從數學的角度思考，二次元的“次元”是什麼？_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2022-08-09 10:57
編譯 | 馮千格
現在我在辦公桌前寫作，向上伸手可以打開台燈，向下則能從抽屜裏拿出鋼筆。當我往前伸出手臂，一個奇怪的小雕像拂過指尖，那是姐姐送給我的幸運符，而往後伸手，觸手可及的是一隻蜷在我背上的黑貓。我的左邊是一疊必須處理的賬單和信件，右邊是我文章的研究札記。上、下、前、後、左、右：置身這個三維的個人世界中，座標軸線透過辦公室的直線結構無形地投射到我身上，它由三個相連的直角定義，就像大多數西方建築一樣。
我們的建築、教育和字典都告訴我們空間是三維的。《牛津英語詞典》將三維空間定義為“一個未被佔用的連續區域……擁有高度、深度和寬度三個維度，所有事物都在其中存在和移動。”早在18世紀，伊曼紐爾·康德（Immanuel Kant）就認為三維歐幾里得空間具有先天必然性，而隨着計算機生成的圖像和電子遊戲不斷佔據當今人們的生活，我們也不斷地受到似乎已經公理化的直角座標網格的影響。從 21 世紀的角度來看，空間的三維特徵似乎更是不言而喻的。
然而，西方文化的一項根本性革新提出了我們生活的空間可以具有任何數學結構的概念，這預示了人們從前對現實本質的固有認知將會被顛覆。儘管它的誕生經常被描述為向用機械論描述自然現象的過渡，但可以説現代科學更重要，當然也是更歷久彌新，是它導致了我們將空間看作幾何構造的概念性轉變。
在過去的一個世紀裏，對如何描述空間幾何形狀的探索已經成為理論物理學的一項重大課題，從阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）開始，科學家們試圖將自然界所有基礎的力解釋為空間形狀的意外產物。雖然在局域上我們習慣認為空間具有三個維度，但廣義相對論描繪了宇宙的四維圖景，而弦論則説它有10個維度——如果你採用被稱為M理論的擴展版本，則有11個維度。M理論在26維空間中存在很多變體，近來它對24維空間的描述引起了理論數學家們的極大興趣。但是這些“維度”是什麼？我們所談論的10維空間到底意味着什麼？
為了以現代數學的思維模式來思考空間，我們首先必須將其視為物質可能佔據的某種領域。至少，“空間”必須被認為是某種延伸的東西。雖然這對我們來説是顯而易見的，但亞里士多德（Aristotle）卻對這種觀點深惡痛絕，而他對物質世界的理解在古典時代晚期和中世紀一直是西方思想的主流。
嚴格來説，亞里士多德的物理學不包括空間理論，只包括位置的概念。比如一個放在桌子上的杯子，對於亞里士多德來説，杯子被空氣包圍着，空氣本身就是一種物質。在他的世界圖景中，沒有所謂的“空”，只有一種物質——杯子，與另一種物質——空氣，之間的界限。桌子同樣可被看作一種物質。對於亞里士多德來説，“空間”（如果你想這樣稱呼它的話）只是杯子和它與它周圍的物質之間無限小的界限，沒有延伸的概念，其他物質就不可能佔據它。
在亞里士多德幾個世紀前，留基伯和德謨克里特（Leucippus and Democritus ）提出了一種現實理論，它本質上包含着一種空間化視覺的啓用——一種“原子”的視覺，即物質世界是由在虛空中移動的微小粒子（即原子）組成的。但亞里士多德拒絕接受原子論，他聲稱虛空的概念在邏輯上是不連貫的。亞里士多德説，根據定義，虛空不可能“存在”。如何反駁亞里士多德對虛空概念的否定，以及更進一步對空間延展性的否定，將是幾個世紀的巨大工程。直到17 世紀早期，伽利略和笛卡爾（Galileo and Descartes）將空間的延展性作為現代物理學的基石之一，這一創新願景才得以實現。正如美國哲學家埃德温·伯特（Edwin Burtt）所説，在這兩位思想家的觀點中“物理空間的概念被假定為與幾何概念相同”——也就是現在學校裏教授的三維歐幾里得幾何（Euclidean geometry）。
早在物理學家接受歐幾里得的觀點之前，畫家們就開始嘗試開創一種符合幾何學的空間概念，正是由於他們，我們才在概念框架中實現了這一顯著的飛躍。在中世紀晚期，柏拉圖和畢達哥拉斯（Plato and Pythagoras），作為亞里士多德的主要思想對手，影響了一種新的觀點在歐洲的誕生和傳播。這種觀點認為上帝創造世界時依據的是歐幾里得的幾何定律，因此，藝術家若想真實地描繪這個世界，就應該在表現策略上效仿造物主。從 14 世紀到 16 世紀，喬託（Giotto），保羅·烏切洛（Paolo Uccello），皮耶羅·德拉·弗朗切斯卡（Piero della Francesca）等藝術家開發了後來被稱為透視法的技術——一種最初被稱為“幾何學繪圖”的作畫風格。通過有意識地探索幾何原理，這些畫家逐漸學會了如何在三維空間中構建物體的圖像。在這個過程中，歐洲人受到他們的影響，逐漸開始以歐幾里得的思維理解空間。
歷史學家塞繆爾·埃哲頓（Samuel Edgerton）在《喬託幾何學的遺產》（1991）中講述了這一向現代科學的非凡過渡，他指出，亞里士多德對空間的認識被推翻是一個緩慢而間接的過程，當人們站在透視畫前，本能地感覺到他們彷彿正在“透視”牆另一邊的三維世界時，這一轉變就這樣不易察覺地發生了。當哲學家們和原始科學家們正謹慎地挑戰亞里士多德關於空間的戒律時，藝術家們通過訴諸感官在這一領域另闢了一條不同尋常且更為激進的道路。從字面上看，透視是一種虛擬現實的形式，就像今天的VR遊戲一樣，它旨在讓觀眾產生一種錯覺，以為自己已經被傳送到了另一個幾何上連貫、心理上可信的世界。
“實”的結構從一個哲學和神學問題變成了一個幾何命題
The structure of the ‘real’ went from a philosophical and theological question to a geometrical proposition
虛幻的歐幾里得空間對透視的表達逐漸烙印在歐洲人的意識中，這一空間也被笛卡爾和伽利略奉為現實世界的結構。值得補充的是，伽利略本人接受過透視訓練。他描繪深度的能力在他開創性的月球畫中得到了突出的展現，畫中不僅描繪了山脈和山谷，還暗示了月球與地球相同的堅硬的材質。
通過透視圖像的空間特性，伽利略可以推演炮彈之類的物體是如何根據數學定律運動的。空間本就是一種抽象——一個既沒有特徵也沒有變化，既不可觸碰也不可感知的虛空，它唯一可知的屬性就是它的歐幾里得形式。到了17 世紀末，艾薩克·牛頓（Isaac Newton ）將伽利略的視野擴大到將整個宇宙包括在內，從此空間變成了一個潛在的無限三維真空——一個巨大的、無質量的、永遠向各個方向延伸的虛象， “實”的結構從一個哲學和神學問題逐漸轉變為一個幾何命題。
從前，畫家們使用數學工具開發了構建圖像的新方法，而到了“科學革命”的黎明，笛卡爾發現了另一種內化數學關係的圖像構建方法。在這一過程中，他規範了維度的概念，並給我們的意識注入一種看待世界的新方式，一種進行科學研究的新工具。
今天，幾乎每個人都能在笛卡爾平面的圖像中認識到他的天賦異稟——一個標有 x 和 y 軸的矩形網格，以及一個座標系。
以先前的圖示為例，很容易得出添加第三個軸的方式。因此，用 x、y 和 z 軸，我們可以描述出球體的表面——比如一個沙灘球的外皮。這裏方程（對於半徑為 1 的球體）變為：x^2 + y^2 + z^2 = 1
但為什麼止步於此呢？如果增加上第四個維度呢？稱這一維度為p。現在可以給我所謂的位於四維空間中的球體寫出一個方程：x^2 + y^2 + z^2 + p^2 = 1。我不能為你畫出這個物體，但在數學上增加另一個維度是合理的，“合理”意味着這樣做在邏輯上沒有任何矛盾——沒有理由不能這樣做。
“維度”變成了一個純粹的象徵性概念，與物質世界沒有任何必然聯繫。
A ‘dimension’ becomes a purely symbolic concept not necessarily linked to the material world at all.
我們可以繼續增加更多維度。如果在五維空間中定義了一個球體，它有五個座標軸 (x, y, z, p, q)，可以得出等式：x^2 + y^2 + z^2 + p^2 + q^2 = 1。而在六維空間中：x^2 + y^2 + z^2 + p^2 + q^2 + r^2 = 1，依此類推。
雖然更高維的球體可能很難想象，但可以象徵性地描述它們。理解數學史的一種方式就是逐漸認識到哪些看似顯而易見的事物實際上是可以超越的。這也是查爾斯·道奇森（Charles Dodgson），又名劉易斯·卡羅爾，在《愛麗絲夢遊仙境》（1871 ）中所意指的，他讓白女王宣稱她有能力在早餐開始前讓自己相信“六件不可能的事情”。
在數學上可以選擇任意維數來描述一個球體，我所要做的就是不斷添加新的座標軸，數學家稱之為“自由度”。按照慣例，它們被命名為 x1、 x2、 x3、 x4、 x5、 x6等等。正如笛卡爾平面上的任何點都可以用兩個 (x, y) 座標來描述，17 維空間中的任何點都可以用 17 個座標的集合來描述：(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 … x15 , x16 , x17 ). 在這樣的多維空間中，這樣的球體表面通常被稱為流形（manifolds）。
從數學的角度來看，一個“維度”無非是另一個座標軸（另一個自由度），它最終變成了一個與物質世界沒有必然聯繫的純符號概念。在 1860年代，富有創新思維的邏輯學家奧古斯都德摩根（Augustus De Morgan，其工作影響了劉易斯卡羅爾）從該領域日益抽象的觀點總結出結論，指出數學純粹是“符號科學”，除了自身不必與任何事物相關。從某種意義上説，數學是在想象中得到全部自由的邏輯。
不像可以在思想領域自由發揮的數學，物理學與自然密切相關，至少在原則上，它與物質世界相聯繫。然而，這一切都帶來了一種更自由的可能性，因為如果數學允許超過三個維度的存在，並且我們認為數學對描述世界很有作用，那麼為什麼要把物理空間的維度僅僅限於三個呢？儘管伽利略、牛頓和康德都認為長度、寬度和高度的選擇不言自明，但我們的世界難道沒有更多的維度嗎？
再一次，超過三個維度的宇宙概念也是通過藝術媒介，大多數情況下是文學推測，注入公眾意識的，其中最著名的是數學家埃德温·阿伯特（Edwin A Abbott）的《平面國》(1884)。這部引人入勝的社會諷刺小説講述了一個生活在平面上的不起眼的方形的故事，一天一個三維的存在，球體勳爵，拜訪了他，並將他帶入了宏偉的固體世界。在這個立體的天堂裏，方形看到了自己的三維版本，立方體，並開始夢想推進到第四、第五和第六維度。為什麼不是超立方體？或許還有一個超超立方體呢？
可悲的是，回到平面國後，方形被視為瘋子，被關進了瘋人院。與它所啓發的一些充斥着糖精的動畫和改編不同，這個故事的獨特之處，是它認識到鼓吹社會常規慣例所帶來的危險。在方形為空間的其他維度爭論的同時，他也在為其他維度的存在辯護——他是一個數學裏的酷兒。
在 19 世紀末和 20 世紀初，大量作家（赫伯特·喬治·威爾斯，數學家和科幻作家查理·辛頓，他為 4D 立方體創造了“tesseract”這個詞）、藝術家（薩爾瓦多·達利）和神秘思想家（彼得·鄔斯賓斯基），探索了關於第四維度的想法，以及第四維度對人類的意義。
隨後在1905年，一位名叫阿爾伯特·愛因斯坦的不知名物理學家發表了一篇論文，將現實世界描述為一個四維環境。在他的“狹義相對論”中，時間被添加到空間的三個經典維度中。在相對論的數學形式裏，這四個維度是聯繫在一起的，時空一詞第一次進入了我們的詞典。而這種組合絕不是隨意的，愛因斯坦發現，沿着這個方向進一步探究，一個強大的數學機置應運而生，它超越了牛頓的物理學，能準確地預測帶電粒子的行為。只有將世界契合到四維模型中，電磁學才能得到全面而準確的描述。
相對論遠不僅是一種文學遊戲，尤其是當愛因斯坦將其從“狹義”理論擴展到“廣義”理論時。現在，多維空間充滿了深刻的物理意義。
在牛頓的世界圖景中，物質在自然力，尤其是重力的影響下，在時間內移動。空間、時間、物質和力量是現實的不同範疇。而通過狹義相對論，愛因斯坦證明了空間和時間的統一性，從而將基本的物理範疇從四個減少到三個：時空、物質和力，廣義相對論則更進一步將引力納入時空結構本身。從 4D 的角度來看，重力只是空間形狀的產物。
為了理解這種不同尋常的情況，讓我們暫時想象一下它的二維模擬。想象一個蹦牀，在它的表面上畫着一個笛卡爾網格，現在把一個保齡球放到網格上。保齡球周圍的表面會伸縮變形，因此一些點與點之間的距離會變得更遠，這樣，空間內固有的距離測量就被擾亂而變得不均勻了。廣義相對論認為，這種變形就是太陽這樣的重物體對時空造成的影響，在此影響下，實際時空與笛卡爾理想中的空間之間的偏差導致了我們體驗到的引力現象。
在牛頓的物理學中，引力是憑空出現的，而在愛因斯坦的物理學中，引力是自然地從四維流形的固有幾何中產生的；在流形變形最大、偏離笛卡爾規律最多的地方，感受到的重力最強，這有時又被稱為“橡膠板物理”。巨大的宇宙力使行星繞着恆星運行，恆星繞着星系運行，但在愛因斯坦物理學中，這都只不過是空間扭曲的副作用，而重力實際上是運動中的幾何學。
如果進入四維空間有助於解釋引力，那麼在五個維度中思考是否有某些科學優勢呢？何不嘗試一下呢？一位名叫西奧多·卡魯扎（Theodor Kaluza）的年輕波蘭數學家在 1919 年問道，他認為如果愛因斯坦能將引力內化到時空中，那麼也許可以用另一個維度類似地將電磁力解釋為更高維時空幾何的產物。因此，克魯紮在愛因斯坦方程中添加了另一個維度，令他高興的是，他發現在五個維度中，兩種力都很好地成為了幾何模型的產物。
你就像一隻在細長的軟管上奔跑的螞蟻，從未意識到腳下小圓圈的維度
You’re an ant running on a long, thin hose, without ever being aware of the tiny circle-dimension underfoot
雖然在數學上能完美契合，但額外維度的問題在於它似乎與任何特定的物理性質無關。在廣義相對論中，第四維度是時間；在卡魯扎的理論中，第五維度卻不是任何可以指向、看到或感覺到的東西：它只存在於數學中。甚至愛因斯坦也對如此虛無縹緲的創新猶豫不決。它是什麼？他問。它在哪裏？
1926 年，瑞典物理學家奧斯卡·克萊因 (Oskar Klein)，回答了這個問題——以一種聽起來像是直接從仙境中走出來的方式。想象一下，他説，你是一隻生活在又長又細的軟管上的螞蟻，你大可以沿着軟管來回奔跑，但不會意識到腳下的小小的圓形維度，只有擁有強大螞蟻顯微鏡的螞蟻物理學家才能看到這個微小的維度。根據克萊因的説法，在我們所處的四維時空中，每個點都有一個像這樣的的空間圈，但它太小了，我們看不到——它比原子還小許多數量級，難怪到目前為止會被我們錯過。只有擁有超強粒子加速器的物理學家才有希望看到如此微小的尺度。
一旦克服了最初的震驚，物理學家很快就被克萊因的想法迷住了。在 1940年代，這個理論在數學上得到了詳盡的闡述，並被應用於量子條件中。不幸的是，新維度無限小的規模讓我們無法想象如何通過實驗驗證它。在克萊因的計算中，這個小圓圈維度的直徑只有10^（-30）cm，相比之下氫原子的直徑是10^（-8） cm，所以我們所要研究的維度是比最小的原子還小20多個數量級的東西。即使在今天，如此微小的尺度也是很難看到的。於是，這個想法就漸漸不再風行了。
然而，卡魯扎並不是一個容易被嚇倒的人。他相信他的第五維度，也相信理論指導實踐的力量，於是他決定進行自己的實驗。他選擇了用游泳這個題目證明自己。卡魯扎不會游泳，在閲讀了所有關於游泳理論的內容後，他覺得自己原則上已經掌握了這項水上運動。他由家人護送到海邊，把自己投身於海浪中，你瞧，他真的可以游泳。在卡魯扎看來，游泳實驗支持了理論的有效性，雖然他沒有活着看到他所鍾愛的五維空間的勝利，但在1960年代，高維空間的想法再次引起了弦理論家們的注意。
在1960年代，物理學家發現了另外兩種自然力，都是在亞原子尺度上作用的。這兩種力分別被稱為弱核力和強核力，它們造成了某些類型的放射性並將夸克聚集在一起形成構成原子核的質子和中子。在1960年代後期，隨着物理學家開始對弦論這一新的學科的探索（它假設粒子就像在空間中振動的微小橡皮筋），卡魯扎和克萊因的想法重新浮現在人們腦海中，理論家們逐漸開始思考這兩個亞原子力是否也可以用時空幾何來描述。
事實證明，為了覆蓋這兩種力的作用機制，我們必須在數學描述中添加另外五個維度。這個數目的選取是沒有先驗原因的；同樣，這些額外的維度都與我們的感官體驗沒有直接關係，它們只存在於數學中。這就形成了弦理論十個維度的假設：存在着四個大尺度的時空維度（由廣義相對論描述），和六個額外的“緊湊”維度（一個用於電磁力，五個用於核力），所有這些維度都蜷縮在一個極其複雜、扭曲的幾何結構中。
物理學家和數學家花費了大量精力來理解這個微型空間可能呈現的所有可能形狀以及它們在現實世界中可能實現的替代方案。從技術上講，這些形式被稱為卡拉比丘流形（Calabi-Yau manifold），它們可以存在於任何偶數個的更高維度中。離奇複雜的造物以非凡的形態構成了多維空間中的抽象分類，它們的2D切片（它們外觀最直接的可視化）讓人想起病毒的晶體結構，這些流體看起來似乎擁有生命。
描述 10 維空間的弦理論方程有許多版本，但在20世紀90年代，來自普林斯頓高等研究院（愛因斯坦的老住所）的數學家愛德華·威騰（Edward Witten）聲稱，如果採用 11維視角，事情可能會有所簡化。他將自己的新理論稱為M理論，並神秘地拒絕説出“M”代表什麼。“M”通常被認為是“膜”的簡寫，但也有人認為是“矩陣”、“大師”、“神秘”或“怪物”。
我們的宇宙可能只是眾多平行宇宙中的一個，每個宇宙，都是廣闊的五維空間裏一個孤立的四維氣泡。
Ours might be just one of many co-existing universes, each a separate 4D bubble in a wider arena of 5D space
到目前為止，我們還沒有收集到證明這些額外維度確實存在的任何證據——我們仍然未能到達游泳物理學家夢想中的微型景觀——但弦理論已經被證明對數學本身有着強大的影響。最近，二十四個維度的理論版本揭示了數學中幾個主要分支之間出乎意料的聯繫，這意味着，即使弦理論在物理學中無法成功，它也會是一個豐富的純理論洞察力來源。儘管現實世界不太可能有 24 維，但在數學中，24維空間本身就是相當特殊的：神奇的事情可以在那裏發生，比如球體能以一種特別優雅的方式組合在一起。而對於我們所熱愛和已存的世界，大多數弦理論家認為10或11維就已經足夠了。
弦理論還有一個值得關注的發展。1999 年，麗莎·蘭德爾 (Lisa Randall，第一位在哈佛大學獲得終身教職的理論物理學家) 和拉曼·桑德拉姆 (Raman Sundrum，一位印度裔美國粒子理論家) 提出，在廣義相對論所描述的宇宙學尺度上，可能存在一個額外的維度。根據他們的“brane”理論——“brane”是“膜”的縮寫——我們通常所指的宇宙可能嵌在一個更大的五維空間，一種超級宇宙中。在這個超級空間中，我們的宇宙可能只是眾多平行宇宙中的一個，它們每一個都是一個獨立的四維氣泡，位於更廣闊的五維空間裏。
蘭德爾和桑德拉姆的理論很難被證實，然而，它也被視為現代天文學的曙光。五百年前的歐洲人除了自身之外，無法想象其他物理“世界”，但現在我們知道，宇宙中有數十億顆行星圍繞着數十億顆恆星運行。誰知道呢，也許有一天我們的後代可以找到關於其他數十億宇宙的證據，每個宇宙都有自己獨特的時空方程。
理解空間幾何結構的成就是科學的里程碑之一，但物理學家可能已經走到了這條路的盡頭。因為事實證明，在某種意義上，亞里士多德是對的——擴展空間的概念確實存在邏輯問題。儘管相對論取得了諸多非凡的成功，但我們知道，它對空間的描述不可能是最終級，因為它在量子水平上不能成立。在過去的半個世紀裏，物理學家一直試圖將他們在宇宙尺度上對空間的理解與他們在量子尺度上觀察到的東西結合起來，但沒有成功，似乎越來越多的人認為這樣的整合需要新的物理學。
在發展出廣義相對論後，愛因斯坦在裏餘生的大部分時間都在試圖“從空間和時間的動力學中構建所有自然法則，將物理學簡化為純粹的幾何”，正如普林斯頓高等研究所所長羅伯特·迪克格拉夫（Robbert Dijkgraaf ）所説：“對於他[愛因斯坦]，時空是無限科學系統中的天然基石。”和牛頓的世界圖景一樣，愛因斯坦的世界圖景將空間作為存在的主要基礎和所有事情發生的舞台。然而，在量子特性占主導地位的微小尺度上，物理定律表明我們以往所認為的空間可能並不存在。
一些理論物理學家正在形成一種觀點，即空間實際上可能是由某種更基礎的物質產生的，就像温度是分子運動產生的宏觀屬性一樣。正如迪克格拉夫所説：“目前的觀點認為時空不是起點，而是終點，是一個從複雜的量子信息中浮現的自然結構。”
加州理工學院的宇宙學家肖恩·卡羅爾（Sean Carroll）是新空間認知方式的主要倡導者之一，他最近提出，經典空間不是“現實結構最基本的組成部分”，並認為我們將這種特殊地位賦予它的四個或十、十一個維度是錯誤的。就像迪克格拉夫用温度作類比，卡羅爾提示我們濕度也很類似，它是由一種大量水分子聚集在一起而產生的現象。沒有一個單獨的水分子能產生濕度，只有它們聚集在一起時，濕度才會成為一個性質。因此，他説，空間是從量子水平上更基礎的事物中產生的。
卡羅爾寫道，從量子的角度來看，宇宙“在一個具有超過 10 (10^100)維度的數學領域中進化”——它是10的天文數字次方。很難想象這個幾乎不可能的龐大數量，已知宇宙中的粒子數量總和與之相比都相形見絀。然而，這其中的每一個維度都是量子方程描述的數學空間中一個單獨的維度，一個宇宙可以支配的一個新“自由度”。
即使是笛卡爾也可能會為他的願景所指向的方向，以及簡單的“維度”一詞所包含的令人眼花繚亂的複雜性而震驚。
本文經授權轉載自微信公眾號“熱知”，編輯：暮大河，原標題：《“迷人”的維度》。
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