攔截一發來襲導彈的數學、物理及其他_風聞

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

從前打仗燒錢，如今打仗還燒腦子。

——作者

摘要 21世紀的一個重要特徵是，哪怕是笑話也都有科技含量，沒有點兒數理底子還真捕捉不到笑點。近日寶島退將侯“一發導彈攔截成功率70%，三發一起攔截成功率210%”的高論，給這個平淡的夏日添了個超級笑料。然而，導彈攔截不是個簡單的概率計算問題，它還是物理問題和經濟問題。藉着品味這個笑話，我們不妨好好學習一些加法的基礎知識 ，以及描述飛行物體的物理知識。【前往“返樸”觀看視頻，視頻來源：中國網】

1 引 子

笑話年年有，今年更獨特。近些日子，有寶島退休將領侯做電視節目嘉賓時言道：“一發導彈攔截的成功率是70%，那我三發一起攔截，成功率就是210% 嘛，哪有攔不住的！” 有點兒常識的人瞬間捕捉到這是個大笑話，嚇得趕忙捧腹扶眼鏡。這笑話在華人圈一時間熱度飆到42℃。有人直言這位寶島退將的數學是體育老師教的，結果因為侮辱了體育老師被體育老師給打了。有寶島女嘉賓怒懟，“一發導彈攔截成功率70%，三發攔截成功率就是210%，照這麼説四杯25℃的水，倒在一起直接就沸騰嘍！”還有人從排列組合的角度，分別給出三發導彈中與不中八種不同組合的概率。這畫風轉換有點兒快，一個笑話竟然還引出一堂數學課來了。

既然有人關切，筆者也來湊個熱鬧，假裝很不嚴肅地好好討論一下這個問題：“設一發反導導彈對來襲導彈的攔截成功率為70%，那麼，三發一起攔截的成功率是多少？”

2 概率的數學初步

首先，alas，這個問題是錯的！對着來襲導彈發射一發反導導彈，結果就兩種：擊中或者沒擊中。用數值表示，就是1或者0，沒有成功率70%的説法。所謂的成功率為70%這種説法，是一種統計語言的描述，而統計是針對大數而言的。設用某型號導彈攔截某確定型號的來襲導彈，在相同條件下實驗了N次，其中成功了M次，則若N 足夠大，數值

可認定為該導彈攔截實驗的成功率。因此，正確的説法是用某型號導彈攔截某型號來襲導彈的成功率為多少，而不是用一發導彈攔截的成功率為多少。那麼，實驗次數

(觀察次數)， 或者用更一般性的術語，統計樣本數，多大才算足夠大呢？這個得看具體的研究對象了。比如，有一門物理叫統計物理，其涉及對象的樣本數動輒是10^23量級的；關於我國國民出生時體重的統計，樣本數是在10億的規模。至於反導導彈的成功率，要求實驗次數達100次計算的成功率才是可靠的，這在數學上不過分吧？但這從物理的角度看卻很過分。用100發反導導彈做實驗去獲得其成功率數據？你問問一般國力的國家買不買得起100發反導導彈？所以，某型號導彈攔截成功率的説法其實是個不很靠譜的説法。

好吧，退一步説，假設攔截成功率為70% 是個經過大數實驗得到的比較可靠的説法。70%成功率的攔截導彈可讓人不踏實。如果想提高攔截成功率，直覺的做法是多發幾發反導導彈，一發不行兩發，兩發不行三發……這就引出了一個問題，用n發導彈攔截，攔截成功率是多少？具體到本文關切的問題，攔截成功率為70%的某型導彈，3發導彈攔截一發來襲導彈，成功率是多少？

一種算法是，70% + 70% + 70% = 210%。210% > 100%, 結論：“那肯定就攔截成功了嗦！”這當然是個笑話。但是，這個笑話卻引出一個比較嚴肅的話題：“什麼樣的（物理）量是（代數）可加的？” 我們熟悉的長度、面積、體積、質量、兜裏的鈔票、物體數目等等是 (代數) 可加的。比如

3個+5個=8個

3米+5米=8米

3塊錢+5塊錢=8塊錢

3千克+五千克=8千克

就是我們熟悉的加法。但是，但是，千萬不要以為代數加法簡單。有學過普通物理的朋友會説電荷也是代數可加的（麥克斯韋的電磁學經典會有專門一節講關於電荷代數可加性的認識過程），3庫倫+5庫倫=8庫倫。然而，這裏有個大陷阱。電荷跟質量不同的地方在於它是極性的（polar），電荷分正負。-3庫倫+3庫倫=0 庫倫。一個區域內總電荷為 0 庫倫是沒有電荷嗎？你要這麼想就naïve 了。一個區域內總電荷為零，同一個區域內沒有電荷，是完全不同的兩種物理體系。就是錢財這個量，一旦被擴展到可取負值的情形，其加法也是可疑的。比如，某甲月收入3800元，某乙月進賬24833800元，欠賬24830000元，24833800+(-24830000)=3800，但前者是普通高收入階層，而後者屬於精英土壕階層。

熱力學會將物理量按照性質嚴格地加以區分。粒子數 N、體積 V、表面積A等是廣延量。兩個體系湊一起，相應的這些量可以代數相加，其分別對應的化學勢μ、壓強p、表面能σ則是強度量。強度量不能簡單相加。

前述寶島女嘉賓怒懟，“……照這麼説，四杯25℃的水倒在一起直接就沸騰嘍！” 這説明大家都知道温度是不能簡單相加的。在熱力學裏，温度T是個強度量，它對應的廣延量就是不懂的人特別願意使用的概念：熵 (S，entropy)。其實，温度是個統計量，很少有體系有明確的温度，但熵總是有的，且可以簡單相加。

本文關注概率問題，概率不能簡單相加！一般教科書裏處理的簡單概率問題，會用到與二項式展開 (p+q)^n 相關的楊輝三角 (Pascal triangle) 方面的知識。讓我們一起回顧一下。二項式展開 (p+q)^n 的前幾項如下：

注意右面各行的係數。再硬性(!)引入(p+q)^0=1 (這説明為什麼自然數要從0開始)， 就構成了大家熟悉的楊輝三角 (圖1) 。

圖1. 楊輝三角 (Pascal triangle)

設想 p 是某件事發生 (成功) 的概率，q 是某件事未發生 (不成功) 的概率，p+q=1。現在神奇的事情發生了。不管 n 是幾，(p+q)n=1都成立。這就是説，楊輝三角的每一行恰恰就是這類事件被重複考察n次時，相應的各種可能對應的概率。比如，對某事件實驗三次，則表達式 (p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3 的右側分別就是發生3，2，1，0次的概率；若對某事件實驗四次，則表達式 (p+q)^4=p^4+4p^3q+6p^2q^2+4pq^3+q^4 的右側分別就是發生4，3，2，1，0次的概率。是不是很簡單？

於是，關於“一發導彈攔截成功率為70%，三發導彈攔截的成功率是多少” 這事兒，有人會計算如下。參照表達式 (p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3 ，則三發皆中的概率為70%×70%×70%=34.3%，兩發中一發未中的概率為3×70%×70%×30%=18.9%；一發中兩發未中的概率為3×70%×30%×30%=44.1%。 三者相加，故攔截成功的概率為97.3%。或者， 攔截不成功的概率為 30%×30%×30%=2.7% ，則攔截成功的概率為100% -2.7%=97.3% 。簡單吧？

3 導彈攔截攔截是個物理問題和經濟問題

問題要是那麼簡單就好嘍。

學過概率論的人都知道，概率論是一門坑很多的學科，要不天下有開賭場致富的非法路徑呢。概率論不是簡單的拿個算式去算個數，要考慮問題的物理圖像，物理圖像，物理圖像！

先説説中學物理裏的常見的接燈泡問題（偽物理問題）。設有一種燈泡，接上電會亮的概率為 p=70% {按説就不該出廠}，問三個燈泡串聯和並聯的情形下（圖2），教室有亮光的概率各是多少？如果是串聯，有一個不亮就把整個電路斷了，所以教室被照明的概率是表達式 (p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3 右側的第一項，為34.3%；如果是並聯，但凡有一個燈泡是亮的就行，所以教室被照明的概率是表達式 (p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3 前三項之和，也就是 1-q^3 ，為97.3%。

圖2. 三燈泡並聯電路

三個燈泡並聯的問題， 與使用大炮轟擊一個目標的問題相同：三發炮彈齊發，但凡有一發轟擊到目標，即算達到目標。目標被摧毀的概率可以按照前述算法計算。這裏計算正確性的保證來自三發炮彈的獨立性。然而，關於三發導彈攔截一發來襲導彈成功率的計算，看似與三個燈泡並聯和三發炮彈齊發的問題相同，但實際上卻有很大的差別。

設若敵方有一發導彈來襲，且來襲導彈在飛行途中，這時的反導大概就是所謂的中段反導（圖3）。若時間還允許，攔截方式大概是發射一發，如果成功，事情到此為止；如果不成功，趕緊補發一發。為什麼不三發齊發呢？因為反導導彈太珍貴了，糟蹋不起。再者，導彈都是在高速運行中的，三發齊發又不能做到同時擊中來襲導彈，則若一發擊中來襲導彈（這是我們的追求和目標），其它兩發不是白浪費了。這又不是炮彈轟擊敵陣地，一發擊中，補中兩發算是加強打擊效果。當然了，實際測試反導導彈性能時，雙發齊發倒是真有的。三發齊發不是原則上不可以，而是實在沒那麼豪氣。

圖3. 反導實驗

如果敵方來襲導彈已經接近目標，這就是末段反導了。這時候的攔截務必要做到萬無一失，特別是為了保護高價值目標，為此可以不惜代價。這個階段的攔截手段一般使用近防炮。近防炮要形成一道動態的彈幕，讓一段時間內的來襲目標，哪怕是一發炮彈，都不能通過。為此，近防炮的關鍵指標是射速，一般在每分鐘6000發以上。我國新型船艦上使用的1130近防炮，射速超過每分鐘一萬發以上，射擊距離在3公里左右（圖4）。一分鐘一萬多發，速射十分鐘就是十多萬發。十萬發速射炮炮彈，你估計一下得多少錢？真打不起啊。

圖4. 艦載近防炮射擊中

4 來自反導的開悟

圖5. 導彈的變軌

首先，不管是導彈還是反導導彈，速度是硬道理。飛得夠快，才能追得上對手或者免於被對手追上。這就是我們的導彈追求高速的道理。據公開信息，我國東風17的速度約為10馬赫，東風41的速度可達25馬赫，這速度是槓槓的。然而，導彈的高性能不光在於速度，還在於高機動性。導彈在突襲或者反導的時候要能靈活地變軌，這要根據牛頓第二定律，

，其中力F由推進劑提供，可見動量是相關的物理參數。注意，對於速度在10 馬赫量級的導彈，其不僅沒有戰鬥部，在進入大氣層後它還會因為高速飛行被逐步燒蝕掉，所以導彈的質量很關鍵。發射時質量要足夠大，等到達目標時我們希望其還能剩個1公斤左右。接近目標後，導彈的毀傷能力則由動能表徵。大家不妨計算一下一個1公斤的導彈頭

(就是一塊金屬鎢)，速度為25馬赫時，動能是多少？這樣大家對它的威力就心裏有數啦！

5 多餘的話

寶島那位退將侯的概率論水平，有點可笑，但並不可怕。筆者遇到稍微深一層面的概率問題，比如條件概率，就大概率會立馬出錯。真正可怕的是，寶島退將侯這種水平的人是怎麼當上將軍的，是怎麼能上電視節目給別人分析問題的？21世紀，國家發展問題首先是個科學問題，軍事問題也首先是個科學問題，對此，我們要端正態度。

參考文獻

曹則賢，軍事物理學， 上海科技教育出版社 (2022).

出品：科普中國

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