數學應該是一門科學……吧？（下）_風聞
中科院物理所-中科院物理所官方账号-2022-10-25 14:14
原創：中科院物理所
譯註
在上篇文章中，作者介紹了科學的定義、數學的發展簡史以及歷史對數學發展顯示的影響。在這篇文章中，作者將會分析數學究竟屬不屬於科學。
數學究竟是不是科學？
高斯稱數學為“科學的女王和僕人”。幾乎每個人都至少同意“僕人”的部分：不可否認，數學在科學中起着重要的支持作用。這種支持不僅在物理或化學領域，而且在其他科學領域也越來越明顯。統計學是醫學從藝術向科學轉變的基石。對於大多數社會科學而言，它們所利用的數學越多，研究可重複性就越會好、就會越科學。然而，關於數學是一門科學（更不用説“科學女王”）的説法似乎缺乏支持。
首先，數學是否遵循科學方法，觀察、假設、實驗、測試、驗證？
儘管有些人可能會感到驚訝，但答案確實是肯定的。這就是數學論文的流行風格不利於大眾準確理解研究性數學之處。真正從事研究的數學家不會先寫一個定理然後證明它。她通常和自然科學家一樣在未知中摸索。她會思考一些具體的例子（觀察），並檢查它們有沒有特殊的性質；然後提出一些具有一般性和具體性的問題，並且試圖針對具體案例回答它們；接下來，她會給出一般性陳述（假設），並繼續嘗試證明（實驗）；有時，如果失敗了，她會嘗試構建一個反例（證偽和測試）。
對於特別棘手的問題，提出具體的例子被認為是一種有價值的追求，類似於對理論難點的實驗證實。比如，檢查很大的範圍內的所有奇數是否完美可能並非是奇完美數不存在的數學證據，但它仍然有幫助。證實ABC 猜想所暗示的某些推論並不能證明猜想本身，但這會給數學家一些“街頭信譽”（並使人們更有興趣區證明猜想）。類似的例子還有很多。
另一方面，數學與物理學等科學存在一些顯著差異：雖然有觀察，但似乎沒有對“現實世界”的觀察。數學家總是要求“證明”，這是一個比任何其他科學都嚴格得多的標準！以牛頓萬有引力定律為例。聲稱該定律適用於任何地方（它的“普適性”）永遠不會使數學家滿意。對於這樣的聲明，僅僅沒有反例是不夠的。只有符合數學標準的證明才是正確的。例如，將它與費馬大定理進行比較，費馬大定理在 350 年來無法找到反例或證明，但這不能被視為真假的（數學）證據。這確實很煩人。只有當完成證明（並經受住檢查和驗證）時，猜想才會被接受。另一個例子是哥德巴赫猜想，它已經被大量驗證；這種驗證雖然具有指示性，但還不夠。奇完美數的存在性也是如此。對於數學的嚴謹性有一個笑話，有一位數學家、一位物理學家和一位工程師乘坐火車穿越蘇格蘭，這時他們看到遠處有一隻黑色的綿羊。工程師立即斷言“在蘇格蘭，綿羊是黑色的。” 物理學家回答説：“不，在蘇格蘭，有些羊是黑色的。” 然後數學家温和地糾正他：“在蘇格蘭，至少有一隻羊是黑色的……至少有一面是黑的。”
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那麼：我們應該如何處理對“證明”的需求以及明顯缺乏實際觀察的情況？
對於第一點，我認為數學對嚴格證明的需求並沒有真正將數學與其他科學區分開來。只是數學結果必須滿足比物理學更嚴格的標準。但其他科學也為了能夠被接受而設定了自己的閾值：不超過一定數量的錯誤，在一定程度上具有統計學意義的置信度，充分多樣的觀察、預測等。數學的標準只是在程度上不同（因為這些標準似乎更強並且具有更高的閾值），而沒有本質上的不同。
再來看第二點。公理是不是任意陳述？它們是不是被教條地遵循，從不會被質疑或修改嗎？數學家真的關心 “真”和“假”嗎？如果是外在世界的“真”和“假”呢？
希爾伯特學派提出的理想化數學模型認為，上面幾個問題的答案分別是“是的，它們是”、“是的，但它們是任意的，我們可以將公理隨意更改為其他系統”、“不關心”和“不關心”。但就像所有理想化的模型一樣，這不是一個準確的表示。
公理可以是任意陳述，但它們幾乎從來都不是。通常數學家都有一些理由提出特定的一組公理而不是其他公理。它們與其説是代表“任意陳述”，不如説是代表特定發展的“基本規則”，是作為數學家工作基礎的最低限度的商定斷言。通常，這些公理是對實際觀察的提煉，或者是以一種適合數學處理的方式抽象現實世界的嘗試。基於幾個世紀的工作和觀察，微積分的思想（一個明顯的經驗發展，它旨在提供研究運動的工具）已被提煉成一系列有關實數的“公理”。這些公理是18和19世紀的數學家在避免悖論、實用和好用之間做出的妥協。
在某種程度上，這些公理是“無可置疑的”，因為從數學的角度看，它們在經驗意義上的“真實性”幾乎沒有問題。與之相對，當一個數學理論源自它試圖抽象和研究的真實世界情況時，它的公理很少不受質疑或未經修改，因為人們總是試圖確保抽象理論儘可能接近實際情況。數學理論與現實世界之間存在持續的反饋和微調。
此外，雖然數學確實通常不説“真”和“假”，而是説“可證明”和“可證偽”，但這並不意味着它與外界沒有聯繫或應用。數學定理從來都不是簡單的陳述；相反，它們總是暗示。所有數學定理的形式都是“如果（滿足某些條件），那麼（將得出這個結論）”。此外，每當我們在一個具體模型中解釋該理論時，它都是正確的。
正如希爾伯特在他對幾何學的評論中指出的那樣，一個公理系統不應該依賴於所有未定義術語或公理的任何具體含義。然而，這意味着如果我們從這些公理中得出一些數學上正確的結論，那麼它們在任何解釋中都是正確的。如果我們將一個幾何定理中的“點”解釋為“桌子”，“線”解釋為“椅子”，“平面”解釋為“啤酒杯”，那麼這個定理將為我們提供關於桌子、椅子和啤酒杯的正確解釋（假設公理在這時也是真的）。這樣説來，數學肯定與現實世界有聯繫，也有測試和檢查這種解釋有效性的能力。此外，即使我們認識到我們可能賦予“點”、“線”和“平面”等未定義術語的語義含義在證明中不應發揮作用，但這些語義含義通常對證明和定理有啓發。即使“圓”和“線”是在證明本身中不應包含任何語義內容的術語，數學家還是會畫一個圓和一條線來幫助確定想法或啓發證明。
數學要求的證明標準實際上確保了只要前提（包括公理）為真，結論就為真；如果結論是錯誤的，則至少有一個前提為假。依賴可證明性而不是真理性給我們提供了靈活性和確定性。通過依賴抽象而非具體的考慮，我們確保（或至少試圖確保）我們的推論確實適用於任何具體的解釋。
大多數數學家在做數學時通常會有一些特定的解釋。可是，我們可能會在證明中無意中使用該解釋的具體屬性，並得到在其他解釋中無效的結果。歐幾里得也曾落入這樣的陷阱。他的《幾何原本》第 1 冊的命題 1 依賴於一個顯而易見的事實：兩個特定的圓段有一個共同點。然而，這個“顯而易見的”事實實際上並不是從公理中得出的。歐幾里得的理論需要一些新的公理才能成為真正的定理，只有所有公理（包括舊公理和新公理）都為真，他的理論才會為真。
第1冊命題1，文本來源：張卜天譯《幾何原本》
正是因為這種危險的存在，數學才發展出它的證明標準。就像其他科學根據自己的經驗發展出自己的科學一樣。在這方面，數學也表現出一門科學的特徵。
結論
數學是一門科學嗎？我相信是的。它遵循科學方法（儘管很可惜，流行的寫作風格掩蓋了這一事實）。雖然它似乎（有時聲稱）生活在自己的小世界中，而不關心現實，但事實是，即使以“最純粹”的名義，它也會密切關注現實的應用和啓發。毫無疑問，在 “應用”的幌子下，它貼近現實，並且它的假設、問題和結論在此背景下不斷得到檢驗和完善。儘管如此，它也與其他科學不同，它的標準更高一些，更確定一些。但這部分是數學作為一門科學的力量，而不是一個不合格的屬性。
那麼，回到我們對科學的定義，數學是否滿足要求？它試圖區分真實陳述和虛假陳述。然而，我們在這裏必須理解，“真實陳述”並不是孤立地指代一個定理或引理，而是指一個定理給出的隱含陳述，即只要所有公理和假設在某種解釋中都為真，則該定理的結論的相應解釋也為真。同樣，“錯誤陳述”意味着至少有一種解釋使公理和假設為真，同時使結論為假。
毫無疑問，數學通過系統證明的方式實現了這一點。任何人都可以檢查證明過程。他們被鼓勵通過逐行檢查證明過程並認可其有效性（或要求澄清，甚至指出錯誤）來“重複實驗”。曾經被認為正確的結果突然被一位數學家指出論證中的缺陷，這種事確實發生過。有時整個證明過程都會被否定，有時它只需要“修復”。
通過使用證明，數學有一種非常系統的方法來驗證它的主張：可以通過提出反例或指出證據中的疏漏來發現錯誤。絕大多數人都認可這種系統性的方式。
最後，應該確認數學確實符合科學定義的要求；它對科學方法的特殊解釋，它的特殊閾值，可能在數量上與其他科學不同，但在質量上是相同的。此外，它在科學中發揮着獨特的作用，是許多其他科學方面不可或缺的工具。
作者：Arturo Magidin
翻譯：藏痴
審校：C&C