切比雪夫，他帶起了俄羅斯現代數學的發展_風聞

撰文 | 陳關榮

俄羅斯的數學家們常説，他們的現代數學是由切比雪夫帶動而建立和發展起來的。

圖1 帕夫努蒂·切比雪夫（1869年）

帕夫努蒂·切比雪夫（Pafnuty Lvovich Chebyshev, 1821年5月16 日–1894年12月8日）出生於離莫斯科二百公里開外荒郊奧卡託沃（Okatovo）的一個貴族家庭。他祖輩許多人都為俄國立過戰功。父親列夫（Lev P. Chebyshev）參加過抵抗拿破崙入侵的衞國戰爭，母親阿格拉費娜（Agrafena I. Pozniakova Chebysheva）出身名門。夫婦倆養育了五男四女，切比雪夫排行第二。

切比雪夫天生左腿便有殘疾，因而他童年不好活動，通常獨坐家中，養成了閉門看書和安靜思考的習慣。他沒有讀過小學和中學，少兒時代在家裏接受初等教育，由母親教他閲讀和寫作，表姐 Avdotia Soukhareva 教他法文和算術。他從小愛好機械玩具和數學，對歐幾里得《幾何原本》中關於沒有最大素數的證明非常着迷。1832年，切比雪夫全家搬到了莫斯科，在那裏父母讓他繼續留在家中接受教育。父母注意到切比雪夫對數學有特殊興趣，便專門請了莫斯科最好的數學老師 P. N. Pogorelski 上門對他進行輔導。

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1837年，沒有中小學文憑的16歲青年切比雪夫考入了莫斯科大學哲學系，就讀於其屬下的物理和數學專業。

在大學裏，數學家尼古拉·布拉什曼（Nikolai D. Brashman，1796-1866）對他有較大的影響，特別是在應用力學和概率計算方面。布拉什曼後來成為他的碩士和博士導師。切比雪夫對導師非常尊敬，錢包裏一直帶着師生兩人的合照。多年之後，1865年9月30日，已經是數學教授的切比雪夫在莫斯科數學學會上做了一個把連分數應用於級數展開的學術報告，還把該項研究成果歸功於當年布拉什曼對他的啓發和指導。

1841年是切比雪夫在大學的最後一年，他提交了一篇題為“方程根的計算”的論文，提出了一種建立在逆函數級數展開基礎上的方程近似解法，並因之而獲得了該年度由哲學系頒發的銀質獎章。

大學畢業後，切比雪夫留校繼續攻讀碩士學位。這一年，俄羅斯遇到特大饑荒，他父親因莊園破產帶着家人離開了莫斯科。切比雪夫不僅失去了家庭經濟支持，而且還要負擔兩個弟弟的部分教育和生活費用。儘管艱難，切比雪夫依然靠着微薄的助教金維持學業，最後於1846年以題為“概率論基礎分析淺論”的論文獲碩士學位。之後，他隨布拉什曼到了聖彼得堡大學，在那裏一邊教書一邊攻讀博士學位。

在聖彼得堡大學，他的數學才能很快就得到兩位著名的烏克蘭數學家維克托·布尼亞科夫斯基（Viktor Bunyakovsky，1804-1889）和米哈伊爾·奧斯特羅格拉茨基（Mikhail Ostrogradsky，1801-1862）的賞識和指導。1847年，在題為“關於用對數做積分”的晉職報告中，切比雪夫徹底解決了奧斯特羅格拉茨基不久前提出的一類無理函數的積分問題。他因此被提升為高等代數與數論課程的講師。在文章中他證明的一個關於二項微分式（binomial differentials）積分定理，至今仍然收錄在許多大學微積分教科書中。

1849年，他以題為“同餘理論”的論文獲得聖彼得堡大學博士學位。隨後，該數論論文獲聖彼得堡科學院的最高數學榮譽獎。

1850年，切比雪夫在聖彼得堡大學晉升為副教授。1852年的下半年，他到法國、英國、德國和比利時進行了一次讓他畢生受益的學術訪問。切比雪夫不但考察了先進的蒸汽機、風磨和機械設備，而且拜訪了多位活躍的數學家。此後十多年間，切比雪夫幾乎每年夏天都到西歐進行學術訪問。他先後訪問過柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789-1857）、劉維爾（Joseph Liouville，1809-1882）、比奈梅（Irénée-Jules Bienaymé，1896-1878）、厄米特（Charles Hermite，1822-1901）、塞雷特（Joseph A. Serret，1819-1885) 、龐塞萊（Jean-Victor Poncelet，1788-1867）、勒貝格（Henri L. Lebesgue，1875-1941）、凱萊（Arthur Cayley，1821-1895）、西爾維斯特（James J. Sylvester，1814-1897）和狄利克雷（Peter G. L. Dirichlet，1805-1859）等一流數學家。此外，他和盧卡斯（Édouard Lucas，1842-1891）、博查特（Carl W. Borchardt，1817-1880）、克羅內克（Leopold Kronecker，1823-1891）以及魏爾斯特拉斯（Karl T. W. Weierstrass，1815-1897）等著名數學家也建立有長期的聯絡和交流。對切比雪夫畢生研究影響最大的是法國數學學派。1873-1882年間，切比雪夫多次參加了法國最重要的 French Association for the Advances of Sciences 學術會議並先後做過16場數學報告。

圖2 1850年代聖彼得堡大學物理與數學教師（前排左二是切比雪夫）

在切比雪夫的職業生涯裏，1852-1856年間他兼任聖彼得堡皇家高等政法學院應用力學教授。1856-1873年間他出任俄國教育部科學委員會委員。1860年，他在聖彼得堡大學晉升為教授。1872年，在他到校任教25週年之際，聖彼得堡大學授予他功勳教授的榮譽稱號。1882年，61歲的切比雪夫從大學教學崗位退休，之後全職在科學院工作，把餘生奉獻給了無休止的數學研究。

切比雪夫在聖彼得堡大學執教35年間教學成績卓著。他先後主講過數論、高等代數、積分運算、橢圓函數、有限差分計算、概率論、分析力學、傅立葉級數、函數逼近論、機械工程學等十多門數學和力學課程。他善於把研究思路和成果融入到教學之中，廣受學生歡迎。有趣的是，他對教學程序的掌控也象做數學研究一樣嚴格和精密。他從不缺課、從不遲到。但每當到了下課時刻，他也從不在課室多逗留一分鐘。如果有一個數學證明來不及講完，他將會在下一節課從被打斷的地方開始繼續他的推證。

切比雪夫的一個著名學生亞歷山大·李雅普諾夫（Aleksandr Lyapunov，1857-1918）回憶説：“他的課程並不冗長，他不去考慮所傳授知識的總量。相反，他試圖闡明所談及問題的一些最重要方面。這些都是生動的、引人入勝的講座。他對某些問題和科學方法的意義和重要性的新奇評論總是很豐富……他的講課非常令人鼓舞。學生在每堂課中都會獲得一些新的和必不可少的知識。他喜歡傳授較為開闊而不同尋常的思想觀點。”

切比雪夫畢生培養了7名博士學生。其中，除李雅普諾夫之外，還有眾所周知的傑出數學家安德烈·馬爾可夫（Andrey A. Markov，1856-1922）。

1894年11月26日，73歲的切比雪夫在聖彼得堡病逝。

圖3 切比雪夫紀念碑（莫斯科大學校園）

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切比雪夫一生髮表了80多篇論文，但沒有留下專著。他對數學的重要貢獻是多方面的。他在概率論、數論、函數逼近論、代數函數積分、機械和力學理論、曲面製圖學、飛行彈道學以及純數學和應用數學中的許多領域都成果累累。

在概率論方面，切比雪夫開創了證明中心極限定理的矩方法，用十分初等的方式證明了一般形式的大數定律，研究了獨立隨機變量的和函數的收斂條件，引導概率論的研究進入了一個新階段。隨後，馬爾科夫對矩方法作了補充，給出了隨機變量按正態收斂的條件。之後，李雅普諾夫發展了特徵函數方法，把中心極限定理的研究用現代數學方式來刻畫並作出了推廣。到20世紀30年代，安德烈·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov，1903-1987）進一步建立了概率論的公理化體系，讓蘇聯在這一數學領域獨佔鰲頭。1947年，柯爾莫哥洛夫在“概率論科學在俄羅斯的發展”一文中寫道：“從方法論的觀點來看，切比雪夫所帶來的根本變革的主要意義不在於他是第一個在極限理論中堅持絕對精確的數學家……切比雪夫的工作主要意義在於，他總是從極限規律中精確地估計出任何次數試驗裏可能出現的偏差並以有效的不等式表達出來。此外，切比雪夫是清楚地預見到諸如‘隨機量’及‘期望值’等概念的價值並將它們加以應用的第一人。”這裏提到的，就是著名的“切比雪夫不等式”。

在數論方面，切比雪夫從本質上推進了對素數分佈問題的研究。他探討了素數分佈的漸近規律，還證明了法國數學家約瑟夫·伯特蘭（Joseph L. F. Bertrand，1822-1900）的猜想：任何大於1的自然數 n 與 2n 之間存在至少一個素數。他還研究了用有理數逼近實數的問題，從而發展了丟番圖逼近理論，為解析數論的發展開闢了新的方向。

切比雪夫詳盡地研究了用多項式逼近連續函數的問題，為此還構造了著名的“切比雪夫多項式”，對一般正交多項式理論也有不少重要貢獻。他還研究了用三角函數及有理函數逼近連續函數的問題，發展了內插方法，創立了函數構造理論和最佳逼近理論。

切比雪夫在經典數學分析中也做了許多工作，研究了無理函數的可積性，解決了有限形式下橢圓積分問題，建立了微分二項式的可積條件，等等。

在數學中以他的姓氏命名的有切比雪夫集、切比雪夫點、切比雪夫結、切比雪夫交錯、切比雪夫網、切比雪夫常數、切比雪夫偏差、切比雪夫向量、切比雪夫中心、切比雪夫空間、切比雪夫半徑、切比雪夫濾波、切比雪夫逼近、切比雪夫函數、切比雪夫方程、切比雪夫求積公式、切比雪夫準則、切比雪夫正交、切比雪夫迭代法、切比雪夫多項式、切比雪夫系統、切比雪夫不等式以及幾條切比雪夫定理。有趣的是，由於有太多“切比雪夫”名下的數學術語，在科學文獻引用中他的英文名字出現過多個版本，諸如 Chebysheff，Chebycheff，Chebyschev，Tchebycheff， Tschebyscheff，Tchebychev，Tchebyshev，Tschebychev，Tchebysheff，Tschebycheff，Tchebyscheff，此外還有幾個不太常見的。不過，現在都統一寫為 Chebyshev 了。

最後特別值得一提的是，切比雪夫是科學研究工作中理論聯繫實際的典範。他把函數逼近論的思想和算法應用於機械設計，得到過許多可以直接應用的成果，包括連續運動變為脈衝運動的理論、直動機理論、最簡平行四邊形法則、絞鏈槓桿系統用作機械結構的條件、三絞鏈四環節連桿的運動定理、離心控制器原理，等等。他還親自設計和製造了其中一些機械。據説，他一生共設計了40多種機器及其80多個變種，包括可以模仿動物行走的步行機，可以自動變換船槳入水和出水角度的划船機，可以度量實際曲率並繪出大圓弧的曲線規，以及壓力機、篩分機、選種機、自動椅和手搖計算機。他的一些機械發明在1878年巴黎博覽會和1893年芝加哥博覽會上都展出過，有些至今依然保存在俄羅斯科學院數學研究所、莫斯科歷史博物館和巴黎藝術學院裏。1856年，切比雪夫被任命為俄國炮兵委員會成員，參與了革新炮兵裝備和技術的研究工作。1867年，他提出的一個計算弧形炮彈射程的公式被軍方彈道專家採用。他在聖彼得堡大學教授聯席會上作的“論地圖繪製”報告分析了數學理論與實踐結合的意義並詳盡討論瞭如何減少投影誤差的問題。在1878年法國科學院第七次年會上，切比雪夫還宣講了一篇題為“論服裝裁剪”的報告，其中提出的“切比雪夫網”後來成為曲面數學理論中的一個重要工具。

切比雪夫在1856年的一個學術講座中綜合性地表述了他的思想：“理論觀點和實踐觀點越接近就越能帶來最高效益的成果，而且受益的不僅僅是實踐方面。在這種影響之下，科學便向前發展，因為兩者的這種接近會提供新的研究對象或者為成熟學科帶來新的領域。儘管過去三個世紀以來傑出數學家的論著使得數學科學取得了長足的進步，實踐依然清楚地揭示了它們在許多方面並不完善。實踐提出了對科學來説本質上是全新的問題，從而挑戰人們去尋求全新的解決方法。如果理論在舊方法的新應用或新發展中能獲得很大的收益，那麼在發現新方法時收益會更大。在這裏，科學在實踐中能夠找到可靠的指南。”

切比雪夫在去世前不久還説過一段有趣的話：“數學已經經歷了兩個時期：一個是面對諸神設置的原始問題，另一個是面對半神，例如費馬、帕斯卡和其他人，所提出的問題。今天，我們進入到第三個時期：面對人類因需求而提出的、我們必須去解決的問題。”

圖4 蘇聯發行的切比雪夫紀念明信片

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18世紀以前，俄國幾乎沒有現代數學可言。1724 年1月，俄國國王彼得大帝（Peter the Great，1672-1725）頒佈諭旨，要在聖彼得堡建立科學院，並以法國巴黎科學院為樣板擬定了具體的科學院章程。1725 年，俄國科學院由彼得大帝遺孀凱瑟琳一世（Catherine I，1684-1727）主持正式成立。當時數學領域的院士全是外國人，包括萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）、尼古拉·伯努利（Nicolaus Bernoulli，1687-1759）、丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli，1700-1782）和克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach，1690-1764）。一個世紀之後，俄國才開始出現像尼古拉·羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky，1792-1856）、布尼亞科夫斯基和奧斯特羅格拉茨基這樣的幾位優秀數學家。但除了羅巴切夫斯基之外，其他人都是在外國特別是法國接受高等教育的“海歸”。切比雪夫是個土生土長的數學家，他在那種學術資源貧乏的環境下進行自己的數學研究和創造，十分難能可貴。切比雪夫在聖彼得堡建立了第一所俄羅斯數學研究院（Russian Mathematical School），帶起了一代年輕人。在他的組織和領導之下，聖彼得堡數學學派逐漸形成，讓俄羅斯數學走到了世界前列。切比雪夫因而被尊稱為俄羅斯現代數學的奠基人和領袖。

切比雪夫於1858年當選為聖彼得堡皇家科學院院士。他作為第一個俄國科學家被法國科學院遴選為通訊院士（1860年）然後成為正式院士（1874年）。此外，他還被選為柏林皇家科學院院士（1871）、倫敦皇家學會院士（1877）、意大利皇家科學院院士（1880）、瑞典皇家科學院院士（1893）。1890年，他獲頒法國榮譽軍團勳章。1893年，他成為聖彼得堡數學學會終身榮譽會士。

圖5 切比雪夫（1890年左右）

切比雪夫畢生大體上生活頗為富裕，但他終身未娶。不過有後人在回憶錄裏提到，他事實上有一個非婚生的女兒。

切比雪夫去世後，數學界先後出版了他的論文集（1899-1907），全集（1944-1951）和選集（1955）。1944年，蘇聯科學院設立了切比雪夫獎金。1946年5月25日，為紀念切比雪夫誕生125 週年，蘇聯發行了兩枚面值不同的紀念郵票。

圖6 蘇聯發行的切比雪夫紀念郵票（1946年）

本文經授權轉載自微信公眾號“華院計算”。

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