查了一下，這題原來是2005年美國普特南大學數學競賽的壓軸題_風聞

【本文來自《這道四隻鴨子出現在同一個半圓概率的題傳遍全網，到底答案是什麼啊》評論區，標題為小編添加】

• 江南劍俠
• 接近了，但是木棍和圓不一樣，木棍有兩頭，但圓沒有。

一樣的。木棍只要切3刀分為4段，圓需要切4刀分為4瓣，第一刀不用考慮概率。

也可以直接按切圓來描述，看上去還更簡潔一些，儘管實質一樣。重新描述一下：

每隻鴨子和圓心的連線看作一根指針，問題轉化為一個錶盤裏4根指針都在一個半圓的概率。

給定任何一根指針作基準，另外一根指針落在它順時針半圈內概率是1/2，另外3根都滿足的概率為1/2*1/2*1/2。4根指針都可以選為基準，所以總概率是4/8=1/2。

推廣到n只鴨子，概率是n*(1/2)^(n-1)。

再進一步推廣到n只鴨子落在1/m扇形區域內，概率是n*(1/m)^(n-1)。

不會有更簡潔解法了。這個解法似乎是首創。

查了一下，這題原來是2005年美國普特南大學數學競賽的壓軸題，原題問就是圓內4點沒有鴨子。解法很多了，有一個著名的油桶數學頻道3Blue1Brown，主創是斯坦福大學數學系的，對這題的解析被翻到b站了：“【官方雙語】如何優雅地解答最難數學競賽的壓軸題？”，思路非常好，但就本題而言似乎不如上述解法直觀簡潔。

知乎有過討論“圓內任取三點/四點在同一半圓內的概率是多少？”，各路大神給了很多解法，有的用了雙重積分甚至看不懂的數學知識，大都很繁複。最高贊解法是畫4條直徑，得到8條半徑，轉化為4個點落在相鄰半徑的概率，算比較簡潔的了。不過這種解法只是針對半圓的特解，如果問落在1/3扇形的概率就不能用了。