數學家的魔術：一物生二物_風聞

如果有人對你説，把一個蘋果切成有限份，通過平移和旋轉將其重新組合起來，可以得到兩個和原來體積完全相同的蘋果，這樣反直覺的結果你會相信嗎？儘管這種操作在現實中不可能，但在數學上是可以能的——這就是Banach–Tarski定理。本文將詳細介紹這一定理的證明，特別是其依賴的選擇公理，並詳細談談如何理解這一定理背後所折射出的不同數學思想。

撰文 | 葉凌遠

引言

當你飢腸轆轆身處絕境，手中只有一個蘋果，你會怎麼辦？如果這時數學家告訴你，她可以把這個蘋果切開分成有限份，再重新組合起來，你就能得到兩個和原來蘋果一樣大小的新蘋果——你是否為了活命，願意重拾久違的數學，開始虔誠地學習？

這聽起來匪夷所思，違背常理。的確，在現實生活中，我們沒有辦法真的把一個蘋果切開再重組，得到兩個和原來一模一樣的蘋果。但在數學上，真的有一個定理説的就是這樣一種現象，這就是著名的 Banach-Tarski 悖論（中文中有時也稱作分球悖論）：對於三維空間中的一個球（更一般地對於任意n≥3維空間中的球），我們可以找到一種方式把這個球切分成有限份（例如5份即可），將得到的每一小份通過旋轉和平移重新組合起來，就能夠拼湊出兩個和原來大小一模一樣的兩個球。

嚴格來説這並不是一個“悖論”，而是一個定理，因此之後我們都將會稱其為 Banach-Tarski 定理，該定理最早的證明是Stefan Banach和Alfred Tarski在一篇1924年的文章中給出的。之所以將其稱為“悖論”，是因為這個定理的結論與我們的常識和對幾何的直觀有些衝突，正如前文説數學家能憑空變出來一個新蘋果時，你所感到的懷疑一樣。

此時，如何認識這樣一個“悖論”就變成了更為重要的事情。我們應該無條件地相信這個定理所闡述的內容，重新構建我們對幾何物體的直覺嗎？還是我們應該更相信直覺，從而反過來重新審視我們描述這個定理時所做的一些更基本的假設？現在，我們就來仔細探討這個問題。

Banach-Tarski 定理的證明

為了更加深入地探討這個定理，我們還需簡單地瞭解一下這個定理所涉及的一些概念和思想，同時也會講講這個定理的證明。對於人類而言，數學證明的要素並不僅僅在於保證一個命題的正確性，更在於讓我們從證明當中體會什麼是對一個命題而言最核心的要素，掌握了這些，我們才能進行後面更加深入的探討。

無窮

若暫時跳出我們對三維球體的幾何直觀，從更為抽象的角度來考慮，似乎這件事情沒有預想的那樣違背直覺，因為這涉及到無窮對象。在數學上，可以説是在 Cantor 創立現代集合論之後，我們才真正有足夠的數學工具來對無窮本身進行研究，同時也發現了無窮非常有趣的性質。

幾何

如圖所示的迭代是 Hilbert 給出的版本，與 Peano 最早找到的構造不完全一致，但方法是類似的。

簡單但不太嚴謹地來説，當將上面的曲線迭代無窮次後，我們便能夠得到一個填滿整個正方形的曲線；若更加小心地敍述，整個過程可以用嚴格的數學語言表達出來。這樣曲線的存在似乎挑戰着我們對於幾何物體“維數”的直觀。

而在 Banach-Tarski 定理中，為何把一個球分解成有限份後再重組，其體積能夠變成原來的兩倍呢？其中一個原因便是，我們切分後的一些部分是三維歐式空間中的不可測集。儘管所有的操作，例如平移、旋轉都在直觀上保持幾何對象體積的不變性，但我們切分的方式使得一些得到的子集並不能有效地被賦予體積（更嚴格地，勒貝格測度），因此“保持體積”這一説法也就無從談起了。

事實上，當選擇公理成立時，歐氏空間中就會有許許多多的勒貝格不可測集。即使是數學專業的人也不一定對選擇公理的內涵十分了解，暫時我們可以將其理解為數學家們假設集合所具有的一種性質。我們將在下一個小節中更具體地談談選擇公理以及它的推論。

反過來看，Banach-Tarski 定理的成立也表明，當選擇公理成立時，我們不可能在在三維歐式空間中找到一個具有有限加性質的測度（即不相交的兩個集合的測度是兩個集合測度的和）使得其所有子集都是可測的——因為我們找到了一種有限分解單位球再重組使其體積加倍的方法，若其中涉及的所有子集都是可測的，這便會與有限加性質矛盾。

回過頭來看，從黎曼開始走出歐式平直空間的範疇研究彎曲幾何之後，人們對於“空間”或“幾何”的認識都不斷髮生着改變。人們曾經認為幾何對象所必須具有的性質，在現代數學中並不一定成立。想要真正理解 Banach-Tarski 定理，並化解其與我們腦中對幾何物體直觀的矛盾，我們似乎必須對”空間“和”幾何“這些概念有更加深入的反思——我們將在最後回到這一點上。

現在，讓我們來更加仔細地談談什麼是選擇公理。

選擇公理

我們在一開始敍述 Banach-Tarski 定理時就提到，即使數學上 Banach-Tarski 定理是成立的，在現實生活中我們永遠沒有辦法把一個蘋果分成有限份再重組，得到兩個和原來一模一樣的蘋果。這不是受目前人類的技術所限，也不是因為我們沒有足夠的計算能力；即使整個宇宙的能量和計算能力都為我們所用，Banach-Tarski定理所描述的現象也無法真正實現——這一限制是根本性的。這不禁讓人感到更加神秘，為什麼現實生活中永遠無法做到的事情數學家就能聲稱它們存在呢？想要理解這一點，我們還得暫時跳出幾何的世界，再次回到更為抽象的集合層次上來。

公理集合論的發展很大程度上是為了研究無窮的性質。想要得到一個針對無窮的嚴格數學理論，僅僅憑藉我們腦中對集合直觀的認識是遠遠不夠的，甚至無法保持邏輯的一致性，容易導致矛盾。這之中最著名的例子便是羅素悖論。這是一個真正意義上的悖論，即它會導致自相矛盾的結論。羅素悖論挑戰的是我們腦中“任何一個性質都能定義一個集合”這一樸素的觀念。這也是為何在20世紀，許多數學家要花費大量的精力，利用公理化的方法嘗試描述出一個嚴格的、一致的形式系統來刻畫無窮的性質，最終才發展出了公理集合論這一數學分支。可以説，絕大部分現代數學分支都是建立在嚴格的集合論體系之上的。

儘管大部分公理集合論的內容非常技術化，與我們理解 Banach-Tarski 定理沒有那麼相關，但其中有一條公理非常重要，即為著名的選擇公理。Banach-Tarski 定理的證明嚴格地依賴於選擇公理（更確切地説，其依賴於比選擇公理稍弱的一個版本）。換言之，若沒有選擇公理，Banach-Tarski 定理的結論也不可能成立。對選擇公理嚴格的依賴性是我們沒有辦法在現實生活中實現 Banach-Tarski 定理的主要原因。

這種在使用選擇公理時數學假設的存在性，與我們在現實生活中能夠實實在在構造出的對象之間的不一致，便是我們覺得 Banach-Tarski 定理違背常識背後的一個很重要的因素。前面我們提到，Banach-Tarski 定理的證明嚴格地依賴於選擇公理。更為具體的，把一個球分解成有限份再重組成兩個一模一樣的球，若要完成這件事，這個分割的構造必須依賴選擇公理，而沒有辦法直接地寫出。這種分解的方式只在數學上假設了其存在，但在現實生活中是無法完成的。這是我們説盡管 Banach-Tarski 定理成立，你也無法真正把一個蘋果切成有限份再拼湊成兩個一模一樣蘋果的原因。因此，當你真的身臨絕境，還是不要鑽研數學了，好好學習農業，精通果樹種植技術才是務實的選擇！

自由羣

具體構造

終於，講完上述的所有要素，我們可以來敍述 Banach-Tarski 定理的證明了。需要做如下幾步：

證明之後

回到主題 Banach-Tarski 定理，給出了它的證明後數學的工作就完成了嗎？並不如此。我們知道了它的證明，但仍不能完全解決我們最開始聽到這個命題後所產生的懷疑。現在，就讓我們回過頭來重新想想它被稱為“悖論”的原因。

如我們一直強調的那樣，Banach-Tarski 的結論是一個定理，之所以在很多情況下稱其為悖論，是因為它的結論與我們的幾何直觀並不相符。在這種情況下，我們至少有兩種可能的選擇：接受現有描述幾何對象的框架，調整我們的幾何直觀；或者尋找一個新的描述幾何對象的框架，使得 Banach-Tarski 定理或類似的現象能夠得到一個更加直觀地解釋。

但幾何空間的性質真的可以完全被還原成它所包含的點的性質嗎？我們能不能直接地描述一個幾何空間的性質而不借助構成它的點呢？若回到古希臘時代，對這個問題的答案應該是肯定的，且我們對幾何對象的理解也定與現在不盡相同。那時，儘管直線和平面中都包含很多個點，但古希臘的數學家們並不傾向於把直線或平面理解成由許多點構造而成，而是將其自身看待為一個獨立的幾何對象來理解。

現代數學便有一個分支，以此為出發點來研究幾何物體。為了突出“點”在這個進路中所具有的次要地位，在英文中它被稱為 point-less topology（拓撲學大家 Peter Johnstone 在1983年寫過一篇有名的文章 The Point of Point-less Topology），在中文世界對這一數學分支的翻譯和資料都較少，或許可直譯為無點拓撲或意譯為直接拓撲（當然，這樣的譯法不具有權威性）。顧名思義，在直接拓撲中，定義幾何對象的方式是直接從其拓撲所具有的幾何信息出發，而一個空間中點的概念則是隨後根據其幾何信息構造而成的。特別的，直接拓撲擴充了現有幾何空間的概念，因為其內存在沒有任何點的非平凡幾何對象。

若採取直接拓撲的進路，則歐氏空間中任何一個子集都會是可測的，且對於那些在經典測度論中的可測集，兩種方式所定義的測度是一樣的。從這個角度來看，直接拓撲或許更符合我們對幾何對象直觀的理解。

結語

事實上，直接拓撲的進路能夠極大地降低我們對選擇公理的依賴，使得我們不再使用那些選擇公理假設其存在卻永遠無法直接判定的數學對象。因此，直接拓撲和構造主義數學（constructive mathematics）也有很深的聯繫。不過礙於篇幅，沒有辦法在這篇文章中向大家介紹更多有關直接拓撲的內容了，就留到下次吧！

在本文的最後為大家介紹直接拓撲的內容，並不是想説明直接拓撲的進路就構成了我們對 Banach-Tarski 定理或是對幾何空間最終的理解。而只是想強調，數學並不是一件非黑即白的事業，其遠遠不侷限於對一個命題的證明，或者解決一個具體的問題。更為重要的，是要找到更為合適的數學語言，使得我們看待問題的方式更加自然更符合直觀。當我們找到一個好的數學框架，許多問題往往就迎刃而解了。在兩種不同的框架下對 Banach-Tarski 定理的理解便是一個很好的例子。

數學的使命從來不僅僅是言説真理——真的命題其實隨處可見，但我們不會見到將形如“如果 1+1 = 2 那麼 3 + 3 = 6”或“如果 1+1 = 3 那麼 2+2 = 3” 這樣邏輯上為真但毫無意義的命題收集成冊的數學書。數學對真理是有選擇的，它總是以或審美或應用的角度來闡述那些它認為“重要”的真理。在數學中，言説哪些真理、如何言説真理或從什麼角度言説真理才是更長遠的問題——數學是人類的創造，是一門藝術，和人類的審美息息相關，而不僅僅是對真理的發現。

本文原文發表於“水木邏輯”公眾號，經作者重新修訂發表於返樸。

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