信念。

關於2a，心對概念性知識的把握，哥德爾也是首先集中考察數學和邏輯概念。他論證道，我們的直覺超越了康德式的（或者按他的説法，具體的）直覺，我們確實可以感知概念。康德的Anschauung侷限於時空（或感性）直覺；它多少解釋了希爾伯特的有窮數學，這種數學帶我們越過有窮，到達一種簡單形式的潛無窮。希爾伯特自己曾希望用他的有窮數學藉助一致性證明來維護更高等的數學，但哥德爾定理卻使這個希望受到挫折。哥德爾隱約提出一種方法，它與希爾伯特原先的規劃相伯仲，目的是提示我們如何通過增加適當的新抽象概念來一步步擴張希爾伯特的有窮數學，藉此得到越來越高等的數學。

哥德爾對問題2b和2c也頗有興趣，就是説，他研究心、腦和計算機之間的關係，尤其注意比較它們的能力。他相信，“人腦基本上像一台數字計算機一樣工作。”利用這個假定，他提出了一個“科學上可以證明”的猜想：心比腦（視為計算機）能做更多的工作。他還進一步提出幾種建議，沿着這些建議的方向我們有希望證明心比任何計算機都能處理更多的數學。特別地，他尋求一些適當的前提，單個拿出或合盤托出，再加上他的數學不可機械窮盡的定理，就可以推導所要的結論：在數學上，心比計算機更加優越。

就心把握實在的能力而言，概念可謂極端重要。當我們想着一個新概念的時候，我們是在發現，在創造，還是在發明那個概念？圍繞這個問題有無窮無盡的爭論，答案取決於人們對1a，即共相問題採取什麼立場。然而，不管這些立場如何，人心習得或思索新概念的能力總是一種值得注意的和難以把握的屬性。哥德爾和我們許多人都感到，這種恆常的發展遠遠超出計算機的能力。不過很難看出怎樣令人信服地證明情形就是如此。對我來説，人心習得或思索新概念的現象是一個核心的奧秘，哲學試圖清晰透徹地解釋它，但是屢試屢挫。我傾向於認為，許多哲學爭執，不過是這個事實的後果，問題1a只是其中之一罷了。

哥德爾運用他的不受約束的概括原則，不但得出理性能夠回答自身提出的問題這樣強的結論，而且藉助類比擴大了某些概念的適用範圍。因此，他的一些術語就可能誤導讀者，甚至可能掩蓋了一些困難。

譬如，用我們對物理客體的感知作比，他聲言我們也有能力感知概念。然而。我們必須提醒自己，他這話的意思首先是説我們有能力去進行理解，有能力看出關於那些概念的某些陳述是真的。他也把感知概念或直觀本質當作一種觀察。公理方法在他看來不是別的，就是清晰的思維。他對公理方法的看法比一般的看法來得寬泛，頗令人揣摩。稍後我會試着揣測他的看法，作一些解釋。

對概念，一般熟悉的看法是，它原本是心所設想出來的某種東西。哥德爾反其道而行之，把概念當作實體──具體來講，“當作獨立於我們的定義和構造而存在的事物的性質和關係”。有一個問題，就是要區別這樣的概念和那些我們為辨別與理解的目的而引入的概稱[16]：我們顯然在使用這樣的概稱，不管我們是否也在其中看出了哥德爾意義下的真實概念。他自己在剛才引用的那句話的上下文中提到了一類這樣的概稱。

哥德爾區別了創造，即從無中造出某物，和構造或發明，即從他物中造出某物。他嚴格遵從這一區分，致使他的創造一詞，使用起來比我們熟知的要狹窄。特別是他把概念和其他我們構造的東西看作發現，而不是創造。結果他就與布勞威爾（L. E. J. Brouwer）持不同論調，説是我們從原初的二一性（two-oneness）中構造出──而不是創造出──自然數來。

我通常按寬泛的、相對而言較穩定的意義理解直覺和理想化，我相信這與哥德爾基本設想並無二致。我也把全部的初始概念看成是通過理想化而得到或發現（在他的意義上）的。我認為直覺的領域首先包含羅爾斯（J. Rawls）所稱的“反思均衡中審慎的判斷”。

03

哲學與數學和邏輯的關係

歐洲哲學中邏輯和數學突出的核心地位，是眾所周知的現象，這無疑是因為這些學科異常精確，同時又涉及最高的普遍性。一般大家都同意，數學在柏拉圖哲學中扮演重要角色，亞里士多德是邏輯的建立者。笛卡爾和萊布尼茨的著作在哲學和數學中都具有相當的重要性，斯賓諾莎按幾何推理的次序來安排他的《倫理學》。雖然康德把形式邏輯貶到邊緣的位置，他的先驗邏輯卻穩居他的哲學的中心。黑格爾的邏輯學則是他的形而上學，或第一哲學。

到了20世紀，數學和邏輯對哲學的影響尤為顯著。弗雷格（1848-1925）、胡塞爾（1859-1938）、羅素（1872-1970）和維特根施坦（1889-1951）都從數學基礎起家。我們都熟悉他們的著作的重要性和他們對現今和當代哲學的影響。進一步講，戴德金（Richard Dedekind, 1831-1916）、康托爾（George Cantor, 1845-1918）、龐加萊（Henri Poincaré, 1854-1912）、希爾伯特（1862-1943）、布勞威爾（1881-1965）和圖靈（1912-1954）雖然主要以數學家聞名，但對數學哲學有深廣的影響。皮爾斯（Charles S. Peirce, 1839-1914）、懷特海（Alfred N. Whitehead, 1861-1947）、C. I. 路易斯（C. I. Lewis, 1883-1964）、貝奈斯（Paul Bernays, 1888-1977）、卡爾納普（Rudolf Carnap, 1891-1970）、拉姆賽（Frank Ramsey, 1902-1930）、哥德爾（1906-1978）和蒯因（1908-1999）都同時研究邏輯和哲學；他們的著作顯示了把邏輯和哲學相聯的幾種不同的途徑。

有效的思維，其特色即是把形式的和直覺的適當地融合起來。數學和邏輯之所以重要，是因為它們為我們提供了形式與直覺相互作用的一個模型和一個參考系。在日常生活中和科學思維裏，我們總是在使用邏輯和數學，有時含而不露，有時則大張旗鼓。在哲學中，我們進而探討它們的本性，它們之間的關係和它們與哲學的關係。

哲學在數學中發現了清晰思維的典範。明晰透徹的概念，確定無疑的結論，還有秩序井然的論域──純粹理性的力量在這裏給人留下最深刻的印象。柏拉圖和哥德爾都把我們的數學經驗當作主要的證據，來支持明白的概念的獨立存在。前面已經説過，斯賓諾莎用幾何學的方式把他的哲學系統組織和表述成一個公理理論。弗雷格努力尋求數學的嚴格的基礎，結果獲得了一般的哲學框架，用來研究所有科學話語中的意義和真等概念。哥德爾把對立的哲學當作不同的世界觀，將數學視為他所鍾愛的那種哲學的最後堡壘，那種哲學把世界看成一個有秩序有目的的整體。

哲學對數學的影響，就沒有那麼顯著、那麼深入了。康托爾確曾嘗試從神學汲取力量，支撐他的集合論，羅素找不到宗教信仰的理性基礎，則轉向數學尋求安身立命的根本。哈代（G. H. Hardy）和別的一些數學家似乎覺得柏拉圖主義哲學對他們的數學工作在一般的方面有所幫助。哥德爾獨豎一幟，宣稱──並且特地解釋了為何──他的數學哲學裏的柏拉圖主義立場對於他的邏輯研究裏的數學工作具有根本性的意義。

哲學對邏輯的關係比它對數學的關係更加直接和密切。邏輯被當作哲學的分支來教，在一些哲學裏，邏輯以這種或那種形式佔據了中心地位。然而我們知道，不僅對邏輯的本性人們有不同的看法，而且對邏輯的範圍也是歧見紛呈。我們都在思維裏默不做聲地使用邏輯，但是隻有不多的人把邏輯本身作為一門學科有意識地加以研究。

邏輯作為一種活動，即思維的藝術，裁決信念與行為間的相互作用，或如人們所認為的，裁決二者之間的辯證法，這種辯證法又在我們的思維過程裏包含了主體與客體間的、已知與未知間的、主觀與客觀間的、形式與內容間的、共相與殊相間的、和形式與直覺間的辯證法，而且前者在思維過程中常常被後面諸項取而代之。邏輯的裁決作用表現在各式各樣的思維當中。作為一種藝術或方法，邏輯對我們思想的材料來説，是中立的。

辯證法一詞雖然模糊，但頗有意味，普通用它來描述對立的或相反的力量的相互作用，這種作用在某些過程裏導致一個更高的更統一的階段。傳統上，辯證法與邏輯緊密相連。在整個中世紀裏，辯證法一詞都指稱我們今天意義上的邏輯。對黑格爾來説，邏輯是辯證過程的科學，而辯證過程是對立面在部分與整體的複雜關係中持續不斷的統一，它滲透在人類思維中，也瀰漫於世界歷史裏。

人們熟知的對邏輯的題材的刻畫，起頭便是贊同邏輯真理包含而且只包含有效的命題，有效的意思是説，不管那些概念和客體在現實世界裏是怎樣的，這些命題都真。邏輯概念或邏輯常項因此便是有效的命題中出現的那些基本的或不可替代的概念。舉例來説：每樣東西等同於自身；每個命題藴涵自身；或者一命題為真，或者它的否定為真，但並非二者都真；某事對每樣東西成立，如果它對所有的東西成立。這些是有效的命題，因為不管那些概念和客體為何，它們都真。等同、藴涵、否定、全稱（所有的）等等，是出現在這些命題裏的基本概念，它們便是邏輯常項。

進一步説，所有的命題都是由簡單的謂述命題──即那些把某些概念應用於某些事物的命題──經過這些熟知的邏輯常項組織而成的。為了用統一的方法有效地處理命題，邏輯學家從亞里士多德到弗雷格發明了越來越充分的結構和記號，用來整飭建立命題的直觀過程。今天普遍接受的謂詞邏輯系統，就其一般形式而言，正是弗雷格1879年建造的系統。在實踐中，沒有人否認謂詞邏輯的確是邏輯的一部分。

一場人們熟知的爭論，集中在謂詞邏輯是不是整個邏輯這個問題上。有可能重新構建謂詞邏輯，使它看上去與管理它的邏輯常項（等詞、命題聯結詞和量詞）的推理規則打交道。譬如，我們可以設計一個完備的謂詞邏輯系統，只採取事物的自我等同和命題的自我藴涵作公理，把系統的主幹讓給刻畫了邏輯常項的直觀意義的自然推理規則，例如允許從兩個給定的命題推出它們的合取的規則。用這個重構的謂詞邏輯，那些希望把邏輯限制到謂詞邏輯上的人，就可以訴諸人們熟悉的邏輯觀念，將邏輯當作研究有效推理的規則的科學，以此來支持他們的論題。

要決定客體的範圍，我們可以從熟知的物理客體出發。當我們考慮概念時，我們就被引向客體王國的一個自然的擴張：盤算我們最熟悉的概念，每一個都有一個對應的集合作這個概念的外延，就是這個概念能夠應用於其上的所有事物的聚合。然而，正如弗雷格已經強調的，把外延設想成客體是很自然的。於是我們就被導向這樣的觀點：客體的集合也是客體。

既然邏輯研究必然的東西，就是説邏輯真的命題在一切可能的經驗世界中都真，它就不會言及偶然的事實，像這個或那個經驗客體或概念在現實世界裏存在等等。這樣一來，好像營建邏輯就沒有了質料。

然而，即使不承認任何經驗的事物，我們仍然認識到一定有某個空概念，它不能應用於任何事物，因此就有一個空集，它是每個空概念的外延。所以，在每個可能世界裏，都至少有一個客體，即空集。但給定任何一些客體，我們都能建構它們的集合，它們的集合的集合，等等。用這個方法，我們就得到人們熟知的純集合的分層，這是集合論研究的題目。因此我們可以説，集合論也是邏輯的一部分。

同樣有可能預見一個類似的純概念的理論，並且根據相同的理由論證它也是邏輯的一部分。不過我們知道，有些概念的適用範圍並不構成集合：例如，概念的概念或集合的概念。由此可見，純粹概念論並不全然是純粹集合論的翻版。實際上，雖然眼下我們有一個令人滿意的、發育良好的集合論，但要得到一個同樣成熟的概念論，還有漫長的路程。在這個意義上，許多基礎工作留待人們去做，甚至在建立邏輯的基本框架方面，也仍然任重道遠──只要把概念論看成邏輯的一個不可分割的部分，情形就是如此。我先前已經説明，對邏輯的這種看法，我相信既應和了弗雷格的設想，又闡釋了哥德爾的宣言。

哲學和邏輯的關係從這方面看來，與科學和數學的關係頗有相似之處。數學研究所有科學共同關心的一般的和抽象的方面，類似地，邏輯的課題可以看成從具象走向抽象時我們所有的哲學關切的共有成分或者説極限。我們也可以把邏輯看成一種形式的本體論，它構成了形而上學的一個基本的部分。

關於邏輯和哲學的關係，説得不那麼抽象一點則可採取如下的觀點：哲學作為世界觀其目的乃是捕捉和描畫我們的內部資源的一般的和綜合的框架，藉助於內部資源，我們接受、消化和解釋我們關於世界和關於我們自身的所有的思想。照這樣的看法，邏輯組成了哲學的一個主要部分，甚至可以等同於所謂的純哲學。依我看，黑格爾的邏輯觀和維特根施坦在他的《論確定性》一書中發展的觀點，傾向於對邏輯及其與哲學的關係作這種解釋。

我們每個人都學着去相信一些東西，並且逐漸形成了一個信念系統，作為對世界的看法。我們學着按照那些信念行事，有些信念堅實穩固，就像河牀，還有些多少變動不居，就像流水。邏輯研究所有的信念系統中那些堅實穩固的信念。某些經驗命題中的信念，即便不是邏輯的一部分，但也屬於我們的參考框架。數學是邏輯的一部分。雖然同一個命題既可以看成一種檢驗規則，又可以在別的時候看成必須用經驗來檢驗的東西，但邏輯不是一門經驗科學。

以上是在維特根施坦文本的基礎上，加上一種解釋和説明，對邏輯作的一番粗略的刻畫。但是這種刻畫依然歧義雜陳，包含進一步精釋的多種可能性。譬如，黑格爾和維特根施坦雖然都可以説運用了這種邏輯觀念，但給出的答案卻不同──這無疑在很大程度上是由於他們對同一和差別有不同的態度，也由於他們對什麼是知識有不同的想法。無論如何，有一點是清楚的：按照這種觀念，邏輯形成了哲學的一個重要部分。如果我們要求這種邏輯觀念再精確一些，我認為未嘗不可以把弗雷格—哥德爾的構想，當作它的一種精釋。

要把這種邏輯觀念──即把邏輯看成不同的信念系統的共同部分──和我們熟悉的共同關切聯繫起來，一個辦法是與羅爾斯的工作相比較，羅爾斯用正義的政治觀念來替換綜合的政治理論，而正義觀念的用意是代表現代民主社會里相交的合意。如果考慮相互衝突的哲學世界觀的共同部分或整個相交的合意，我們就似乎有了一個比較踏實的方法，來逐步確定先天的東西的模糊領域，所謂先天的東西是指我們潛在地能夠獨立於我們特別的個體經驗而得到和接受的那些概念和信念。換言之，我們可以不把自己限於一種類型的社會，嘗試尋找所有不同的世界觀共有的概念和關於它們的信念。如果把邏輯的範圍等同於先天的東西的範圍，或者可能它的極大普遍的部分，我們就在邏輯裏有了一個共同的基礎，藉之我們可以希望在相互衝突的綜合哲學之間做出裁決。

數理邏輯按今天一般的理解來説，大體包含遞歸論或計算理論、證明論和構造性數學、模型論、和集合論。它是數學的一個分支，也是科學的一個分支。如果我們把邏輯限於這種意義上的數理邏輯，那麼哲學和邏輯之間的關係就是哲學與科學之間的一般關係的一種特殊情形。整體説來，數理邏輯的發展，特別是在它早期的階段，深受哲學關切的影響：……[17]反之，它對數學哲學作用之巨，可謂入木三分，影響由此及於一般哲學的幾個基本部分。

人們對哲學與科學的關係見仁見智，態度不一。比如愛因斯坦曾説：“認識論和科學的相互關係值得玩味。它們互相依賴。認識論若沒有科學相伴就變成空架子，而科學若沒有認識論，無論怎麼想象，都是粗陋和糟糕的”。但今天大多數做實際工作的物理學家對認識論不屑一顧。同樣，今天大多數做實際工作的數理邏輯學家不像哥德爾，他們對哲學至多有一點淺表的興趣。態度上如此大的差異，無疑與個別學科當前的發展狀況有關，也與科學家個人研究的具體問題有關。

無獨有偶，不同的哲學家對哲學和科學的積極關係或珍重有加，或嘖有煩言，這取決於他們對兩科抱怎樣的看法，和他們對哲學中何者為要的偏好。哥德爾認為科學與哲學的相互作用有利於雙方。另一方面，維特根施坦卻覺得科學有害，因為它增強了“我們對概括的渴望”，而這種渴望導致壞的哲學。他認為真的哲學與數學無干──雖然他有時聲稱哲學可以幫助科學轉到迎合我們的真正需要的正確軌道上來。

實際上，我們的確從科學結果中抽出哲學結論來，不管是有所收益，還是徒增迷惑。我們都知道，科學和宗教有衝突，科學的發展改變了我們對世界的整個的看法。職業哲學受重要的科學進步的影響，如牛頓物理學、達爾文生物學、相對論、量子物理學、和分子遺傳學。其他人且不説，哥德爾自己曾反覆考慮他的不完全性定理的哲學意藴。

另一方面，説到哲學對科學的影響，我們知道許多科學思想從哲學中萌芽。神學中頒佈自然律的上帝，對牛頓那樣的物理學家孜孜不倦地追求自然秩序，很可能有積極的影響，本世紀中，愛因斯坦和哥德爾都提到哲學對他們的科學工作的有力的促動。

哲學和科學相互影響的一個顯著的例證，是希爾伯特方案裏提出的一系列富有成果的數學問題，它們是藉助想象和技巧從關於數學基礎的哲學爭辯中提煉出來的。在這類情形裏，科學問題的解答也有助於澄清原來的哲學問題。哥德爾看到哲學的一個作用是提供初生的思想──比如原子論，這是德謨克里特提出的，另一個作用是把哲學問題還原為科學問題，他提議尋找心優越於物的科學證明來澄清關於心與物的哲學問題，其用心即在於此。再者，哥德爾相信能找到精確的形而上學，這個信念似乎出自他對我們數學和物理學經驗的反思的大膽的──雖然不那麼令人信服的──外推。

哥德爾世界觀的各個部分具有不同程度的清晰性和確定性；它們結合在一起，乃是由於一種對於不同程度的説服力的多少不受約束的概括。他的數學方面的工作是確定無疑的。他把邏輯作為概念論的設想，界定了一項相當精確和引人入勝的任務，雖然我們眼下還不知道，致力於發展這樣的一個系統所得究竟如何。哥德爾的數學中的柏拉圖主義意味深長，它包容了一套解釋的譜系，從較弱的過渡倒較強的，從淺白易解的直達深沉宏博的。他含蓄地拿數學類比形而上學，這對我們大多數人來説，是難以接受的；這同時提示了一些與他的意圖相符的可能性，雖然不夠切實，但也不乏可行性。

毫無疑問，不同的人會接受哥德爾世界觀的不同部分，從中汲取不同的教益。我相信，關於他的工作的幾個部分的不同程度的確定性和説服力，大部分哲學家多少會同意我的分類和評價。有些人可能會覺得他的一些想法不無道理而且頗具吸引力，因此希望進一步澄清和發展這些想法。另一些人則可能把他的大部分哲學思想視為無稽之談，將他的壞哲學和他的邏輯上的好工作區別對待。

註釋

[1] 參見王浩Reflections on Kurt Gödel（Cambridge: The MIT Press, 1987）（以下簡稱為RG）第31-32頁。中譯本名為《哥德爾》，康宏逵譯，上海譯文出版社1997年出版，相關頁數為第47頁。──譯者

[2] Andrew Hodges, Alan Turing: the Enigma. Simon & Schuster, 1983.

[3] Martin Davis (ed.), The Undecidable. Hewlett, New York: Raven Press Books, Ltd., 1965.

[4] Kurt Gödel, Collected Works, vol. 1, ed. Solomon Feferman et. al. Oxford University Press, 1986.

[5] Nagel, Ernest, and J. R Newman, Godel’s Proof. New York: New York University Press, 1958.

[6] Douglas R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid. Basic Books, 1979. （此處用郭維德等中譯本[商務印書館，1997年]標題。──譯者）

[7] Rudy Rucker, Infinity and the Mind. Birkhauser Verlag, 1982.

[8] Roger Penrose, The Emperor’s New Mind. Oxford University, 1990. （中譯本見：羅傑·彭羅斯，《皇帝新腦》，許明賢、吳忠超譯，湖南科學技術出版社，1996。──譯者）

[9] Hofstadter, 1979, p.707.

[10] Judson Webb, Mechanism, Mentalism, and Metamathematics: An Essay on Finitism. Reidel, 1980.

[11] Penrose, 1990, p.416.

[12] 比較RG, p.156.

[13] 參見RG的中譯本第31頁。──譯者

[14] 同上。──譯者

[15] Hao Wang, From Mathematics to Philosophy (以下稱MP). New York: Humanities Press, 1974, 8-11.

[16] 康宏逵用“概稱”翻譯notion一字，此處沿用這個譯法。參見《哥德爾》（上海譯文出版社，1997）頁436注2，頁444-5。──譯者

[17] 原文如此。因本書未經作者最後校讀，疑此處作者原想加入部分內容而最終遺漏。──譯者

本文原文刊於《科學文化評論》2004年第6期

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