數學應該是一門科學……吧？（上）_風聞

原創：中科院物理所

數學是科學嗎？答案一方面取決於什麼是“數學”，另一方面也取決於什麼是“科學”。一部分德高望重的科學哲學家會給出否定的答案，而其他人會堅信“答案是肯定的”。

所以在回答問題之前，我們需要對問題中各個詞語的含義達成共識。

什麼是科學？

給“科學”下定義本身就是個相當棘手的問題。人們很容易就會説到“科學”（無論有沒有前綴和後綴）和“科學的”，但大多數人很難就什麼稱得上是科學問題而什麼不是科學問題提供一個能自圓其説的答案。

我問了一位做大學教授的朋友安德魯·利亞斯（Andrew Lias）這個問題，他給了我下面的回答：

科學是一種認識論形式，就像任何好的認識論一樣，它試圖區分真實陳述和虛假陳述，從而實現知識的積累。科學與其他認識論的一個主要區別是它是 a) 系統的和 b) 非教條的。一門正確的科學必須具有證實其主張的方法以及識別和拒絕錯誤主張的方法。這些方法也應該是系統性的。

讓我們先認可這個定義，也認可這裏的“真實”與“虛假”是指與“外部”世界的客觀實際相一致。

數學看起來不太符合這個定義：公理非常接近教條，它似乎不在乎真與假，甚至不在乎外部世界；數學有證明，但似乎沒有實驗；數學不遵從科學方法。不過，事實真的如此嗎？

一些歷史

絕大多數人從未接觸過現代數學研究。人們或許知道數學是處理方法、算法和規則的集合（比如二次方程的求根公式、求導數的規則和乘法法則等），或者可能知道歐幾里得（Euclid）的公理化模型（引理、證明，定理、證明，推論、證明，所有這些都基於已知的抽象概念和“不證自明”的公理）。但事實上，數學並不是上述二者，儘管有些時候它接近於這些直觀印象。

直到 19 世紀，從事“抽象數學”的人都被稱為幾何學家，他們通常是哲學家、業餘愛好者或利用空閒時間研究相關內容的物理學家和數學家。主要的數學著作要麼涉及類似於歐幾里得的突破進展，要麼是對於解決具體問題的方法和算法的總結歸納（例如丟番圖和斐波那契的著作）。幾乎所有其他做數學的人也都在做物理。事實上，直到1800年代早期，最著名的數學家都以某種方式與物理學聯繫在一起：牛頓、伯努利、傅里葉，甚至費馬；數學家王子高斯的正式職位是天文學家，他在物理學方面做了大量工作。那時的數學與物理混在一起。

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唯一難以歸入上面分類的數學是數論，在高斯具有里程碑意義的《算術研究》問世之前，它一直被認為是休閒數學。它不是嚴肅的研究，而是遊戲。

在接下來的 19 世紀，轉折出現了。數學開始作為一個獨立的學科發展起來。一方面，這與過去積累下的一些問題有關：微積分中的基礎問題、使用幼稚和直觀概念進行證明導致的疑難、以及非歐幾何的發現。另一方面，它也有賴於新思想和新方法的爆發：羣論、複分析和代數的開端，以及世紀之末的樸素集合論的發展（後來被公理化變體取代）和非構造性存在證明的出現（最著名的是希爾伯特的有限基證明）。

在這場危機中，物理學和數學之間出現了裂痕。雖然大多數數學家仍然致力於解決源自物理學的問題，並且大多數物理學家仍然解決數學問題，但他們的重點有所不同。總的來説，物理學家不太關心基礎問題，因為微積分及其推導顯然有效。這些疑難、悖論和矛盾對哲學家來説可能很有趣，但它們並不是人們在“真實”問題中可能遇到的事情。然而，數學家們非常關心這些問題，並努力嘗試將他們的大廈建立在堅實的基礎上。

在這場危機中，出現了兩個主要的數學思想流派，克羅內克學****派和希爾伯特學派。它們都同意數學需要建立在更堅實的基礎上。克羅內克學派相信算法和處理方法是數學的核心，這些算法或方法來自於一些基於經驗現實的明確定義的概念；這裏的“經驗”必須模糊地理解：克羅內克的著名格言是“上帝給了我們整數；其餘的是人的工作”，這意味着他認為（可能是無限的）整數集合是一個“經驗現實”。他們被稱為**“建構主義者”、“直覺主義者”或“形式主義者”。對於希爾伯特學派來説，自洽性和趣味性**才是最高標準。一個數學理論應該建立在明確陳述的公理和規則的基礎上，但問公理是“真”還是“假”是沒有意義的。他們認為，唯一必要的問題是：(i) 是否有可能使用公理和規則來證明一個命題及其否命題？(ii) 由此產生的理論是否有趣？如果分別給出了“否”和“是”的回答，那麼這個理論將被認為是可以接受的。（問第一個問題的原因是，在經典邏輯的規則下，如果一個命題和它的否定都可以證明，那麼任何東西都可以證明。這樣的理論，顯然是既無趣也無用的。）

大衞·希爾伯特

然而，這些公理不需要與“現實”有任何關係。希爾伯特曾説：“在幾何公理系統中，必須總是可以用‘桌子’、‘椅子’和‘啤酒杯’代替‘點’、‘線’和‘面’。” 也就是説，公理的實際含義是無關緊要的；它們的語義內容在數學中不起作用。

最後，大多數數學家接受了希爾伯特學派的觀點。主流數學家將數學描述為遵循經典歐幾里得公理的模型。也許可以在布爾巴基的作品中可以找到一些典型的例子。它還極大地影響了數學論文的寫作和高等數學的教學方式。後面還會更詳細地説明。

如今，數學被粗略分為兩種：應用數學和純數學。應用數學是由實際問題抽象出的數學，比如統計和微分方程等。純數學處理理論框架產生的問題，通常只關於數學。然而，這種區別在很大程度上是人為的。例如，數論曾一度被認為是最純粹的純數學，是絕對不可能有實際應用的數學分支。然而，近年來，它已成為現代密碼學的基石，並發展出非常強大的應用分支。

為什麼要講歷史？

介紹上面這些內容有什麼意義？嗯，關鍵是希爾伯特學派在 20 世紀和今天對數學產生了非常大的影響。當一個人研究數學時，這種影響反過來又有助於產生和推崇一種特定的寫作風格。這就是許多人都知道的枯燥的定義-引理-定理-推論風格。

這種風格的“問題”在於它掩蓋了數學是如何完成的。從事專業研究的數學家不會先寫出定義，然後寫定理及其證明，中間還將某些關鍵步驟作為引理分開。研究論文和書籍中報道數學的方式與數學實際的研究方式大不相同。

這種流行風格導致除了專業的數學研究人員之外每個人都傾向於對數學的研究方式有偏見。這反過來又導致一些哲學家得出結論，數學不是一門科學，因為它的方法（顯然）與其他經驗科學的方法如此不同。我將在下次文章論證，一旦我們超越了寫作風格所提供的表象並真正接觸到數學的研究方式，那麼這個結論實際上是毫無根據的。

這種風格的另一個影響是，希爾伯特學派從一開始，尤其是在戈德爾（Goedel）、圖靈（Turing）和丘奇（Church）等人的工作之後，就放棄了“真”和“假”的觀念，轉而支持“可證明”、“可證偽”和“不可判定”的觀念。我們對科學的定義非常強調真理，因此似乎也可以得出這樣的結論，只要數學似乎無論如何都不關心真假，它就不能被視為科學或科學的探索。