六十年代的伯克利大學——回憶陳省身教授及伯克利大學的幾何組_風聞

撰文 | Robert E. Greene（加州大學洛杉磯分校數學系教授）

翻譯 | 張思文（北京師範大學數學科學學院）

校對 | 李建華（北京師範大學數學科學學院）

我很高興接受丘成桐的建議。他建議我寫一些我在伯克利大學讀研究生的記憶，尤其是與陳教授有關的記憶，即便在私下，我們都是這樣子稱呼陳省身教授的（其他人僅僅被簡稱為他們的姓氏，如果是很熟悉的人則直接稱呼名字。但是陳教授通常被稱為陳省身教授，如標題那樣。）對我而言，那些年發生了很多重要的事情，但我幾乎不會重述我個人生活和絕大多數我個人的數學進展。儘管如此，為了方便讀者瞭解背景，在開頭，我需要講一講我是如何來到伯克利大學的。

在1964年秋季，我在密歇根州立大學完成了本科的學習，開始了在普林斯頓大學的研究生學習。但是，1964年夏季，我住在加利福尼亞舊金山灣區，準確地講是在海沃市，同時，我作為暑期學生員工在利弗莫爾市的勞倫斯放射實驗室工作。（我曾經遊歷過一些國家實驗室，那年夏天之前，曾經在阿貢國家實驗室和橡樹嶺國家實驗室工作過。）然後，我愛上了加利福尼亞。另外，當我本科畢業時，我想研究代數拓撲，沉迷於它更基本的形式中。當我意識到代數拓撲在它的更高級形式，更多是代數學，而非拓撲學，我的興趣轉移到幾何學。（我過去不是，現在也不是一個天生的代數家，在思考時，我更傾向於構圖繪畫而非形式推導。）當時，普林斯頓在拓撲幾何領域非常優秀，但是隻有極其少的幾何學。

不僅從個人理由，而且從數學學習的理由，轉去伯克利大學都是自然而然的事情。我有一個可轉移的美國科學基金會的研究生獎學金，伯克利大學有義務接受我的轉學申請。在過去，我這種情況比現在常見。所以，在1965年，我將全部個人物品裝進一輛1955年生產的奧爾茲莫比爾牌汽車，就像許多東部人所做的那樣，向着加利福尼亞這片樂土出發了——此後，我一直住在那裏，除了在柯朗研究所做博士後的那兩年。

這被證明是一個明智的選擇。但是從更廣闊歷史的視角來看，1965年早期的伯克利大學正陷於政治的混亂中，對我而言，卻是來到了微分幾何的世界，這個世界超出幾何學研究生所能期待的一切。很少有可能出現在如此關鍵的時刻或地方，它提供了最重要的機會，在幾何學活躍的時期創造了一切。

因我是在那一年中間到達的，事情發展緩慢。儘管如此，我的第一個學期，1964-1965學年下學期是最讓人滿意的。我參加了代數拓撲的下半學年的課程，跟隨阿爾弗雷德·格雷（Alfred Gray）學習了譜序列。（我已經瞭解這個科目，不僅僅從格雷獨特的視角，我也自學了很多。）我有曾有幸聽過萊斯特·杜賓（Lester Dubins）講授的測度理論，一門優秀的課程，又一次涵蓋了我本科學習過的知識，但又是從一個真正獨特的視角。（在第一天，杜賓聲稱他無意講授測度理論，因為任何人都可以從一本相關的書上學到。因此，他很快就開始討論巴拿赫-塔克斯悖論，隨後綜合講授局部緊羣。）但是，就像所有對幾何學感興趣的研究生一樣，我迫切地渴望與陳教授學習的機會。

下學期，機會來了，陳教授要講一門幾何課程，當然，教室裏擠滿了人。幾乎沒有空間能坐下來。學生高度興奮。不論政治化的伯克利大學外的人們是什麼態度（“不要相信任何一個超過三十歲的人”，“入學，苦學，然後輟學”），我們恰恰相反，極其渴望坐在大師腳邊充分獲益，這位大師是最偉大的大師之一。

這段經歷是令人驚奇的。經過一些鋪墊，陳省身開始講授他自己在示性類上的工作。他內心謙遜，例如，他經常將陳氏示性類稱為“所謂的陳氏示性類”。但同時，這段經歷是讓人讚歎的，因為他每天來上課，都在黑板上寫滿長長的微分計算，而這些微分需要微分形式的變換。而他從來不帶任何筆記，從來不停頓去思考任何難以捉摸的結論，從來不犯錯誤。整個課堂展開得如此美妙流暢，就好像我們在閲讀一本編寫完美的書。

後來，一個非常有勇氣的學生在課後問陳教授，他是如何做到這些的。他平靜地答道，事實上，他開始發展這個主題時就沒有寫下任何東西。他説，就好像他頭腦裏有一塊黑板，相關的知識就寫在那上面並永遠存在。這樣説是如此的文雅，沒有讓人感到一點不謙虛，這僅僅是對於他那無法效仿的教學風格的一個簡單介紹。然後，他用稍感遺憾的口吻説，“如今，當我在思考一些新東西時，有時不得不使用鉛筆和白紙。”

這件事情讓學生震驚，而這樣説有些輕描淡寫。在這不久之後的某天，我問伍教授（H. H. W（編者注：伍鴻熙）隨後我跟隨他完成了博士論文），在微分幾何的研究中是否需要這樣的計算能力，同時，我表示如果真需要這樣的計算能力，那麼我應該轉去其他方向。他輕聲笑着表示，“如果一個人必須像陳教授那樣才能成為一個微分幾何學家，那麼幾乎沒有人能成為微分幾何學家，”同時他向我保證那種計算能力不是必須的。

那時，在1965-66學年，我與威爾弗裏德·施密德（Wilfried Schmid）和其他領域的研究生住在一間公寓，我們一共有五個人，都在尋找論文導師。威爾弗裏德向我描述他是如何尋找論文導師的，他決定向每一個在伯克利大學研究複流形的人詢問他們是如何看待復射影空間的曲率，尤其是怎樣才能最好的計算全截面曲率。以最自然和優雅的方法來處理這一根本性的但相對初級的問題，所有人都有不同的觀點 。威爾弗裏德最贊成菲利普·格里菲斯（Phillip Griffith）的方法，並決定請菲利普作為他的導師，結果如他所願。

雖然，我贊同陳教授關於複流形的思想，那時，他有相當多的學生——八個，據我回憶——我對於要在如此多人的團體中維護自己，甚至僅僅是要求加入感到羞怯，沒有自信。而我同樣認同也許甚至更贊成伍教授處理複流形的方法。特別地，伍教授對於施密德的復射影問題的答覆是最讓我心悦臣服的一個答案（正則標準座標）。我推斷伍教授和我將在數學中取得一致，這一點事後被證明是正確的。二十世紀六十、七十年代，我倆一起寫了一系列的論文，到八十年代我們成為好朋友，從那時到現在，不論是私人交往，還是數學研究，我們都是好朋友。

雖然，我不是陳教授的博士生，我，像任何學習幾何學的人，不僅僅在伯克利大學，而且在世界各地，都受到了他的影響與指引。伯克利大學的整個幾何學圍繞在他的周邊。令人激動的一部分是，似乎每個人都到伯克利大學展示他們的結論，不論這些結論與陳教授個人明確的研究興趣是否相關。據我回憶是這樣子的。德立夫·格羅莫爾（Detlef Gromoll）作為米勒學者來到伯克利大學（1966年），向我們介紹他解決球體微分Pinching問題的方法。值得引人注意的是，儘管格羅莫爾的專業方向是某種測地幾何，不論那時還是現在，都與陳教授自己的興趣相差很遠，對於格羅莫爾，就像其他幾何學家，來到伯克利大學也是自然而然的。陳教授創造了這樣一個環境，幾何學在各個方向都能蓬勃發展，任何幾何學。

與陳教授有了多方面的接觸後，我發現一個令人驚奇的地方，陳教授有非同尋常的感覺，他能感知到數學領域中接下來會出現什麼，數學將向何方發展。例如，這個思想可以追溯到龐加萊（Poincare），實超曲面中局部正則微分同胚映射的參數的個數取決於給定的階數，而這些參數的個數比超羣面本身參數個數要小，因此，不是所有的（嚴格偽凸）超曲面可以局部雙全純等價。但是這個觀測法要求在費弗曼（Fefferman）的結果上添加額外的特徵，他的結論是一個具有光滑邊界的嚴格偽凸區域到另外一個的雙全純映射可以光滑地延拓到邊界上。費弗曼的結論發表於1974年，幾乎與陳省身和莫澤（Jürgen K. Moser）關於雙全純邊界不變的工作是同時的。這種對歷史的期待，就像過去的情況，似乎是不可思議的。如果沒有費弗曼的結論，陳氏—莫澤理論在複分析中的重要性就要欠缺一些。

盧瑟福（Rutherford）被問道為什麼他總在核物理的前沿時，他答道：“哦，我引起了浪潮，不是嗎？”陳教授從來不會如此不謙虛地去説這樣子的話。然而，這種對比會在不經意間進入你的腦海。陳教授不僅僅是偉大的領導者，而且他看待問題的角度也是如此令人驚奇。

返回到個人層面，1969年，我離開伯克利大學來到柯朗研究所，成為一名博士後。那時，伍教授和我定期在一起工作，所以在一次搬家後，我與陳教授有了密切的接觸，自從伍教授和他經常一起談論我們的工作。陳教授對伍教授和我一同研究的正曲率有孔表面的剛度係數非常感興趣。他在為1974年版大英百科全書撰寫的微分幾何綜述中，善意地提到了這件事情。這極大提高了我青年時期的信心。（我九歲的侄女評論道，這沒有什麼了不起，因為我還沒有個人專欄。她的話讓我保持清醒。）

結束了在柯朗研究所的兩年，我成為加州大學洛杉磯分校的教員，因此有機會經常訪問伯克利大學，尤其是自從伍教授和我繼續我們的合作。因此，我再一次與陳教授有了更直接的接觸。伯克利大學的幾何學研究依然廣泛。大量的訪問者表示，對於幾何學家而言，“條條大路通向伯克利”。我還記得家米哈伊爾·格羅莫夫（Mikhail Gromov）的到來，他剛離開蘇聯，在美國的首次公開露面。格羅莫夫做了一場精彩而令人激動的演講，但是它不夠透徹。在演講的結尾，黑板上寫有一個單獨的符號，一個大寫的Ｖ（對於流形而言，是法國風格）。陳教授站起來——在這種場合下，他是主持人——在熱烈的掌聲和感謝格羅莫夫精彩的演講後，帶着主持人的機敏和親切，他説道，“您能為我們簡單地寫一個定理嗎？”

陳教授也曾親切地提到我自己在幾何學方面的工作，那些工作格羅莫夫也是完全贊同的。這整件事情充分地證明陳教授的文雅，他能用它引領並鼓勵年輕的學者，就像他經常做的那樣。

1969年秋季，當我仍在柯朗研究所時，另一位數學家來到伯克利大學，不是作為訪問者，而是作為一名新入學的研究生。伯克利大學有很多研究生，新生通常不這麼引人注目。但是丘成桐是個例外。我希望伍教授和邱教授都不要在意，我將引用一封信，這封信是丘成桐作為新生報到後不久，伍教授寫給在紐約的我。伍教授寫道，“一位來自中國的年輕人到達了，我相信他將改變微分幾何的面貌”。

幾乎沒有預言比這個更有遠見了。我當時很吃驚，但是伍教授非凡的話語變成了質樸的事實。僅僅六年之後，1976年秋季，丘成桐訪問加州大學洛杉磯分校時，我倆的辦公室緊挨着。一天，在我們辦公室附近的走廊裏，他碰見我説，“我完成了卡拉比猜想的證明。你想看一下嗎？”我依然使用着那間辦公室，當我早晨來工作時，時常回憶起這一幕，它可以作為數學的一塊里程碑，在此地，幾何學的整體方向改變了，並且數學一系列的可能性被釋放了。（如果加利福尼亞在德國，那麼，這裏將有一塊紀念碑或者可能一個雕像！）幾何學的新時代已經來臨。然而，有人依然認為是陳教授。畢竟，卡拉比猜想是有關陳氏類的。數學家世代交替，但是，偉大的數學是永恆的。

本文原文發表於《數學通報》2011年第50卷第6期。原文將University of California, Berkeley譯為伯克萊大學，本文依據現在常用譯法改為伯克利。

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