數學家買彩票中獎的幾率會比普通人更高嗎？_風聞

撰文 | 張天蓉

如今，“概率”一詞在我們的生活中隨處可見，被人們使用得越來越廣泛和頻繁。因為這是一個越來越多變的世界: 一切都在變化，一切都難以確定。我們的世界可以説是由變量構成的，其中包括很多決定性變量。比如新聞説: “北京時間2016年11月3日20時43分，長征五號在海南文昌成功發射”，這裏的時間、地點都是確定的決定性變量。

然而，我們的生活中也有許多難以確定的隨機變量，比如明天霧霾的程度，或某公司的股票值，等等，都是不確定的隨機變量。

隨機變量不是用固定的數值表達，而是用某個數值出現的概率來描述。正因為處處都有隨機變量，所以處處都聽見“概率”一詞。你打開電視聽天氣預報，看看今天會不會下雨，氣象預報員告訴你説: 今天早上8點鐘的“降水概率”是90%；你到手機上查詢股市中的某種股票，你得到的信息可能是這種股票3個月之後翻倍的概率是67%；你滿懷期望地買了50張彩票，朋友卻告訴你，傻瓜才去白花這50塊錢，因為你中獎的概率只有一億分之一……

圖源：pexls

生活中“概率”這個詞太常見了，以至於人們不細想也大概知道是個什麼意思，比如説，最後一個例子中，0.03%的惡性概率的意思不就是説，“10000個這樣的肉瘤中，只有3個才會是惡性的”嗎？因此，在經典意義上，概率就可以被粗糙地定義為事件發生的頻率，即發生次數與總次數的比值。更準確地説，是總次數趨於無限時，這個比值趨近的極限。

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雖然“概率”的定義不難懂，好像人人都會用，但你可能不知道，概率計算的結果經常違揹我們的直覺，概率論中有許多難以解釋、似是而非的悖論。不能完全相信直覺！我們的大腦會產生誤區和盲點，就像開汽車的駕駛員視覺中有“盲點”，需要幾面鏡子來克服一樣，我們的思維過程中也有盲點，需要通過計算和思考來澄清。概率論是一個經常出現與直覺相悖的奇怪結論的領域，連數學家也是稍有不慎便會錯得一塌糊塗。現在，我們就首先舉例説明經典概率中的一個悖論，叫作“基本比率謬誤（base rate fallacy）”。

我們從一個生活中的例子開始。

王宏去醫院做化驗，檢查他患上某種疾病的可能性。其結果居然為陽性，把他嚇了一大跳，趕忙在網上查詢。網上的資料説，檢查總是有誤差的，這種檢查有“1%的假陽性率和1%的假陰性率”。

這句話的意思是説，在得病的人中做檢查，有1%的人是假陰性，99％的人是真陽性。而在未得病的人中做檢查，有1%的人是假陽性，99％的人是真陰性。於是，王宏根據這種解釋，估計他自己得了這種疾病的可能性（即概率）為99%。王宏想，既然只有1%的假陽性率，99%都是真陽性，那我在人羣中已被感染這種病的概率便應該是99%。

可是，醫生卻告訴他，他在普通人羣中被感染的概率只有0.09(9%)左右。這是怎麼回事呢？王宏的思路誤區在哪裏？

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醫生説: “99%？哪有那麼大的感染概率啊。99％是測試的準確性，不是你得病的概率。你忘了一件事: 被感染這種疾病的正常比例是不大的，1000個人中只有一個人患病。”

原來這位醫生在行醫之餘，也喜愛研究數學，經常將概率方法用於醫學上。

他的計算方法基本上是這樣的：因為測試的誤報率是1%，1000個人將有10個被報為“假陽性”，而根據這種病在人口中的比例 (1/1000=0.1%)，真陽性只有1個，所以，大約11個測試為陽性的人中只有一個是真陽性（有病）的，因此，王宏被感染的概率大約是1/11，即0.09(9%)。

王宏思來想去仍感到糊塗，但這件事激發了王宏去重温他之前學過的概率論。經過反覆閲讀，再思考琢磨醫生的算法之後，他明白了自己犯了那種叫作“基本比率謬誤”的錯誤，即忘記使用“這種病在人口中的基本比例(1/1000)”這個事實。

談到基本比率謬誤，我們最好是先從概率論中著名的貝葉斯定理説起。

托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes ，1701-1761）是英國統計學家，曾經是個牧師。貝葉斯定理是他對概率論和統計學做出的最大貢獻，是當今人工智能中常用的機器學習的基礎框架，它的思想之深刻遠超一般人所能認知，也許貝葉斯自己生前對此也認識不足。因為如此重要的成果，他生前卻並未發表，是在他死後的1763年才由朋友發表的。

粗略地説，貝葉斯定理涉及兩個隨機變量A和B的相互影響，如果用一句話來概括，這個定理説的是: 利用B帶來的新信息，應如何修改B不存在時A的“先驗概率”P(A)，從而得到B存在時的“條件概率”P(A|B)，或稱後驗概率，如果寫成公式:：

這裏先驗、後驗的定義是一種約定俗成，是相對的。比如説也可以將A、B反過來敍述，即如何從B的先驗概率P(B)，得到B的“條件概率”P(B|A)，見圖中虛線所指。

不要害怕公式，通過例子，我們就能慢慢理解它。

例如，對前面王宏看病的例子，隨機變量A表示“王宏得某種病”；隨機變量B表示“王宏的檢查結果”。先驗概率P(A)指的是王宏在沒有檢查結果時得這種病的概率（即這種病在公眾中的基本概率0.1%）；而條件概率(或後驗概率)P(A|B)指的是王宏“檢查結果為陽性”的條件下得這種病的概率(9%)。如何從基本概率修正到後驗概率的？我們待會兒再解釋。

貝葉斯定理是18世紀的產物，200來年用得好好的，卻不想在20世紀70年代遇到了挑戰，該挑戰來自於丹尼爾·卡尼曼（Daniel Kahneman）和特維爾斯基（Tversky）提出的“基本比率謬誤”。前者是以色列裔美國心理學家，2002年諾貝爾經濟學獎得主。基本比率謬誤並不是否定貝葉斯定理，而是探討一個使人困惑的問題: 為什麼人的直覺經常與貝葉斯公式的計算結果相違背？如同剛才的例子所示，人們在使用直覺的時候經常會忽略基礎概率。

卡尼曼等人在他們的文章《思考，快與慢》中舉了一個出租車的例子，來啓發人們思考這個影響人們“決策”的原因。我們不想在這裏深談基本比率謬誤對“決策理論”的意義，只是借用此例來加深對貝葉斯公式的理解。

假如某城市有兩種顏色的出租車: 藍色和綠色（市場佔有比例為15：85）。一輛出租車夜間肇事後逃逸，但還好當時有一位目擊證人，這位目擊者認定肇事的出租車是藍色的。但是，他“目擊的可信度”如何呢？公安人員在相同環境下對該目擊者進行“藍綠”測試得到: 80%的情況下識別正確，20%的情況不正確。也許有讀者立刻就得出了結論: 肇事車是藍色的概率應該是80%吧。如果你做此回答，便是犯了與上面例子中王宏同樣的錯誤，忽略了先驗概率，沒有考慮在這個城市中“藍綠”車的基本比例。

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那麼，肇事車是藍色的(條件)概率到底應該是多少呢？

貝葉斯公式能給出正確的答案。首先我們必須考慮藍綠出租車的基本比例(15∶85)。也就是説，在沒有目擊證人的情況下，肇事車是藍色的概率只有15%，這是“A=藍車肇事”的先驗概率P(A)= 15%。現在，有了一位目擊者，便改變了事件A出現的概率。目擊者看到車是“藍”色的。不過，他的目擊能力也要打折扣，只有80%的準確率，即也是一個隨機事件(記為B)。我們的問題是求出在有該目擊證人“看到藍車”的條件下肇事車“真正是藍色”的概率，即條件概率P(A|B)。後者應該大於先驗概率15%，因為目擊者看到“藍車”。如何修正先驗概率？需要計算P(B|A)和P(B)。

因為A=藍車肇事、B=目擊藍色，所以P(B|A)是在“藍車肇事”的條件下“目擊藍色”的概率，即P(B|A) ＝80％。最後還要算先驗概率P(B)，它的計算麻煩一點。P(B)指的是目擊證人看到一輛車為藍色的概率，等於兩種情況的概率相加: 一種是車為藍，辨認也正確；另一種是車為綠，錯看成藍。所以:

從貝葉斯公式:

可以算出在有目擊證人情況下肇事車輛是藍色的概率為41%，同時也可求得肇事車輛是綠車的概率為59%。被修正後的“肇事車輛為藍色”的條件概率41%大於先驗概率15%很多，但是仍然小於肇事車為綠色的概率0.59。

回到對王宏測試某種病的例子，我們也不難得出正確的答案：

A: 普通人羣中的王宏感染某種病

B: 陽性結果

P（A）：普通人羣中感染某種病的概率

P（B｜A）：陽性結果的正確率

P（A｜B）：有了陽性結果的條件下，王宏感染某種病的概率

P（B）：結果為陽性的總可能性=檢查陽性中的真陽性+檢查陰性中的真陽性

本文經授權轉載自微信公眾號“原點閲讀”，編輯：張潤昕。本文節選自 張天蓉著《從擲骰子到阿爾法狗：趣談概率》（清華大學出版社，2018年5月）

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