唐朝科舉裏的數學題，我賭你只能做1道出來！_風聞

出處 | 果殼（Guokr42）

今天的設定是這樣的：您太討厭數學了，於是穿越到古代去搞科舉，心想背背書就能取得功名，似乎還好。

確實，大多數朝代的科舉，都不考稍微難一點的數學題。

但是您穿越到了唐朝，唉。

唐朝最慘專業

唐朝有一箇中央教育機構叫“國子監（jiàn）”，它既是政府機關，又是最高學府。

國子監最主要的部分有6個，關係大致如下圖。

其實不同時期具體情況不一樣，這裏只是以《新唐書·選舉志上》的體系舉個例子

理論上説，對平民家孩子開放的“專業”有4個：“四門學”前途無量，“律學”黯淡無光，“書學”“算學”只有一臉慘相。而你穿越回去，上了“算學專業”。

入學了！

來都來了，咱們就簡單瞭解一下學制吧，看看幾年能出頭。

算學的學制是7年。入學條件也還行：學費就是一匹絹（在當時不算貴，因為您的破專業沒前途），兩輪考試通過了就行（這個破專業並不卷）。

入學以後，您有兩個班可以選。

學習內容丨製圖：清潔工；資料來源：《新唐書·選舉志上》舉例子

第一班要學10本書，第二班只學4本。我勸您選第一班，因為濃縮咖啡勁頭大，濃縮鈾會核爆炸，濃縮數學題？誰看誰頭大。不信接着看。

圖丨作者靈魂手繪

上學吧！

選好以後，七年的寒窗苦讀就要開始了。

這期間，十天一小考，每年一大考，而且沒有寒暑假。好在如果您聽我勸，選了第一班的話，大多數題真的不算難，咱們待會兒就見識見識它們。

考試當官了！

光陰似箭，您在9年內通過7次年終大考，終於迎來了畢業考試。要是您畢業考試也過了，那……還有一個考試——“明算科”科舉考試。

唐朝常規舉行的科舉考試也分六種，格局和國子監六大“專業”有點像。不用問，您要考的“明算科”還是最慘的。

6種考試丨製圖：清潔工；資料來源：《新唐書·選舉志上》

簡單介紹一下您有多慘。

首先是級別很低。

在唐朝開元后期，“書、算於從九品下敍排”——通過明算科考試，您將有機會得到“**從九品下”**這個級別的官職。

這個級別有多低？我們平時説官職小，用“九品芝麻官”這個説法，而**“九品芝麻官”都高您一等**，是“正九品上”。

接着是升遷很慢。

沒有特殊情況的話，唐朝官員一般每4年可以升遷1階。

您起步是最低級的“從九品下”，距離七品的中層官職（縣級）隔了8級，距離五品的高官（州級）隔了16級。也就是説，您用7年時間畢了業，然後馬上考中明算科，再熬上64年不退休，就能當大官啦。

您的漫漫升官路丨製圖：清潔工

不過按照唐朝慣例，像您這樣的小官，到了七十歲，上司無論如何都會催着您“榮歸鄉里”。反正我個人沒在史料中見過有哪個大官是考明算科考出來的。

不過總有您這樣的人去考的，畢竟考上了有公務員編制啊！

算學生的作業本

唐代數學專業學生，搞的基本都是應用題，主題是古人日常生活中會接觸的事，像什麼種田織布、挖土築堤、賣米囤糧、請客吃飯、偷錢抓賊……

從今天的數學知識來看，絕大多數應用題還挺簡單的，基本不需要初中以上的數學知識。我今天就帶來您做幾個題體驗一下。

説明

1，在果殼後台回覆“偷看答案”來偷看答案（不保證全對）；

2，本文作者是中文系學古漢語的，沒有專門學習過中國數學史。古人的解法書寫簡略且有獨特的術語體系，作者閲讀較困難。本文所有解法均利用現代數學方法完成，步驟未必與古人一致。

第一題：好簡單

 “今有田廣十五步，從十六步，問為田幾何？”

——《九章算術·方田》

翻譯：

步是一種古代長度單位，240平方步是一畝。有一塊長十五步，寬十六步的長方形田地，請問它的面積是多大？

第二題：追及問題！

今有遲行者五十步，疾行者七十步。遲行者以先發，疾行者以後發，行八十七里一百五十步乃及之。問遲行者先發行幾何裏？

——《張丘建算經》卷中

翻譯：

兩人作勻速運動。阿慢每個單位時間可以跑50步（“步”還是那個長度單位）；阿快這麼長時間可以跑70步。

阿慢先跑，阿快再追，鍥而不捨地狂奔87裏零150步（300步=1裏）才攆上。請問阿慢先跑的那段跑了多遠？

圖丨作者靈魂手繪

第三題：還是追及

今有人盜馬，乘去。已行三十七里，馬主人乃覺悟，追之一百四十五里，不及二十三里而還；今不還追之，問幾何裏及之。

——《張丘建算經》卷中

翻譯：

小偷偷了馬，跑了37裏時，失主才開始追。失主狂追145裏（大約77公里），累了不跑了，這時候距離小偷還有23裏。請問如果失主有恆心，再跑多遠能追到？

圖丨作者靈魂手繪

第四題：相遇問題

今有垣厚五尺，兩鼠對穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。問幾何日相逢？各穿幾何？

——《九章算術·盈不足》

翻譯：

一堵牆，厚五尺（約1.2米），兩邊各有一耗子。它們相向挖洞，而且每天都是勻速運動。

第一天，倆耗子各挖了一尺。之後，其中比較大隻的耗子越挖越有幹勁，決定每天提速100%；小耗子拒絕內卷，每天少挖50%。

請問挖穿這堵牆時，倆耗子挖了多久，分別挖了多遠。

圖丨作者靈魂手繪

第五題：開始難了

今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百錢。欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？

——《九章算術·衰分》

翻譯：

吃飯的時候，爵位每提高n級，出的錢是1/（n+1）。比如最低級的“公士”要花6元錢的話，“不更”就只花3元，“簪裊”花2元，“上造”就只用花1.5元……

那麼，爵位相鄰的五個人吃飯，一共要花一百錢，請問每個人分別出多少錢呢？

官員級別丨製圖：清潔工

第六題：煩人的幾何

又有環田，中週六十二步、四分步之三，外週一百一十三步、二分步之一，徑十二步、三分步之二。問為田幾何？

——《九章算術·方田》

翻譯：

有一塊環狀的田地，但未必是一整圈。它的內弧長62.75步，外弧長113.5步，兩條弧線間距12+2/3步。請問這塊田地一共多大？

圖丨作者靈魂手繪

第七題：最後一道大題！

最後我們來看一道最難的題，它來自《緝古算經》。

《緝古算經》這本書只有二十道題，在唐朝學制裏卻要學四年，平均一年學五道。這本書上的內容，即使對今天的普通人來説也是頗有難度的，特別是在不許用計算器的情況下。

我們來看其中最有名的第三題。

假令築堤，西頭上、下廣差六丈八尺二寸，東頭上、下廣差六尺二寸。東頭高少於西頭高三丈一尺，上廣多東頭高四尺九寸，正袤多於東頭高四百七十六尺九寸。甲縣六千七百二十四人，乙縣一萬六千六百七十七人，丙縣一萬九千四百四十八人，丁縣一萬二千七百八十一人。四縣每人一日穿土九石九鬥二升。每人一日築常積一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人負土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水寬一十二步，上山三當四，下山六當五，水行一當二，平道踟躕十加一，載輸一十四步。減計一人作功為均積。四縣共造，一日役華。今從東頭與甲，其次與乙、丙、丁。問：給斜、正袤與高及下廣，並每人一日自穿、運、築程功，及堤上、下高、廣各幾何？

——《緝古算經》第三問

我畫了張圖幫您理解，雖然您很可能也難以理解。

圖丨作者靈魂手繪

翻譯：

已知AB=CD，EF=GH，AC=EG，AE=CG，AC∥BD∥FH，AB∥EF，CD∥GH，AC⊥AE，CI⊥BD，JG⊥FH，BD比AC長682寸，FH比EG長62寸，CI比GJ長310寸，EG比GJ長49寸，CG比GJ長4769寸，整個六面體面積為275924800立方寸（這個數不是題設給的，是用題設中別的數據算出來的，但算法很複雜，三言兩語説不清，您默認就好了）。求AC、BD、AE、FH、CI、GJ的長度。 

Guokr

最後要説一點，您穿越到古代終於學完了數學、考完了明算，但要是時間不妥，怕是功名也廢了：到五代時期，明算科地位繼續下降，從“不重要”變為“不存在”。直到近代，相對複雜一點的數學知識才重歸正規教育考試之列。

參考文獻

[1] 《新唐書》，中華書局1975。

[2]《大唐六典》，三秦出版社1996年影印廣池本。

[3]《漢書》，中華書局1962。

[4]《九章算術細草圖説》《海島算經細草圖説》《孫子算經》《五曹算經》《數述記遺》《夏侯陽算經》，《續修四庫全書》卷1041影印本，上海古籍出版社2002。

[5]《周髀算經》《五經算術》《張丘建算經》《緝古算經（附細草）》，《叢書集成新編》卷40、41影印本，新文豐出版公司1985。

[6]邱光明《中國曆代度量衡考》，科學出版社1992。

[7]《舊唐書》，中華書局1975。

作者：清潔工

編輯：李小葵