物理學中的冪律_風聞

想要從冪律型的數據中獲得儘可能多的信息是十分具有挑戰性的。近日發表於 Nature Reviews Physics 的一篇文章指出在研究冪律分佈時，湧現的標度不變性（scale invariance）所帶來的誤區和一些重要機會。

撰文 | James Sethna

譯者 | 樑棟棟

審校 | 陳清華、梁金

文章題目：Power laws in physics

文章鏈接：https://www.nature.com/articles/s42254-022-00491-x

冪律出現在許多知識領域中——從語言學的詞彙使用，到經濟學的收入分配。有大量文獻在發現和計算自然中的冪律現象。新發表的有趣的結果可能會涉及到跨越十到二十年的數據[1]：我們需要好的工具來表明冪律是真實且準確的。簡而言之，冪律擬合容易，但測量和解釋好很難[2]。那麼，研究冪律——基於湧現標度不變性這一統計物理學的關注對象——有什麼特殊挑戰？存在什麼樣的機會能夠讓我們從數據中提取更多的科學知識？

1. 普適的縮放函數

許多系統在變大時，會展現出分形結構和具有標度不變性的漲落，這些描述系統行為的規則在越來越大的系統中也是相同的。連續相變（例如鐵磁體中的居里點）、無序系統的動力學行為（例如脱釘相變（depinning transitions）、裂紋噪聲（crackling noise）、雪崩）、混沌邊緣、地震、充分發展的湍流，以及股票市場的行為，都表現出湧現標度不變性的明顯跡象，所有系統在各種行為的觀測中都顯示出冪律特徵。

在許多這樣的系統中，重整化羣（renormalization group, RG）[3]可以有説服力地解釋系統中出現的冪律。重整化羣通過系統粗粒化，然後縮放（重整）參數以及觀測值，以達到一個不動點。

在一些系統中（例如湍流、地震）這是一個共識。在另外一些系統中（例如玻璃[4]，隨機矩陣理論[5]）存在普適的臨界指數和普適的縮放函數，但還沒有重整化羣的解釋。重整化羣預測了和各種變量相關的冪律分佈，這些冪律分佈在理論和實驗普遍共享，同樣在（同一個

α也是一個普適數，Z是一個普適函數。由於這些強大的普適縮放函數，實驗人員和模擬人員在測量這些冪律時面臨的挑戰和最有成效的機會，幾乎總是會涉及冪律的修正和修改。

2. 有限尺寸縮放和尺度塌縮

我們從有限尺寸縮放（finite-size scaling）開始，描述系統在一個尺寸為 L 的立方體盒子中（或在一個尺寸為 L 的晶粒中）的行為。假設我們的系統顯示了跨度很大的雪崩，尺度大小為S。則雪崩運動的尺寸在 S 和 S+dS 之間的比例為：

圖1：隨機場 Ising 模型的標度律和雪崩。（a）雪崩概率分佈；（b）同樣數據的尺度坍縮，以及對標度函數 A 的擬合。

3. 次級修正和擬合函數形式

當行為達到系統的大小時，有限尺寸縮放會產生重要的修正。但是對於小尺度來説，重要的修正是什麼？或者對於一個遠離臨界點的系統？有兩種類型的次級修正（Subdominant correction），即縮放的奇異修正（singular correction）和縮放的解析修正（analytic correction）。例如，液氣臨界點的自由能是這樣的形式：

擬合函數形式還有三個好處。首先，它們不僅提供了對普適臨界指數的估計，而且還提供了普適縮放函數。其次，它們考慮到了對指數的統計誤差和系統誤差的估計（通常比直接冪律擬合要大得多）。最後，這些修正在臨界點附近很小，對於描述周圍相中的前期漲落越來越重要。確實，這裏有人想要通過對 Ising 臨界點使用解析和奇異修正，用相圖描繪（具有挑戰性的）液體特性。

4. 奇異縮放函數和危險的無關變量

仔細測量與微觀相比大、與系統相比小的系統的中等尺寸特徵，人們能夠找到正確的冪律嗎？如果縮放函數本身是奇異的——當輻射角趨於零時，它趨於零或者無窮大，那就不行。在我們對三維隨機場 Ising 模型的研究中[9]，這幾乎發生了（見圖1）。

奇異縮放函數同樣會在危險無關變量的例子中出現，如方程3中的u這樣的量，它會在縮放（無關變量）中消失，但當它消失時，一個物理性質的縮放函數會發散。這發生在一些玻璃系統中，在長尺度情況下，凍結不再是通常粒子間的温度和耦合的競爭，而是隨機無序和耦合之間的競爭。温度能夠使其跳躍過障礙，允許系統弛豫（relax）。因為在玻璃化過程中，温度是無關變量，弛豫時間（及其縮放函數）隨着系統通過相變冷卻而發散。

5. 交叉縮放，非線性重整化羣流等

對於普適的縮放函數，還有許多更吸引人的含義和用途，當然還有相關的警告：擬合冪律可能會讓你誤入歧途。許多系統表現出交叉（Crossover）的特徵，即隨着標度的增大，從一個冪律平穩過渡到另一個冪律——通常是在有限温度下觀察到的量子臨界點（quantum critical point），但同樣能夠在例如磁雪崩[10]、斷裂（fracture）和脱釘相變[7]中發生。其它系統表現出更加複雜的縮放行為，因為它們的重整化羣流本質上是非線性的[8]。這非常常見，例如，在相變臨界點，所有的二維、四維繫統都有對數、指數或必需的奇異點。

因此，關於相信冪律分佈擬合的陷阱不應該被視為障礙，而是一個機會。通過使用普適的縮放函數從數據中提取儘可能多的信息，這極具挑戰，但在智力以及科學上都是極富有成效的。

參考文獻

[1] Avnir, D., Biham, O., Lidar, D. & Malcai, O. Is the geometry of nature fractal? Science 279, 39–40 (1998).

[2] Newman, M. Power laws, pareto distributions and Zipf’s law. Contemp. Phys. 46, 323–351 (2005).

[3] Sethna, J. P., Dahmen, K. A. & Myers, C. R. Crackling noise. Nature 410, 242–250 (2001).

[4] Liarte, D. B. et al. Universal scaling for disordered viscoelastic matter I: Dynamic susceptibility at the onset of rigidity. Preprint at https://arxiv.org/abs/2103.07474 (2021).

[5] Adam, S., Brouwer, P. W., Sethna, J. P. & Waintal, X. Enhanced mesoscopic fluctuations in the crossover between random-matrix ensembles. Phys. Rev. B 66, 165310 (2002).

[6] Chen, Y., Papanikolaou, S., Sethna, J. P., Zapperi, S. & Durin, G. Avalanche spatial structure and multivariable scaling functions; sizes, heights, widths, and views through windows. Phys. Rev. E 84, 061103 (2011).

[7] Chen, Y.-J., Zapperi, S. & Sethna, J. P. Crossover behavior in interface depinning. Phys. Rev. E 92, 022146 (2015).

[8] Hayden, L. X., Raju, A. & Sethna, J. P. Unusual scaling for two-dimensional avalanches: Curing the faceting and scaling in the lower critical dimension. Phys. Rev. Res. 1, 033060 (2019).

[9] Perkovic, O., Dahmen, K. & Sethna, J. P. Avalanches, Barkhausen noise, and plain old criticality. Phys. Rev. Lett. 75, 4528–4531 (1995).

[10] Sethna, J. P. Crackling crossover. Nat. Phys. 3, 518–519 (2007).

本文經授權轉載自微信公眾號“集智俱樂部”，原標題為《Nature Reviews Physics：物理學中的冪律》。

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