楊振寧六大數理工作賞析 | 祝賀楊先生百歲華誕_風聞

我的物理學界同事大多對數學採取功利主義的態度。也許因為受我父親的影響，我較為欣賞數學。我欣賞數學家的價值觀，欽佩數學的優美和力量：它既有戰術上的隨機應變，又有戰略上的深謀遠慮。而且，堪稱奇蹟中的奇蹟：它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本結構。

楊振寧，《楊振寧論文選集》

我請大家注意楊振寧的三個很突出的、同時也是罕見的集齊於一身的特點。第一，極其高超的數學能力，使他能夠解決技術性問題；第二，對自然的深刻理解，使他能提出重要的問題；第三，一種團隊精神，使他在中國文化的復興中發揮主要作用。總之，這三種特質，造就了楊振寧之所以成為楊振寧，一個保守的革命者，他尊重歷史並引領未來。

Freeman Dyson，《飛鳥與青蛙》序言

撰文 | 林開亮

欣逢楊振寧先生百歲華誕之際【編注：楊先生生於1922年農曆八月十一（公曆十月一日）】，我們對楊先生的數理工作略作介紹，希望有助於增進讀者對楊先生非凡的學術成就的瞭解。首先要聲明，筆者的物理修養不足，這裏無法揭示楊先生工作之物理背景，請讀者見諒。為免得讀者誤以為楊先生僅僅是擅長數學而已，這裏我要先引用一段話 (參見注釋[2]) :

問：我想您一向認為，理論發展中物理圖像要很清楚，這也是您一貫的風格，是不是理論物理學家的風格也很不一樣？

楊：我想如果把理論物理學家分類，可以有種種的方向來分，我們單講一個方向， 就是對於數學的喜愛、能力以及用數學的風格，由這個方向可以把理論物理學家放在一條在線，一邊是非常數學的，一邊是非常不數學的。

如果我們談到理論物理學家的風格， 可以把當時最要做數學的， 最不要做數學的， 和後來的規範場論， 説成是三個方向， 一個在右， 一個在左， 一個在中間。我一直認為在中間的較容易成功。

圖1：《楊振寧論文選集》收入楊振寧自選的部分代表作，1983年出版。雕塑家熊秉明(1922-2002)[1]為封面題字，其父是數學家熊慶來(1893-1969)。

事實上，楊先生本人就是那種“在中間的”理論物理學家。作為對照，楊振寧在普林斯頓高等研究所的同事Freeman Dyson (1923-2020) 就屬於“最要做數學”的那一種，參見注釋[3]。

一

單位圓定理 [1952]

1952年，楊振寧與李政道合作，研究了相變理論，在第二篇合作文章中，引出了他第一個引以為豪的數學結果，稱為“單位圓定理”。關於該定理的發現過程，楊先生在1983年出版的《楊振寧論文選集》中引用了1969年寫給Mark Kac (1914–1984) 的一封信：

爾後，12月20日左右的一個晚上，我在家裏工作，忽然領悟到，如果使Z1，Z2，… 成為獨立變量並研究它們相對於單位圓周的運動，就可以利用歸納法、通過類似於您所用的那種推理得到完整的證明。一旦有了這個想法，只消幾分鐘就可以寫出全部的論證細節。

第二天早上，我開車同李政道去弄棵聖誕樹，在車上我把這個證明告訴了他。稍晚些時候，我們到了研究所[4]。我記得，我在黑板上給您講述了這個方法。

這一切我都記得很清楚，因為我對這個猜想及其證明感到很得意。雖然説這算不上什麼偉大的貢獻，但是我滿心歡喜地視之為一顆小珍珠。

圖2：李政道與楊振寧在普林斯頓高等研究所合影，1961年左右。

有跡象表明，這是楊振寧發現的第一個漂亮數學定理。楊振寧的弟弟楊振平 (1930–2018) 曾寫到[5]:

1951年聖誕節，我去普林斯頓大哥家度假，他那時剛剛證明了單位圓定理。我大學尚未畢業，數學和物理的基礎都不是很強，他興致極高地跟我講單位圓定理。雖然我完全不明白他説什麼，可是他當時的極端興奮給我留下了不可磨滅的印象。他説他在這個問題上苦思良久沒有結果，曾經去請教高等研究所著名數學家 Von Neumann 教授。Von Neumann 亦不知如何措手。六個星期以後，他終於解決了困難，得到了全部證明。他當時還説，“這恐怕將是我一生中能證明的最美的定理。”多年以後，我提起他的這句話， 他已經完全不記得了， 可能是因為他做了更重要更美的工作。

圖3：楊振寧與Kac Kac以Feynman–Kac公式聞名，在1940年代與P. Erdős一起將數論概率方法引入

事實上，單位圓定理比定理1更一般。一般的單位圓定理説，同樣的結論 (約化配分函數的零點落在單位圓周) 對實對稱矩陣A成立，只要A的每一個非對角元都非負。

單位圓定理在物理學中有重要意義，引起了許多數學物理學家的興趣，例如T. Asano, M. Suzuki, M. E. Fischer, D. Ruelle,C. M. Newman, E. H. Lieb 與 A. D. Sokal等。

特別值得一提的是，法國高等科學研究所的 Ruelle (1935–) 曾在其科普著作《數學與人類思維》中專闢一章講單位圓定理，並且在給我 (譯者之一) 的郵件中特別提到：“The Lee-Yang theorem remains a gem that I like to revisit from time to time (see for instance in my publications in www.ihes. fr/~ruelle/CVAnglais.html).” 此處，Ruelle 提到的是一篇發表於《數學年刊》的文章：Lee–Yang 多項式的刻劃。此外，1970 年，E. Lieb 與O. J. Heilmann 給出了單位圓定理在圖論中的一個變體：任意圖的匹配多項式 (matching polynomial) 僅有實零點。這一結果及其改進被 A. Marcus, D.Spielman 和 N. Srivastava 用於構造 Ramanujan 圖，其成果發表在 2015 年的《數學年刊》。

晚年時，楊振寧曾提起單位圓定理[6]：

我有個很有名的定理，叫做“單位圓定理”。單位圓定理是説，在物理中很有用的一類多項式，它們的根都在單位圓周上。我之所以會想到考慮多項式的根，是因為在我很小的時候，我父親(按：楊武之，清華大學數學教授)就教給我兩個漂亮的定理，其中之一是代數基本定理，它説每個非常數的多項式有複數根。(另一個是正 邊形可以尺規作圖，恰好與對稱有關）

插話：楊武之的數論工作

圖4：楊武之，1896–1973. 1928 年在芝加哥大學 L. E. Dickson 門下獲得博士學位，將近代代數與數論引入中國，是華羅庚研究數論的引路人

1952年，英國數學家 G.L.Watson (1909–1988) 改進了這一結果，證明了每個正整數都可以寫成8個正四面體數之和。這也是目前最好的結果。但這並非理想的結果，理想的結果是英國數學家F.Pollock (1783–1870) 在1843年提出的下述猜想：每個正整數都可以寫成5個正四面體數之和。Pollock的猜想，是古典的Waring問題的一個變體。以華羅庚、陳景潤為代表的中國數學家在Waring問題上取得了突出成就。關於這些問題的歷史以及新近發展，可見註釋[7]。

二

Yang-Mills規範場論[1954]

楊振寧先生曾經講，他的工作有兩個主題，統計力學與對稱，前者約佔三分之一，後者約在三分之二。從源頭上講，它們分別受到碩士論文指導老師王竹溪 (1911-1983) 和學士論文指導老師吳大猷 (1907-2000) 的影響。單位圓定理是他在統計力學的工作，現在我們來介紹他在對稱方面的一項重要工作，這也是他一生最重要的工作——Yang-Mills規範場。

1954年，楊振寧從普林斯頓高等研究所到布魯克海文國家實驗室度學術假，與R. Mills (1927-1999) 共用一個辦公室。楊振寧與Mills分享了關於推廣電磁學的規範不變性原理的嘗試，他們非常幸運地得到同位旋的規範不變性原理，規範場論誕生了。

圖5：楊振寧與 Mills,1999 年在楊振寧退休研討會上的合影

但由於矩陣的乘積不可交換，從它出發將引出極複雜的表達式。

如楊振寧在論文選集中所説：

這樣一來，我便陷入了困境，不得不罷手。然而，基本的動機仍然吸引着我，在隨後的幾年中我不時地再回到這個問題上來，但是每一次都困在同一個地方。當然， 於研究學問的人來説，一些看起來很好的想法，卻老是不成功，是每個人都會碰到的共同經驗。多數情況下，這種想法要不就只好放棄，要不就束之高閣。但是也有一些人堅持不懈，甚至執迷不悟。有時這種執迷不悟最後成為一樁好事。[按：楊先生寫這段話時也許曾想到 Einstein， 後者將狹義相對論推廣到廣義相對論，同樣花了七年之久。]

隨着越來越多的介子被發現以及各種各樣的相互作用的被考慮，我感覺迫切需要一種在寫出各種相互作用時大家都應遵循的原理。因此，在我再一次回到把規範不變性推廣出去的念頭上來。與我共用辦公室的Mills是哥倫比亞大學N. Kroll手下的研究生，即將取得博士學位。我們共同研究這個問題，最終寫成論文。

(其中i是虛數單位， g是耦合常數。) 於是天塹變通途。誠然，事後從微分幾何的觀點來看，場強的這個定義確實是自然的，但考慮到楊振寧和Mills當時並沒有微分幾何的背景， 寫出這個公式就不簡單了。

從以上場強公式出發，楊振寧和Mills引入Yang–Mills泛函，考慮其歐拉–拉格朗日方程，就得到Yang–Mills方程，它是著名的Maxwell方程的推廣。跟Maxwell方程所描述的光子一樣，Yang–Mills方程描述的規範玻色子的質量也是零。這個問題一度令楊振寧很頭疼，因為他和Mills傾向於相信，帶電的規範粒子必定有質量。楊振寧也因此遭到物理學家Pauli的詰難，後者堅持認為這一理論不可靠。當楊振寧在普林斯頓高等研究所講述他和Mills的工作時，Pauli毫不客氣地批評。事實上，Pauli曾有類似的想法，但因為質量問題沒有解決而放棄。

圖6：Pauli一向以批評人見長。以上是他的一句名言，有個知名的數學物理普及網站就叫 “Not Even Wrong” (http://www.math.columbia.edu/ woit/wordpress/). 就連Einstein，他也不客氣：“You know,what Einstein has just said isn’t so stupid.”

Einstein和Weyl曾聯合推薦 Pauli 擔任高等研究所的第二任所長，但被Pauli拒絕。後來 J. R. Oppenheimer (1904–1967) 接任。Pauli在1946 年獲得Nobel物理學獎，Weyl借用另一位Nobel獎得主N. Bohr (1885–1962)的話來評價他：“Pauli for many years has been the conscience and criterion of truth for a large part of the community of theoretical physicists.” 可以想見，Pauli的批評當時給楊振寧形成了巨大的心理壓力。

然而，楊振寧並未退縮，他寫道：“我們究竟應不應該發表這篇關於規範場的文章？在我們心中，這從來就不是一個真正的問題。我們的想法是美妙的，應該發表出來。”

2021年9月，為慶祝楊振寧先生百歲華誕，清華大學、中國物理學會、香港中文大學聯合主辦的楊振寧先生學術思想研討會的會徽，就嵌着Yang–Mill場強公式：

這個公式的重要性在1954年尚未認識到，20多年以後，才被充分認。我們將在第5節講述。

插話：Weyl

楊先生晚年論及規範場時，常常提及兩個人，一個是 Pauli，另一個是規範原理的創始人Hermann Weyl (1885–1955)，後者是普林斯頓高等研究所元老級別的數學教授。Weyl生前一直心心念要將規範不變原理加以推廣。遺憾的是，Weyl 去世前並未瞭解楊振寧和Mills的工作。可以料想，倘若Weyl有機會了解這一工作，那麼規範場論可能在上世紀50年代就蓬勃發展了，當然很可能楊振寧本人的工作也會以規範場為主線貫穿。順便指出，楊振寧被視為Weyl在20世紀下半葉的衣缽傳人，在1985年Weyl誕辰百週年之際，楊振寧在蘇黎世做了“Hermann Weyl對物理學的貢獻”的精彩演講。

圖7：普林斯頓高等研究所的徽章，主題“真與美“。英國詩人濟慈有名句：”美者真，真者美。”

普林斯頓高等研究所的徽章主題“真與美”，恰好反映了Pauli與楊振寧的不同價值觀。Pauli選擇真；楊振寧選擇美。Weyl呢？他有一句經Dyson轉述的名言：“我的工作就是努力把真與美統一起來；當我不得不作出抉擇時，我常常選擇美。”

Weyl，1918年提出規範原理，試圖統一電磁場和引力場，但因為不符合物理常識遭到Einstein的反對。量子力學出現以後，規範原理得到復活，但令Weyl意外的是，它並未統一電磁場和引力場，而是統一了電磁場和量子力學中的電子-波場。Weyl為統一場論做了許多嘗試，直到1950年他都發表過這方面的文章。但在《半個世紀的數學》[8]一文中，他對此總結道：

人們試圖用這些幾何結構來描述引力場之外的自然界存在的其它物理場，像電磁場、電子-波場以及對應於其他幾種粒子的場。但是，在我看來，迄今為止所有力圖建立統一場理論的設想都失敗了。我們有極為合理的理由來用微分幾何的基本概念來解釋引力。但是，試圖把所有物理實體都“幾何化”或許是靠不住的。

三

反對稱張量的乘積不等式[1962-1963]

1962年，楊振寧發表了一篇關於凝聚態物理的文章，其中包含了一些純數學的結果。1963年，他又做了進一步發展。這些問題本身是饒有趣味的，但由於他採用的是物理學家的語言和記號 (約化密度矩陣)，以至於數學界鮮有人知。這裏我們將他的工作翻譯成數學語言 (參見注釋[9]) 。