量子阻挫的“絃音”_風聞

撰文 | 撥絃人

對那些 2000 年初畢業的物理人來説，《超弦演義》毫無疑問是當時非常流行的一本科普讀物。李淼老師的這本著作，不僅對超弦理論有很好的圖像化描述，同時也於其中夾雜了對中國超弦理論發展的回顧和思考。不同於粒子物理學家，弦論學家將粒子進一步分解為“弦”的無限薄的一維物體。這些一維物體不同的振動模式，對應着基本粒子的屬性——質量、電荷等。而粒子間相互作用，則通過弦間的分合來實現。這裏，需要指出，因為弦的長度比普朗克長度還小，實驗驗證“弦”的存在幾乎不可能。

與此同時，凝聚態物理的演生論認為：相互作用的那些基本單元，它們集合所形成的大實體會擁有那些基本單元所不具有的特性。可以簡單地認為：物理系統經常拿來作為公理用的“線性疊加原理”在這裏不適用了。在量子多體系統中，物理人根據這一思想的指導，還真的找到了許多演生 (emergent) 的點狀拓撲激發。這些激發中，有些與標準模型中的基本粒子相對應。

圖1. 學生坐座位類比一維反鐵磁鏈上的拓撲激發 (塗色區域)。

那麼，“弦”是否也能通過演生來實現呢？想像一個由大量“弦”組成的系統：由於弦是一維的，一維弦具有比零維的粒子多得多的自由度，它們既有內部的振動，也能相互作用。由此，弦演生所帶來的物理，也將比粒子演生帶來的物理豐富得多。筆者們作為理論物理熱愛者，基於各種機緣巧合，進入了量子多體物理的領域。然而，我們卻在無心之中，機緣巧合地撥動了量子阻挫這把“妙琴”，聆聽到美妙的“絃音”。

故事的主人公，是非常著名的伊辛模型，其哈密頓量為：

對於鐵磁相互作用 J < 0，最低能量要求自旋成平行排列；而對反鐵磁相互作用 J > 0，自旋則反向排列；由此形成了我們熟知的自旋構型。

不過，實際體系，未必如此理想化。為説明簡單起見，考慮一個卡通系統：類比於當下疫情，如果在幼兒園裏，小朋友為了保證社交距離，需要隔位就坐，那麼就會形成類似於一維反鐵磁序的結構。然而，如圖 1 所示，如果一開始某位同學坐錯了位置，產生了兩個空位 (橘色空位)。如果想要回到原來的坐序，就需要很多同學集體挪動。這就表明，此類局域結構 (點缺陷) 具有拓撲特性，即需要通過全局構型的改變才可以使其消失或產生。

在磁性系統裏面，這樣的點拓撲激發，被稱為自旋子激發 (spinon)。

圖2. 左側圖表示了正方晶格如何通過局域能量最低實現全局的反鐵磁序。右側圖表示具有幾何阻挫的三角晶格上，局域能量最低導致基態的宏觀簡併性。例如，圓圈標記的自旋可以在不破壞三角形規則的基礎上任意選擇方向。

維度更高時，拓撲激發模式會變得更加豐富多彩。除了維度提高帶來的自由度外，幾何阻挫的存在也對激發貢獻卓著。所謂幾何阻挫，是系統無法通過固定自旋排布來實現局域能量最低的現象。例如，如圖 2 所示，對正方晶格，反鐵磁相互作用會使每一個連鍵上自旋反平行排列，點陣因此進入到總簡併度為 2 的反鐵磁態。與其不同的是，對三角晶格而言，三角形上的三個自旋，無法在每個邊上形成反平行排列。因此，局域能量最小的要求是兩個反鐵磁加一個鐵磁排列。這個約束，稱為三角約束，對應於自旋冰材料中的冰規則 (ice rule) [1]。滿足三角約束的構型並不唯一，如圖 2 右側所示，圓圈標記的位置處，自旋可上下任意選擇。瓦尼爾在 1950 年嚴格求解出這一體系的基態簡併度，對應的平均熵約為 0.3383R[2]。因此，三角晶格上，伊辛模型的基態是完全無序的，具有宏觀簡併性。

有趣的是，這樣的宏觀簡併性，可以被橫向磁場 (-ΔSx) 破壞掉。所謂橫場，可以理解為量子漲落，由此量子效應就偷偷摸摸進來了。可以想象，對應於圖 2(右) 中圓圈標記的位置，在橫場影響下，會變成自旋向上與向下的疊加態。如此，點陣在整體上喪失了平移對稱性，系統進入到被稱為時鐘態 (clock phase) 的量子相。

這種在無序的簡併基態中誘發出有序量子相的機制，被稱為 order from disorder。近期的一些有關稀土化合物的工作，再次帶動了對磁性模型的深入研究：例如，對銩鎂鎵氧 (TmMgGaO4, TMGO) 的系列研究[3, 4]，充分揭示了描述其低能激發的有效模型，必須是一個次近鄰相互作用 Jʹ 不能忽略的、自旋 1/2 三角晶格橫場伊辛模型。然而，筆者利用最先進的數值計算方法之一——量子蒙特卡洛方法 (詳見：瞧！這些發明算法的人) ，對其動力學譜函數進行了數值模擬。模擬揭示，在降低橫場後，原來的能譜分成了上下兩支 (如圖 3c)。這一無心之舉，卻撥動了量子的“絃音”。

圖 3. 不同橫場 Δ 下的能譜。稀土材料 TMGO 對應的參數：(a) Δ = 0.54、Jʹ = 0.05；(b) Δ = 0.35、Jʹ = 0.035；(c) Δ = 0.20、Jʹ = 0.02。隨着橫場降低，高、低能模式變得清晰分明。

圖4. 左側為條紋相 (stripe phase) 的自旋構型。中間是單個弦激發的自旋構型。右側是橫場導致的弦的量子漲落。

行文至此，估計絕大多數讀者幾乎要憤然離場了，因為筆者就好像説書人一般，賣了很多關子，卻不把最精彩的説出來。切勿着急，且聽筆者講講“弦”在何處。

事實上，在次近鄰影響下，系統的簡併性被完全“凍”住，其基態變成了圖 4(左) 所示的條紋相 (stripe phase)。之後，如果把右側自旋全部反向，就會發現構型並沒有破壞三角約束。如圖 4(中) 所示，兩側不同的構型中間出現了一條弦。而圖 4(右) 表明橫場會使弦內部的折角發生扭動，進而改變弦的形狀。這就是説，量子漲落改變了弦的形狀，使其成為——量子弦！

量子弦振動對應的能量尺度，大概是在橫場強度 Δ 附近，也就是低能的那一支。那麼，高能區中接近伊辛反鐵磁相互作用的那一支，又是來自於何種激發呢？從圖 5(左) 可以看出，這一支對應於破壞三角規則的激發形式。這樣的點缺陷，是二維的自旋子激發，呈現出分數化的特性，必須成對出現。並且，這一對自旋子，還需要通過量子弦連接在一起。行文到此，我們終於探尋到譜線中分屬高能、低能分支的物理源頭。貌似故事到此就應結束了，然而，“絃音”卻比想象的更加豐富。

對一根“弦”來説，最直接的運動模式，便是內部的振動。這樣的振動模式，可以被定量化描述。如圖 6 (左) 所示，可以將弦的左 (右) 向映射為有效“自旋”上 (下)，則橫場導致的弦折角扭動就對應於近鄰有效“自旋”的交換作用。那麼很自然地，弦的內部振動便可以用一維 XY 相互作用的自旋模型來描述[5, 6]。該模型可以通過 Jordan – Wigner 變換，映射到無相互作用的費米子模型，從而嚴格求解。其激發譜，是以正弦曲線為包絡線的連續譜。從圖 6 (右) 可以看出，量子弦的振動模式，確實與 XY 模型的模式 (虛線) 保持一致。這也同時表明，量子弦的內部振動模式也伴隨着分數化 (弦折角乃一維拓撲缺陷上的點缺陷，妙！)。

圖 5. 左側為自旋子激發對應的自旋構型；右側是重新回顧弱橫場下的譜，其中高能模式對應自旋子分支 (spinon branch)，而低能模式則是弦分支 (string branch)。

圖6. 左側為量子弦和一維自旋鏈的映射關係；右側是與弦方向平行的激發譜，其中虛線是自旋鏈上的上下包絡線。

在弦理論中，如果跳出普朗克長度，則每個弦都是一個基本粒子。同樣地，由於弦之間不能重疊，多條弦的出現將導致彼此限制振動的空間、促使體系能量相應上升、誘發弦與弦之間產生有效的排斥作用。正如圖 7(左) 所示，二維繫統中多弦的集體行為，就變成了準長程相互作用下的一維費米子系統，意味着可能會出現量子弦的 Luttinger 液體集體激發模式。奇妙的是，如圖 7 所示，能譜結果確實與 Luttinger 液體的能譜非常相似。這種一維拓撲激發的集體行為，不由得讓人感嘆演生論的豐富內涵。

迴歸實驗本身，通過算符定義，我們可以成功剝離量子弦和自旋子的貢獻。如圖 8 所示，對 TMGO 中對應的能譜，自旋子和量子弦模式在很多地方已經混合成一支，看不分明瞭。這也就解釋了實驗中探測不到量子弦相關激發模式的結果。雖然在實驗上無法區分，但通過數值計算可以看到，在某些能級相同的區域，激發中既有自旋子的貢獻，也有量子弦的貢獻。點狀拓撲激發——如自旋子、任意子、馬拉約納 (Majorana) 費米子等——的演生，在物理學的各個領域產生了重大影響。毫無疑問，高維的演生激發，則具有更為豐富的內部自由度以及相互作用形式。這把由量子“弦”組成的“琴”，正待物理人彈奏出動聽的旋律。

最後，筆者還有一些感慨：物理世界豐富多彩，物理人從事的方向也各不相同，但物理學大道至簡、九九歸一的樸素精神是普適的。當年，眾多大神由高能物理初轉凝聚態領域時，紛紛將很多新思想引入進來，帶來凝聚態物理的興起。筆者也許沒有那樣的功底和能力，但願在紛繁複雜的凝聚態領域內，能找到一些精簡的理論、描述普適的規律。

我們的這些觀點和討論，近期發表在《npj Quantum Materials》。有興趣的朋友，請移步拙文[7]，關注其中更多細節。

圖7. 左側為多條量子弦，其可以等效看作排斥相互作用的一維費米子；中間是垂直於弦方向的能譜，可以看出其與右側 Luttinger 液體有非常相似的能譜結構。

圖8. (a) 稀土材料 TMGO 對應參數下的能譜，(b) 破壞三角形規則的自旋子貢獻和(c) 不破壞三角形規則的量子弦貢獻。

參考文獻

[1] Castelnovo, C., Moessner, R. and Sondhi, S. L., Magnetic monopoles in spin ice, Nature 451, 42 - 45 (2008)

[2] Wannier, G. H., Antiferromagnetism, the triangular Ising net, Phys. Rev. 79, 357 (1950).

[3] Shen, Y. et al., Intertwined dipolar and multipolar order in the triangular-lattice magnet TmMgGaO4, Nat. Commun. 10, 4530 (2019)

[4] Li, H. et al., Kosterlitz-Thouless melting of magnetic order in the triangular quantum Ising material TmMgGaO4, Nat. Commun. 11, 1111 (2020).

[5] Zhang, X.-F. and Eggert, S., Chiral edge states and fractional charge separation in a system of interacting Bosons on a kagome lattice, Phys. Rev. Lett. 111, 147201 (2013).

[6] Zhang, X.-F., Hu, S., Pelster, A., and Eggert, S., Quantum domain walls induce incommensurate supersolid phase on the anisotropic triangular lattice, Phys. Rev. Lett. 117, 193201 (2016)

[7] Zhou, Z., Liu, C., Yan, Z., Chen Y. and Zhang X.-F., Quantum dynamics of topological strings in a frustrated Ising antiferromagnet, npj Quantum Materials 7, 60 (2022) [https://www.nature.com/articles/s41535-022-00465-3]

開弦我世界，一枝可成琴

備註

(1) 筆者：周正、劉長樂、嚴正、陳焱、張學鋒。

(2) 這幾位筆者，每一位都是理論物理個體，其自身的維度還遠不止一維。現在，這些人聚攏一處，形成高維的“弦”聚體，那豈不是天地都帥翻了？！這也是演生物理的意義。

(3) 置於文尾的書法“開弦我世界，一枝可成琴” (也是封面)，乃青年書法家趙韜與作者之一張學鋒於某日、堯寶齋中暢談物理，即興潑墨所作。

本文經授權轉載自微信公眾號“量子材料QuantumMaterials”。

特 別 提 示

1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閲不同主題系列科普文章。

2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回覆四位數組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。