陳建功：二十世紀的數學教育_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2022-09-07 11:13
我們即將跨入二十一世紀，在未來的新世紀中我國的數學教育必將會呈現新的面貌。然而新面貌不會自然產生，它需要我們理性的思考和積極的實踐。數學教育改革中，歷史的經驗值得注意，有識之士的意見是寶貴的。
陳建功先生（1893—1971）是我國現代數學家和數學教育家，中國科學院院士（原學部委員）。他的《二十世紀的數學教育》一文，發表於 1952 年 2 月的《中國數學雜誌》（1953 年後該雜誌改名為《數學通報》）第一卷第二期，當時正是新中國成立初期百廢待興的年代。在這篇文章中，作者懷着“切望我國的數學教育有更新的革新”的殷切心情，“以中等學校的數學為核心”，對二十世紀數學教育的原則，以及數學教學內容的改革等重要問題，提出頗有見地的意見。重讀陳先生的《二十世紀的數學教育》一文，對於迎接二十一世紀的數學教育十分有益。
近日文章發出後，有讀者提出缺少參考文獻，希望重新完善本文，於是經過編輯校對，將參考文獻補足重新排版如下。
來源 | 人民教育出版社
此地所説數學教育，以中等學校的數學為核心；關於高等學校方面的數學，和小學校的算術教育，不預備在此地有所詳述。本文説數學教育，以二十世紀的數學教育為主，讀了下文，自然明白。“他山之石，可以攻玉”，把外國的數學教育，羅羅嗦嗦説了許多的話。筆者切望着我國的數學教育有更一進步的革新。
支配數學教育的目標、材料和方法，有三大原則：
實用性的原則
數學在日常生活中已見其有其實用價值的；如土地改革運動中的分田量地問題，關於買賣、租税、保險、獎券的計算；酒瓶的容量，箱子的體積，都是數學的應用。不但如是，數學也是物質支配和社會組織之一武器，對於自然科學、產業技術、社會科學的理解、研究和進展，都是需要數學的。假如數學沒有實用，它就不應該列入於教科之中。
論理的原則
然而僅僅乎實用原則，不足以支配整個的數學教育。數學具有特殊的方法和觀念，組成有系統的體系。數學並不是公式的堆壘，其所用之方法，也具有教育上的價值。
斷片的推理，不但見諸任何學科，也可從日常有條理的談話得之。但是，推理之成為説理的體系者，限於數學一科。數學具有這樣的教育價值，稱之為論理的價值，是為説理的原則。假如把數學當做圖形集成或公式採編看待，忽視其方法和構造，那未，對於自然支配、社會組織，不但不成為一種武器，有時且成為有害的東西──例如將數學機械的亂用，導出不合理的結果。忽視數學教育論理性的原則，無異於數學教育的自殺。
心理的原則
然則上述兩原則足夠決定數學教育的本質麼？當然還不夠條件。教材的內容，對於學生宜富於興趣；枯燥無味的東西，決不能充作教材；於是乎有心理的原則。成人所喜之推理或實用問題，未必為未成年的青年所滿足。法國數學家H・龐加萊（Poincare）曾經説道：“有某教師在課室中，令學生們筆記‘圓周者，平面上於一定點等距離之點之軌跡也，’忠實的學生，記下來了；頑皮的學生，不但無興趣去記，甚至寫些別的不相干的東西。事實上，不論那一種學生，都尚未了解圓周為何物。後來，教師用粉筆作圓於黑板上，全班學生方才明白‘圓周原來是一個圓圈’。”科學家 A・愛因斯坦（Einstein）也説道：“學生僅管對於數學以外的事物，具有才能，對於數學可以朦昧無知。此種實情，其責任恐不能完全歸之於學生，甚至可以完全可以歸罪於教師。”吾人應該站在學生的立場；順應學生的心理發展去教育學生，才能滿足他們的真實感。某些教材，雖然具有高度的實用性價值或高度的論理性價值，假使學生不發生任何真實感，就心理的原則而言，這些教材，簡值是沒有教育的價值。
三原則之統一上述三原則應該綜合統一而不應該對立。然則統一之關鍵何在? 是必須先就學生生活的環境中，使其易於接觸易於理解且有實用價值的事物出發，以向論理的途徑進行。所以心理性和實用性應該是論理性的嚮導，選擇教材不應該先將實用性和論理性分別採取，然後合攏；這樣勉強湊成的教材，是支離破裂的。把數學的觀念和方法運用於實際應用問題時，理論上的疑問，自然油然而生；豈可以預先製成生硬的數學理論，強求適合於實用！
數學和其他的學科, 並沒有什麼大不相同的地方，因為他常常伴着生產力、技術發展開來的。對於古代數學的發生，恩格斯 (Engels) 曾經説過:“季節的知識老早對於農業種族或遊牧民族，已經絕對需要。天文學沒有數學的幫助，是無從發展起來的。所以在這‘古代 ‘，已經有了數學。農業發達到某階段，因灌溉法之改進、都市之發達、航海的需要，力學跟着發生，力學沒有數學的幫助，無由長足進展。”此不獨在數學的誕生期為然，無論在什麼時代，數學常常伴着自然科學技術、社會科學發展而發展。
數學教育家能（Nunn）説的：“數學的真理具有兩面。其一面的數學真理，向時（間）空（間）的實在世界進展而與之接觸。還有一面的數學真理，在數學的內部，相互對應，保持聯繫。數學史就是把這兩面真理的不斷的發展，敍述其經過情形。這兩面的發展，並非互相獨立，此未曾離彼，彼變未曾離此。今後的數學恐也是這樣，兩面不曾分道揚鑣，各自存在。所以數學教育，應該使學生認清數學的發展，具有上述兩重意義。數學是物質的征服和社會的組織之一武器，同時是一有秩序的論理體系。”
統一了上述三原則，以調和的精神，選擇教材，決定教法，實踐的過程，稱之為數學教育。
01
二十世紀以前的數學教育
數學教育並不是一種幻想，乃是實踐。數學教育是在經濟的、社會的、政治的制約下的一種文化形式，自然具有歷史性。就歐洲而言，其在奴隸社會制的古代希臘，支配階級鄙視實踐的計算術，和直覺的實踐幾何；重視他們所謂“和行動沒有關係的真科學”──就是數論──和“抽象的”幾何學，豈不是太偏重於論理性！在中世紀封建社會，教育為個人所支配，數學教育成為宗教的奴隸。事實上，此時數學教育，偏重於低級的實用性──與生產和科學脱離的宗教上的實用性。文藝復興而後，工商業加速度的進展；生產力之發展，促成自然科學的發達，因此發生機械論的唯物論。所以十七、十八世紀的數學教育，自然強調實用性。經過法蘭西大革命，巴黎成為歐洲文化的中心，因時代的要求，“一般陶冶”的話頭，逐漸流行；中等教育不能專為牧師（神學）和律師（法學）的預備教育，重視所謂“一般陶冶”。其特色是將數學和近世語添入教科之中。
數學佔了普遍教育的一科，是從十八世紀開始的，所以嚴格的説：數學教育萌芽於十八世紀。但是，數學教授的內容，大部分是“理論數學”；應用方面的數學，意識的為所排斥。究其實際，他的內容也是限於希臘時代至十七世紀間的數學；這個狀態一直延長到十九世紀之末。十九世紀的數學，雖然非常進展，然而它並沒有促成數學教育的改進，因此，十九世紀的數學教育，和近代的科學（十九世紀的科學），社會的生活，幾乎沒有關係。相反地，因入學考試的準則和其他種種考試的準則，數學難題的教授，和脱離實際的理論，成了數學教材的核心。事實上，當時所採用的幾何學課本，就是歐幾里得（1）幾何原本最初數章；代數學和三角法，是將專門的材料，壓縮而成的，太古太多，脱離實際需要。當時的物理化學等自然科學等教材，已能推陳出新；然而保守的數學，不改舊態。
到了十九世紀之末，近代科學的急速發達和各國產業的進展，經濟的、社會的、思想的，給人們的生活狀態以重大的變動。無產階級的解放運動，從而開始了中等教育的內容，不能不有所更變。
02
數學教育改造的先聲
保守的英國，她的幾何學教本，一直沿用歐幾里得的幾何原本。教師們視“原本”如“聖書”，不碩苟且改變其一字一句；不但學生覺得乾燥無味，教師也覺得痛苦非常；改良之聲漸起，到了1870，組織了“幾何學教授改良協會”（2），制定幾何學要目。其結果，不過是一種微温的刷新；這也無怪其然，因為他們（協會會員）主張要不失原本精神和體裁，制定原本最初六卷的要目。他們最大的難題是“如何改造原本第五卷的比例論”──比例論是原本中最壯麗的部分。尼克宋的“改良歐幾里得”（3）一書，在中國頗有流傳，就是依“協會”的精神寫成的幾何學。
此協會到了1897 年，改名為“英國數學協會”，以 The Mathematical Gazette做他的機關雜誌，登載關於教學教育的種種事情。
03
數學教育改造運動
彼利運動
數學教育改革的首創者，應該説是英國的J. 彼利（J.Perry 1850—1920）。彼利幼時做過學徒（1864—68），鍛冶工場的工人（1868—70），苦學的當中，曾經旁聽湯姆生的講義（4）。彼利體驗了勞動者的生活，努力於勞動者智識之增進；後來做了倫敦國際理學院力學及數學的教授，於 1901 年在英國科學協會，作啓蒙的改造講演。彼利主張的精神，是在數學的實踐性，不光是説些教授的技巧。他對於數學的見解，並不是將抽象的數學理論，如何應用於自然現象或社會現象的説明；相反地，從自然現象或社會現象，由實踐發見數學的法則，這是彼利所説的數學。上述彼利 1901 的講演，在數學教育史中，是劃時代的。其講演綱要及其檢討，可以看彼利所著的書：Discussion on the Teaching of Mathematics(Macmillan&co.1902).彼利的意見，仍對於向來的難題“如何教授幾何學？”集中，其要點如下：（一）完全脱離歐幾里得原本的形態，（二）極度重視實驗幾何，（三）強調幾何的實用部分，（四）注重立體幾何，（五）重視實用的種種測定，（六）多用格子紙。
這次講演的結果，自古認為經典的“原本”就因此廢除。這時新型的教科書有Godfrey and Siddons,Shorter Gaomestry(1912),Godfrey andS iddons,Elementary Algebra(1912)。
彼利在總結小組討論會的報告，指出了下列幾點全體一致的意見：（一）幾何學的實驗和實測應該是證明的前提，然而也可以稍稍利用演繹法完成其説明。（二）可採用的實驗法，應由教師自己決定，隨機應變，（三）小學在算術初步，就應該使用，（四）式子的數字計算，應該熟練；因此可使學生明瞭種種記號的意義，（五）指數法則一經教懂，應該馬上授以對數和對數表的用法，（六）教材的順序和教法應由教師靈活運用，不可呆板。
法國的學制改革
彼利的改革運動，影響及於國際數學教育。但是，法國在彼利運動以前，代數與幾何，已經有融合教授的傾向，所以受彼利運動的刺激，不太利害。不但如是，法國十九世紀出版的幾何書，如A．M．Legendre 的 Elements de Geome’tric（其第十二版在 1923 發行），其內容已經和“原本”大不相同，又如魯雪（5）和康勃露色（6）合著的初等幾何學（7），一直到現在，還不失為一部很好的書。但是，法國數學教育，並非毫無問題；對於考試製度的預備教育，大有使中等教育專門化的傾向。彼利講演的第二年──1902──法國政府將中等教育制度全部革新。數學教育因此大加改良，將日常生活有關係的部分增多，又將高深的部分平易化，重視直視的幾何和函數的概念。巴黎大學的數學教授 E. 波雷爾（8），依照這個趣旨，編了一套出色的教科書；算術、代數、幾何、三角，都在 1903 年出版。波雷爾報告法國中學生用了波雷爾的教科書，興味大增，成績極優。這一套教科書有德文和日文的譯本。
德國的新主義數學運動
法國1902 的學制改革和英國 1901 彼利時期的講演，自然衝動了德國學界。德國的碩學──幾何學大家──克萊茵（9）不以大學教員不與聞中等教育為然，曾於 1904 年在自然科學會議席上，作一次講演表題“對於中學數學和中學物理的注意”。克萊茵又作成文科中學的教授要目，於 1904 至 1905 在哥廷根大學作長期的講演，説明他的課程方案。這是德國新主義數學的原動力。德國中學教師，1905 年在梅蘭（Meran）舉行數學物理教授協會，作成教材要目大綱──梅蘭要目。這個梅蘭要目，就是以克萊茵的方案做骨子的，較諸説克萊茵原案，雖然稍為温和，然而比較過去的情形，已經出色，現在將其要點，寫在下面：（一）順應學生心意自然的發達，排列教材，選取教材；（二）融合數學諸分科，並且要使和其他科學有密切連繫；（三）不過於重視數學的“形式陶冶”，“應該置重心於應用方面”，養成“用數學的方法去觀察自然現象和社會現象”的能力；（四）要達到這個目的，必須以“函數觀念”和“直觀幾何”做數學教授的骨子。
依據這個要目，就有人寫成[新主義數學] 的教科書：Behrendsen und Gotting, Lebuch der Mathematik nach Moderren Grundsatzen(Teubner,1908).這部書（10）將平面幾何學、代數學、三角法、立體幾何學、微分和積分、解析幾何學、近世幾何學，融為一體，呵成一氣，以供九年制中學之用。德國兒童，滿九歲入中學，中學的種類有四，五；他的數學時數，大約每週自4 時到 6 時。
普魯士政府指定五個中學實施梅蘭要目，結果非常良好。
美國慕爾（11）的改造論
歐洲的數學教育改造運動，對於美國，沒有受到強烈的刺激，其原因之一是：美國學校，老早不用歐幾里得的原本，法國的幾何教科書，着實通行。還有一個原因是：美國的考試製度，比較英國要寬鬆些，壓迫不太歷害，對於“考試”制度的鬥爭也不會激烈。但是，芝加哥大學教授慕爾，對於彼利的主張，不但擁護，並且指出美國的數學教育，大有缺點。1902 年慕爾在美國數學年會，發表他的會長講演，題目是 [數學之基礎]，他的後半段是關於數學教育的；他説：（一）代數、幾何、物理，可否不使他們一一孤立，編成“有機的統一”呢？統一而後，才能使數學物理和日常生活有密切的關係；（二）三角法、解析幾何、微積分三分科，就其起源説，又就其發展的經路説，都是和具體的現象有密切關係；所以應該把這三科的基本事項組織起來，使他們有密切關係，不應該讓他們各自分立門户的；（三）關於數學物理的教學，都應該採用實驗室的方法。
慕爾教授的講演，對於美國數學教育，有極大的影響；依照（一）的精神著成的書Breslich,First—year MathematicsBreslich,Second—year Mathematics(1906)Breslich,Third—year Mathematics,商務印書館老早有了譯本，又Rugg and Clark,Fundamentals of high—School Mathematics一書，系1924 出版的，也是依照慕爾融合主義寫成的。依（二）寫成的書，也相當多，例如Young and Morgan,Elementary Mathematical Analysis(Macmillan,1917)。
總結改造運動
然則彼利，克萊茵，慕爾的數學教育改造運動的基本精神究在何處呢？基本精神是在教材教法的近代化、心理化；實行數學各科的有機統一；理論和實踐的統一。結局在求數學教育基本三原則的徹底統一。詳見下列諸著作：J．Perry,Teaching of Mathematics;Klein,Vortrageüber den mathematics chen Unterricht an denhoheren Schulen;E. H,Moere,On the foundation of Mathematics,National Council of Teachers of Mathematics,the 4th year book.
彼利的改造論，並非狹義的卑俗的實用主義；此事已述於上文。慕爾也説：“數學教育的根本問題是如何融合理論（基本）數學和應用數學，但是不幸得很，在初等數學範圍內，還保留着理論和應用的劃界分疆”。改造論者主張自然科學和工程科學中所必需的“高等數學”，應該把他平易化，這似乎有點輕視數學的“形式主義”；然而這是似是而非的見解，因為數學的內容和形式，決不可以分解為二的。為什麼呢？假如形式可以脱離內容而存在，這就是意味着數學是為形式而形式了。克來茵説得好；“現在吾人所宜努力的事，並不是追求兩極端──形式主義和實利主義──取其一端而舍其他端，乃是融合兩者成為一體”。
我們僅僅乎教授這些現實的生活上所要求的數學知識，這不能算盡了數學工作者的職，我們必須生動的指導學生，使學生們能夠利用數學知識於現實問題。要使理論和實踐，保持生動的關係，必須從現實自身，由實踐學習得數學知識。彼利説：“教兒童推理一件事體以前，必先使他實行這件事體，兒童從測量、計算、實驗，所得的結果，才能養成他的推動力。並且因此兒童沾沾自喜他的生動的創造”。這是彼利實用數學的本質。彼利著有“初等實用數學”一書：Elementary Practical Mathematics(1913),新宮恆次郎於1929 年譯成日文，小倉金之助做了一篇序文，序文的未尾説道：“美國的數學教科書，號稱心理的、社會的、實用的、教授法的、最進步的，但是資本主義的和事務式的美國主義的反映，到處找得出。諸君若要一本具有無產階級實踐性的強有力的數學書，我就推薦這本書。這本書可能在某些意義上是未成品，但是它期待着有光輝的未來”。彼利強調“從前的數學教材的排列，‘學者’或許認為是論理的；但是對於兒童，這些東西，完全是非論理的；兒童所能接受的論理，必須通過實驗、實測、圖解……。”
分科主義和融合主義
從“線”方程，“平方”方程，“立方”方程，和a 的平方，a 的立方這些用語來看，古時代數和幾何未曾分離。事實上，歐幾里得原本十三卷中，有三卷是算術；牛頓全集中的數學和物理融會貫通。後來許多學者，覺着數學諸分科，各有各的特殊方法，把各科純論理的展開，頗有興趣，方司島説（12）把近世幾何學從解析向何學分解出來，是其一例。數學不光是在學術上分了科，在數學教授上算術、代數學、幾何學、三角法、解析幾何學，各自陷於孤立的局面。然而在科學的研究當中，用數學做武器的時候，往往需要各科全般的知識，假如預先有了有機的統一，那就方便多了。綜合的數學，不但可以避免重複，學習既省時間；並且可以使學生明白生動的數學體系。代數學中不用幾何，幾何學中不用代數、三角，如是嚴立門户，究有何益！然則統一各分科而成綜合的數學，應該用什麼東西做原則呢？改造論者，大都用函數的概念做統一的原則。克萊茵説：“在幾何學形式的函數概念（31），是數學教育的魂魄。”又説：“以函數概念做中心，將它周圍的一切數學教材，有計劃的集中，就得着綜合的數學。”現在把克萊茵自己作成的中學課程表的一部分，寫在下面，下列三項，是德國兒童十三歲到十四歲（一年間）所應該學習的教材：（一）直角座標和簡單函數的曲線表示──用格子紙；須注意此種曲線的全程，上坡下坡，圍繞的面積等事；（二）用函數概念做骨子，教授下列諸事項。──冪及根，一次及二次方程，圓錐曲線的初步，關於圓的計算，三角形的邊角關係；（三）多學實際之例，熟練空間的知識和數學計算。
下列三項，是中學最後一年的教材：（一）解析的及綜合的處理圓錐曲線，並且把他應用到天文學初步；（二）中學數學全部教材的複習，用曲線或計算解決更難的實際問題；（三）精細回顧數學全系統，並時時加以歷史的説明。
國際數學教科調查會
數學教育，經彼利、克萊茵、慕爾的指導和進步的數學教師的努力，改造運動已成為國際問題。第四次舉國際數學大會（14）於1908 年在羅馬舉行的時候，決定設置國際數學教科調查會，克萊茵等三人做常務理事，利用法國的L‘Enseignement Mathematique做機關雜誌。1912 年，國際數學會在英國劍橋大學舉行第五次大會，有二十七國的代表，提出各地數學教育狀況報告書一百五十種，大部分已印刷發行，成為數學教育史上莫大的文獻。第五次會的會長是克萊茵，克萊茵的德國報告書Abhandlungenüber den mathematischen Untersicht in Dentschland, 在150份 報告書中，最為詳細。調查會的工作因戰爭而中止。150 份的報告書，不易卒讀，敍述他的大綱的，有在 150 報告書中，最為詳細。調查會的工作因戰爭而中止。150 份的報告書，不易卒讀，敍述他的大綱的，有Brown,Curricula in mathematics.A comparison of courses in the countries,etc.Archilald,Training of teachers of mathematics for the secondary schools of conntries,etc.
各國數學教育的進展，因國情不同，色彩也不一致；然而改造的基調，可以説是各國完全相同。自然，改造的實際方案，不能如指導者彼利、克萊茵、慕爾所示，一一順利進行。這是因為數學教育，以過去的“遺產”做基本；要脱離傳統，成新鮮的組織，困難重重。比方説要把代數和幾何融合，也不是容易的事。
04
第一次大戰後的數學教育
數學教育，和其他學科的教育一樣，是受社會狀勢的限制的。因大戰而起的經濟的、社會的、政治的的激動，直接或間接，對於數學教育，有莫大的影響。關於第一次大戰後，各國數學教育的一般狀況的參考資料，有國際數學教科調查會的報告，報告書有英文法文兩種：英文的是Significant changes and trends in the teaching of mathematics through the world since 1910(數學教員會 1929 的年會)，法文的載在1929-1933 的雜誌：Enseignement Mathematique.
大戰中以及戰後的數學教育，是混亂得很的。有些國家的教育，停滯不進；有些國家反而後退，“古氣”蒸騰；有些國家，因經濟的順調進展，數學教育也得着順利進行。先説後退的。
意大利
意國在戰前，也伴着國際改造運動，有進步的傾向。其後，國家因社會的，經濟的不安，釀成法西斯政治。到了1923 年，中等教育的目的和學制，有重大的變更。規定中等教育“以養成態度為目的”，作為中學教科的全部，法西斯脱所謂在文學的、哲學的、歷史的立場──“國粹的”立場（15）──宣告統一了。這樣一來，中等教育不必講究實用，也不必準備做高等的研究了。教育的方針既然如是；自然科學和數學的學習和教授時數必然的削減了，詳見下表。
高級中學的畢業考試；數學科目是代數學、幾何和三角法。此外還有高級理科中學，其畢業考試，添加直角座標和函數與圖表，大戰前的教材，也有直觀的、實驗的、實用的部分；1923 的學制將這些東西，完全廢棄，而變成形式的、抽象的、純論理的東西了。意大利的教育部，並不公佈中學校的課程要目，全部（中學畢業考試等）都是國家考試；“因國家考試的要目，有嚴格的規定，從頁中學課程跟着考試要目也有一定的內容了。用極少的時間數，來定數學課程，只有兩條路可以走：第一法：把數學程度降低。第二法：僅言綱領，把他變成骨瘦如柴的東西。意大利事實上實行了第二法。但是，以極少的時間簡潔的通過數學的全程，不可能和彼利、克來茵的改造論相容。為什麼？用實驗實測來發現新的事實，不但需要時間、並且與”古典的精神“（16）不能一致。此時幾何學家旁比阿尼（Bompiani）做教育部長，他索性把中等數學徹底變成了公理主義的數學。現在且看他的內容。某代數學教科書（7）第一卷劈頭寫着：“公理 1.A=A.公理2. 若 A=B, 則 B=A。公理3. 若 A=B，B=C, 則 A=C。”
下文是加法的定義。然後寫着：“公理 4.A+B=B+A。”繼之以減法的定義。又寫着：“系，若A>B，B>C，則 A>C。”
這樣，從抽象的、純論理的立場出發，不容易指到事實問題了。利用方程式解決事實問題，一直到十六歲才學到，十八九歲才學到對數。第二卷供高中用，先寫些一次方程，一次不等式，接着寫了一章實數，用“戴德金（Dedekind）分割”導入無理數，經過復素數的定義和根數的計算，然後講到二次方程！把 和 的存在，嚴密的證明了。一部代數學，供八年的用，其中應用問題，不過32 頁；圖表法和一次二次式的變化寫成一篇附錄（16 頁）。到了 1932，又有一部代數學書（18）出來了，他簡直把函數的變化和圖表，全部除去，倒也乾淨。
幾何書也依這個精神寫成的。本來，意大利幾何學教科書的着重嚴密性是有名的，罕與倫比的。其後因改造潮流，也稍事革新，1923 以後，又有復原的傾向。嚴密是好的，但是骨瘦如柴的嚴肅是有害的。意大利幾何教科書（19），儘管最密，但是因為忽視了實驗、實測、直觀，不能不説是他逆轉的、反動化的書。最可驚異的是：面積等事，不容許用“數計算”，光是説些幾何學證明；一直到了書的未尾，才發現古色古香的比例論（歐幾里得式的），把比例論和代數的無理論嚴密的統一了，從此才可用代數的計算應用到幾何學的量上面去，但是書已快完畢了。
德意志
第一次大戰後的德國，經濟極度困難，要挽救這個困難，非採取產業和經濟切實有效的教育方針不可。所謂作業主義，就是順應時勢的數學教育方針。作業主義，第一要學生自動去做實驗實測；所以測量、畫法幾何、繪地圓等事，特別注重。普魯士於1925 改革學制，仍以梅蘭要目做根底，參以作業主義，教育部令説道：“利用作業，使學生獲得確實的知識和明瞭的理解。通過作業教育期待教學的徹底……。”教育部同時又高調所謂集中主義（20），他説：“置重心於數學發達史，重視數學和其他一般文化，哲學的關係。”這樣一來，對於克萊茵的“以在幾何形式的函數概念統一一切數學教材”的根本思想，不能不稍事退卻。依據 1925 新學制普魯士的文科中學（21）最後四年的課程，每年都有“幾何畫法及測定”一科，可見作業主義的重要，他的內容如下：第四級：作圓器具的用法，簡單平面圓形。正多體體，角錐，角錐的作圖。線，線分的測定，角的測定。第三下級：點的射影，線分的射影，三角形的射影。平面的等高線及其最大傾斜線，直線的傾斜角，平面的傾斜角，兩平面的交線，多角錐。第三上級：斜角錐，傾斜體及道路的設計圖，面積的測定。第二下級：普通立體的表示，代數曲線的描寫，（圓周等）近似作圓。精密度的測定，用相似論測定面積。第二上級：圓的射影，三角法的問題的作圓，曲線的描寫，測量。第一級：關於圓錐曲線的基本問題，球的射影，天文學上的觀測。
要詳知其中消息，可以參閲 Scheffers und Krarner,Leitfaden der darstillenden undaümlichen Geometrie.數學教育的書有Liezmann,Methodik des Mathematischen Untersichts.雜誌有Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht.
到了納粹（Nazi）時代，狀況又大變；高調所謂德國固有的數學精神，排斥“拉丁”式的和“猶太”式的數學，這方面的指導者，有柏林大學教授比巴霸赫（22）；他説：猶太人和拉丁民族喜歡純論理的和抽象的東西，德國民族着重具體的東西。他的這些議論，多歪曲事實，比方，抽象代數學的大家多是德國人，畫法幾何學的創造者，是拉丁民族的蒙籍（23）。用這種見解來擁護所謂德國的“國粹”精神，根本不起作用，簡直毫無意義。另一面，比巴霸赫非常推尊地老師克萊茵，説道：“在克萊茵的立場，考察日爾曼民放大的將來，實具有深長的意義。……克萊茵的改造方案，是最適應於德國民族特徵的心理和性格。”到了 1934 年九月，借克萊茵的──過去的──盛名，決議了數學教育的新方針：（一）着重實際的、具體的問題；（二）刷新大學的數學課程，以積極的速度重視應用數學；（三）調整應用數學教員的待遇──設置應用數學正教授；（四）數學系學生必須學習畫法幾何學、力學、實用解析、或然率論。
這種政策是否光是為了發揮德國的國民性呢？只要凝視當時德國政治和經濟情況，就不難知其底細。
英國
英國民族，他的自由主義和民主主義的根底相當深；或許為了這個緣故，使他的數學教育光是維持原狀，進步的傾向極其緩慢。進步不速的原因很多，反對改造論革新者的存在，是一個重要的因素。對於1901 彼利的政治講演反對最烈的，就是當時的會長（24），會長是皇家學會會員，他的話當然有相當的力量。現在將英國某中學學校的數學課程，寫在下面：
法蘭西
第一次大戰後，法國數學教育有保守的傾向；事實上，1925 年保守內閣教育部所頒佈的學制中，導入“科學平等”的原理，中學校（25）不分文科理科；其理由如下：“在現在的情況，培養‘完全人’──就是科學的教養和文學的教養保持平衡的，幾何學的精神和纖細的精神的統一了的人──愈加必要了。”其結果把數學的時數，改變得像下面的式樣：
教材要目，新制和舊制，雖然大致相同，然而精簡了一些，並且將微積分移到後面去了。
要實行新學制，必須選取文理共通的教材和教法；教育部強調：“中學教育以簡單明瞭為主，並不要求專門的知識。須置重點於精神的涵養（formation del’esprit）”
文科數學時間的增加和理科數學時間的減少，意味着實用的，科學的精神為傳統的文化的精神所壓迫。當時數學兼政治家潘樂衞（26）和波雷爾都公表反對的意見──反對教育部的新學制。法國中學教師向國際數學教科調查會報告説：“新學制簡直沒有顧到實情”。
要了解法國數學教育的實況，可閲下記的雜誌：Bulletin de l’Assoriation de Professeurs de Mathematiques de l’Enscignement public.
其次，我們談談美國的數學教育。
美國
第一次大戰，美國得着漁翁之利，經濟寬裕，教育也能夠向“改造的方向”進展。美國各州，教育制度並不相同，中央政府也不求其統一。1916 年，組織了一個有權威的國際“全美數學教育委員會”（27）。這個委員會，由十三名委員組織而成，其中含有數學家六名（28），教育實際家七名。1923 年二月出了第一期報告書，表題“中等教育中數學之改造”。（29）這個報告書分兩部分；第一部分：一般原理及主張，第二部分：特種特殊問題的研究。其中所説的一般原理的大意如下。“吾人要有洞察和支配吾人周圍的自然和社會的力量，要有以種種角度估計文化進步的力量，所以必先培養思想和行動上的習慣使有效的涵養這種力量。數學教育的第一目的是在養成分析和理解“量”和“空間”的關係的能力──對於涵養上述的力量所不可缺的能力。所以關於養成這種能力沒有直接幫助的事項、方法、練習，必須排斥於課程之外。光是簡化計算或玩弄計算的技巧，都是不重要的事項。用具體的事實，實際的問題抓住數的觀念、方法、原理，是對於數學課程全部，是重要的，應該用力的。”然則數學教育，如何統一呢？報告書上寫着：“統一數學課程最切要的事項是函數觀念。……教師應將這個觀念不斷的放在心中，……逐步引導學生，使他們得着函數性的一般觀念。”
美國中學，下級三年，上級三年（30）。數學和幾何兩科有不平行教授的習慣，但是委員會希望實行綜合主義，製成教材配置方案教程，列表如下：
美國教育家關於數學教育的爭論
美國的數學教育，從上文看來雖然向着改造主義進行，但是具有濃厚的實用主義色彩，且有心理化傾向。美國數學教育的心理化的原因，不能不歸之於1910 年左右，關於形式陶冶的論爭。什麼是形式陶冶？脱離了所學習的內容而遺留下來的精神效果，稱為形式陶冶。比方學習數學，不問所學過的數學內容是什麼，覺得還有什麼東西留下來的，這個效果是學習數學的形式陶冶。數學的形式陶冶，自古以來，一向重視；以為學習數學，可使思想精密，推理周到。但是，到了二十世紀，懷疑者出，於是發生了“形式陶冶的問題”。對於這個問題，研究者輩出，但是仍舊不能完全解決；有的否認數學教育的形式陶冶，（31）有的覺着完全否認是不對的。（32）於是乎對於數學教育的價值，也有發生疑問的。例如哥倫比亞大學教育學教授司內屯（33）竟這樣説：“中學校數學，應該作為隨意科，因為數學不是人人所必需的緣故”。他又説：“消費者的數學（34）──算術的一部分──自然人人所必需不可以省略，但是中學校的代數和幾何，（35）未必人人所必需，不必作為正科，應改為隨意科。至於數學的陶冶價值，幾乎無窮小”。但是，假如數學光是有關於日常生活的部分就足夠的話，那末，小學算術也嫌過多。另外一位哥倫比亞大學教授就是 D.E. 司密司，卻是擁護數學教育的。他説：“教育家中，要驅逐代數學於中學校外的，大有其人；但是，這些破壞主義的煽動家根本是反動的，現在已經沒有力量了”。此語見諸“司密司著，鍋島信太郎譯（日文）的代數教授之進步（1925）”一書，書中又説：“二十五年前的數學教育，其目的，好像在養成數學家，現在的目的，在培養有良好教養的美國市民”。
我們於此可以斷言：美國數學教育的特色，是在培養“小市民性”。美國的數學教科書，是富於小市民的實用性和學習心理的色彩。所以美國沒有一本數學教科書是數學專門的人寫的，著者大多是教育工作者或是心理學者。
關於這方面的參考書，有Young，Teaching of mathematics；Smith and Reeve，Teaching of junior high school mathematics；Year books of the National of Teachers of Mathematics；（1926以後，一年一冊）Mathematics teacher（這是美國數學教員會的機關雜誌）。此外還有The American Mathematical Monthly，是美國數學協會（36）的雜誌，程度較高，不限於中學校的數學。
我國過去的教育和日本有密切關係，現在談談
日本
日本從明治開始，（37）事事模仿歐洲各國，不管好的歹的，一齊搬進，不十分加工，號稱明治維新。明治維新的根本課題是“日本將如何追着‘先進’諸國”？為了要解決這個問題，日本政府集中力量，急速趨向資本主義。一面，日本的社會機構中，含有大量的封建殘滓；經濟的社會的政治的狀勢反映到文化和教育。日本的“移植科學”富於模仿性的緣故，自然不能夠順利進行，為民服務，時常有進退維谷的現象。數學教育當然也不在例外，一時進，一時退，成波動的現象。例如在1886（明治十九年）的學制，中學一年級有“幾何學初步”一科，用直觀導入幾何概念，所用的書是法國式的；到了 1902 年，改變學制把“幾何學初步”取消，幾何學從中學三年級起才開始教授。所用的書是以菊池大麓著的初等幾何學教科書。菊池大麓是日本最初的英國留學生，留英五年；所以他的幾何學書是純粹查式的英國式的書（當然是日本文的）。這個變更是日本數學教育的逆轉，退步。1902 是國際改造運動開始的時候，日本人置之不理。
1902 日本已的中學新學制；其數學要目是以菊池大麓和藤澤利喜太郎兩人的意見做根底。兩人都是大學教授，菊池且做過大學總長（就是校長）文部大臣（教育部長），1902 年已經封了男爵；騰澤是東京大學的有力分子（後來任貴族院議員）；日本人富於封建思想，菊池藤澤的一切意見，當然通行無阻。由是，1902 的學制對於世界大勢是開倒車的；他注重分科主義，偏重論理性；他不容納直觀主義，實驗和實測；不着重函數概念；將算術、代數、幾何三者嚴格的分開，不許融合。
但是，二十世紀的數學教育改造的潮流，奔騰澎湃，急速的流入日本。中學教師組成了中學數學教育會，發行雜誌，研討數學教育。政府也受到刺激，發表了種種瑣碎的改造案。國家的經濟，受到第一次大戰的“恩惠”，寬裕得很。但是，一直到1930 為止。所得的實績，不過是微温的改造。這是因為製造改造案的專家和實施改造案的教師都是受了舊式的──分科主義的，偏重論理的──教育，飛越起來，要他們徹底革新，他們會頭痛的。
日本實行1902 的要目經過了三十年，1931 改革學制數學教育方才獲得真的改造他的綱領是：（一）容認數學各科的綜合，（二）採用直觀幾何，（三）重視數值三角法，（四）養成函數的觀念。（五）教材須適切於實際生活。
日本學制，小學六年，中學五年，高等和大學六年或七年，今將1931 的規程中的中學數學時數寫在下面；
1945 年冬，筆者到了台灣，看到日本文部省編的一套中學數學教科書，完全採取融合主義，置重心於函數概念，面目一新，而且知道那個時候，東京方面已將算術、代數、幾何、三角、解析幾何，微積分呵成一氣，書也出來了。但是書沒有到台灣。
蘇聯
今年夏，筆者到北京參加課程改革會議，蘇聯教育專家作了很長的講演給我們聽，他説：“規定課程，改革課程是一件難事。蘇聯從1917 到 1939，課程屢有更變。”希望我國以蘇聯為鑑少走迂迴的道路，蘇聯的普通教育制度，從 1934 學制改革以後，無大變化；至於中學，在 1939 年的黨大會，才決定“于都市設立十年制的中學，於農村及民族共和國以七年制的準中學校做基礎”。十年制中學設立以前，相當於中等學校的，有“單一勞動學校的第二科”。這種學校的目的，一面是普通教育的繼續；一面是完成普通教育，建設唯物論世界觀的充分堅固的基礎。因此，重視（1）社會科學，（2）實際的自然科學。
事實上，課程中的數學、物理、化學、博物時間數的合超過總時間數的三分之一。其中數學時數，分配如下：
光是看了這個摘要，可以知道他是傾向於改造論的。再細察他的第九年的教授要目，“更可以明瞭他的精神所在”。（一）等差級數及等比級數，應用問題。（二）變數法，無限大，無限小，極限，極限的基本定理。無限等比級數。（三）用兩有理數列定義無理數，及其相關聯的基本事項。（四）正多角形，圓周及圓面積，曲面體的體積（加乏利害原理的應用）。（五）三角法。（六）高次方程式。（七）排列，組合，二項式定理。
大致和德國的教授方案相類似，但是第九年的（三）這一項，的確是特色。但是蘇聯十月革命後十餘年間的數學教育方針，和彼利及克萊茵的思想，未必一致。上述教授要目的説明：“數學在教育上的地位，可以簡單的規定如下：數學對於學生，是實際上必要的學科。在學校；在後來的生活──不管什麼職業──有他的必要性的緣故，是一個不可不與之相觀的工具”。因功利上的目的，實際的必要，而承認數學在教科中的地位。但是高利曼（39）不以為然，説道：“這樣，自然把數學開倒車一直達到阿爾基米特斯；但是，這些努力，和辯證法的唯物論，沒有任何共通點”。用同樣的意義，摩洛鐸西（40）對於數學研究的全般下了批判（1933）：“人們往往這樣主張，數學的發展，其目的在滿足今日社會主義建設的需要；將可以滿足這個要求的數學諸分科發展起來就好了。但是這種主張是不對的，當然，計劃數學的發展，必須把實踐需要的滿足和社會主義建設的展望放在心上。
但是要進到這個目的，僅僅乎將若干的分科片面的發展，是要失敗的，一定要把‘全數學’計劃的發展，然後可能。”
十年制的中學教科書，1949 發行的，吉西略夫（41）著的，已經由東北人民政府譯成中文。
中國
二十世紀初葉，中國才訂了學制；學制是“削足適履”式的日本製度。中學的數學課程，形式上和日本的無大差別。教科書也有許多譯自日本的──（42）比方前述菊池的幾何學。（43）國際改造潮流一時衝不進日本，中國更不消説，一直到解放前夕，舊式的數學教育，未曾動搖。中途摹仿美國；美國的教科書，盛行起來了。有些學校簡直用英文原本，中學教科書用外國文，當然是限於殖民地或半殖民地的，且所用的原本，往往在其本國已經早停止使用──例如“範氏大代數”。因此，數學教育，不但成績不良，且其目的也不明瞭。學生視數學如仇敵，成了中等教育上一個大問題。
解放以後，中央教育部成立不久，就召開全國教育工作者會義；1950 年，又召開精簡座談會，大家同意這樣的原則（包括數，理，化）：（甲）精簡的目的在求教學切實有效，而不是降低學生程度；（乙）刪除不必要的或重複的教材，但仍須保持各科科學的系統性完整性；（丙）六三三制，暫不更變。
關於數學教材的精簡原則是：（一）要與實際結合。要與理化學習結合，要與經濟建設的科學知識結合。（二）太抽象的材料宜精簡或刪。（三）數學課程仍規定為算術、代數、……解析幾何。
這是創舉，值得慶祝的，但是，筆者愚見，還有幾句話要補充。（乙）項的保持各科的完整性、系統性，是含有分科主義的精神。國際中等教科改造的傾向，不但融合數學的各分科，並且要融合物理、化學、博物諸科。事實上，日本在第二次戰爭結束前，已將中學的理化博物融合成一科了──理科。編著教科書，是由於集合許多專家，會議作成的。蘇聯的教科書，雖然還沒有整個的融合，但是日新月異，向融合的方向進行。總而言之，（乙）項的第二段，規定的太呆板了。失去了進步的傾向。同樣，數學的第（三）項的規定，應該是暫時性的。吉西略夫的高中代數學中，函數與圖表，着重得很，這不是代數學和解析幾何的融合麼？不過以代數為主體就是了。又關於第（一）項，細察精簡綱要（草案），看不出什麼地方有（一）的精神，例如初中幾何、高中立體幾何、高中代數、高中平面三角法、高中解析幾何諸科的精簡綱要，不過將美國的幾本書──三S 幾何、範氏代數、葛氏三角、三氏解析幾何──簡化了一下。要他具有（一）的精神，是不可能的。話説回來；這是數學教育具有生氣的開端，當然是温和的，不能希望他有太多的結果。
05
總結和展望
處這個大時代，要過有意義的生活，做有意義的工作，必先具有理解自然和洞察社會的能力。所以必須養成對於這種能力有效果的“思想和行動的習慣”，這就是教育。數學教育呢？學了數學，要使能夠分析和理解這種思想和行動的習慣上所不可缺的“數量與空間的關係”。不但如是，理解和分析數量與空間的關係，也是數學的特徵，所以是數學特有的任務。數學教育的目標既然在此，數學教科首先要綜合和統一下列（甲），（乙）兩方面：（甲）數學是物質支配及社會組織的一種手段；（乙）數學具有特殊的觀念和方法。然後用教育的技術，指道學生學習數學，就是説：（丙）順應學生的心理，分配教材，指導學生學習。
但是，我國過去的數學教育呢？第一：教材全部是陳述的──十八世紀以前的，把近代數學，置之度外，以（乙）來看，是太古了。第二：內容太偏重論理性，忽視學生的心理過程；是不合於（丙）。第三：對於理解近代科學和社會生活，太少力量；這是沒有碩到（甲）。無怪乎中學生的90% 以上，認為數學是乾燥無味的，最不容易學習的。這種教育，當然是不會有成績的。
到了今日，上述種種缺點，還未能十分清算。特別，上面所示的數字90% 仍未能減少，恐怕光是以“簡化為精簡”的改造政策，不能解決這個問題。“草案”根本沒有碩到“精”的一字，“簡化”也似乎缺乏原則性，然則應該如何精簡？
（一）代數計算，是一種極便利的機械的技術。但是中等教育決無人人都做成代數計算熟練工人的要求，所以一切繁難的，非實質的計算；缺少真實性的問題都應該除去。三角法也應該如此處理。
（二）學習幾何，應該從直觀幾何入門，大概是沒有疑問的。然則如何處理論證幾何學呢？幾何學具有完整的體系，是論理的組成的，他有其他學科所不能及的美觀和價值。但是，全部幾何學教科書，往往充滿着定理，命題，難題等等；除了少數的學生而外，大多數學生不能愉快接受。這是應該簡化，應該想出辦法來簡化。筆者以為假如將公理的條數適宜的增多，一定可以免除冗長的毛病；將有些定理（普通教科書中的定理）改為公理，學者自負的專門家（幾何學）未必以為然，但是教育上是有意義的，有好處的。假如又把普通幾何教科書中的難題全部除去，學生學習的困難，一定可以減少。這樣的簡化，對於幾何教育的目的，仍未有所損失；因為簡化了幾何學，不但仍保留着論理的精神，並且空間的基本事實，仍得一一瞭解之故。幾何學全體的結構，既然已能理解，這方面的教育目的，不能不説是已經達到。對於有志深造的學生，要明白幾何學的完全論理系統的時候，有了這個基礎，也是事半功倍的。
由於（一）和（二）的兩原則，將教材簡化，中學數學一定可以減少 20% 到30%。
然則用什麼東西補充呢？
（三）微分積分的概念，是可以平易的直觀的説明的（44）。中學生應該使他們理解速度與加速度的關係，二次函數的變化率，（簡單）曲線形的面積的求法等等，從這些事項，微分和積分的概念，可以油然而生。添加了一點微積分的概念和計算法，便可應用到近代自然科學上去，使數學和產業技術有密切連繫。
（四）添加社會經濟方面的數學，使學生對於社會認識有幫助。例如統計法的一般──統計的量的平均、標準偏差、歪度、相關係數、由實驗結果作成的實驗式──就是這種材料。
精簡原則的“草案”，沒有一個核心，未免散漫。
（五）數學教育的核心，在乎養成函數觀念。所謂函數觀念，其義甚廣，並非專指函數的解析表示，或函數的圖表。比方。紹興距杭州50 公里；上午七時，陳某從杭州出發向紹興，趙某從紹興出發向杭州；陳某每小時行六公里，趙某五公里，要問兩人何時何地相逢？對於此問題，研討兩人在瞬間的地位，以求位置和時間的關係，這就是函數的觀念。有人看了吉西略夫的初中代數學，因為書中沒有函數和圖表，就以為他並不用函數觀念來寫書；這是近視的看法，將函數觀念的意義呆板化了的緣故。即使沒有任何計算，假如能夠理解量與量之間的關係，對於實際生活就有用處。又假如脱離了函數觀念，學習了形式的代數，完整系統的形式幾何，生活上有什麼意義呢？固執的人們，硬説函數觀念是屬於高等數學的，至少初中數學裏面可以沒有，但是函數觀念和吾人日常生活是不分離的。以函數觀念做數學教育的核心，就是要數學和人生保持密切的連繫。
（六）教授數學史，不但可以提高學生學習數學的興趣，並且數學史料，也是數學一部分，學生應該知道他的大意的。關於中國的部分，尤可以增高愛國的情結。但數學史科，不宜以中國的為限。比方吉西略夫的初中代數，在第二章的未尾，説道：“在中古時代，印度數學家（45）才提出了正負數……的計算法則（620 年）。………但在歐洲大陸上，直到 1544 年，負數的意義，還不能完全領悟。………”云云。可見吉西略夫所採的史料，並不限於蘇聯。數學史既是數學的一部分，宜隨處插入，不必設專科。
用（一）和（二）的辦法簡化；（三），（四），（五），（六）的辦法去加精，這是筆者對精簡原則的個人見解。
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