趣味橫生的定積分：不要問我什麼是有趣，這就是有趣丨展卷_風聞

當遇到有趣的定積分，你會按捺不住算出來嗎？大部分人可能對於微積分計算敬而遠之，但是，你不想知道什麼是“有趣的”定積分嗎？

撰文 | 姬揚

最近我發現一位高產的科普作家，讀了幾本以後，覺得他寫得非常好，值得讓更多的人知道。

納欣（Paul J. Nahin, 1940-）是美國新罕布什爾大學的電氣工程榮休教授，今年已經八十多歲了。你可能覺得他是個工程師，也許他確實是個工程師，但是他寫了很多數學和物理方面的科普書，還得過一次數學科普寫作的優秀獎（2017 Chandler Davis prize for Excellence in Expository Writing in Mathematics）。

十一的時候，我在知乎瞎逛，看到有人推薦Springer的一本書——Inside Interesting Integral，説是講有趣的積分和實用的積分方法的。這種書能有什麼意思呢？不過我正好閒着沒事情，中科院的網站又可以接觸這本書，所以我就找來看看。這一看不要緊，完全停不下來了。這確實是一本數學書，裏面充滿了積分符號，但是怎麼説呢，我從來沒有這麼快、這麼認真地看過一本洋文的數學書，居然還有自己上去試一試的衝動（差不多每章後面都有習題的，有些還挺有挑戰性）——要知道，阿sir，我不做數學題很久了。

這是一本英文的數學書，專門講定積分的計算。數學水平大致是大學二年級的樣子，只要學過高等數學，應該不會有太大障礙（第8章圍道積分稍微有點難，但是其他部分都是黎曼積分）；英語水平嘛，我覺得大學生二年級肯定也是可以的，甚至很多高中生應該也可以讀，但是可能有許多數學名詞需要查字典；閲讀的還要求一點計算機的知識，因為他不僅向你展示如何用各種數學技巧來計算定積分，還用Matlab程序（很多時候就是一兩行命令而已）來數值計算相應的定積分，用實驗結果告訴你，他剛才的精確計算是正確的。

讀者並不一定需要同時掌握上述技能。比如説，你只懂英語，可以讀他的兩個序言（因為我讀的是第二版了）和後記；正文也可以翻一翻，只要跳過所有的數學就好了，因為裏面裏有很多非常有趣的小故事。當然這樣你會錯過這本書最精彩的部分，用各種神奇但頗有普適性的技巧來求解定積分——正如作者所説，求解定積分也是一種遊戲，但是這種遊戲比數獨可有趣多了。這是我讀過的最有趣的洋文數學書了——這個我可以保證。

讀了這本書（都不用讀完），你就知道，納欣教授肯定是費曼和哈代的“迷弟”，他們倆的名字隨時都會出現。費曼（R. P. Feynman, 1918-1988）是著名的物理學家，諾貝爾物理學獎的獲得者，但是他的數學能力也很強；哈代（G. H. Hardy, 1877-1947）是著名的數學家，在數學方面有很多貢獻（這個我們大家應該都不太懂，所以不用管它），他最著名的書可能是《一個數學家的自白》（A Mathematician’s Apology），而他認為自己最大的發現是拉馬努金（S. R. Ramanujan, 1887-1920），偉大的印度數學天才。納欣教授不僅在前言和後記中多次提到費曼和哈代（當然還有拉馬努金），在正文中也是如此：第3章的題目就是《費曼最喜歡的技巧》，而全書最長、可能也是最難最精彩的一節（第6.3節）是哈代的傑作，

這個積分是幾何學家考克斯特（H. S. M. Coxeter, 1907–2003，當時他還是個學生，只有19歲）猜出來的結果，但是他不知道怎麼才能得到這個結果。他在一份數學雜誌上徵求幫助，竟然得到了哈代的解答，隨信還附了一張紙條説：“我很努力地不在你的積分上花時間，但是對我來説，定積分的挑戰是不可抗拒的。”

上面這個故事可以解釋這本書的名字Inside Interesting Integral（《趣味橫生的定積分揭秘》）為什麼有3個I：Integral是積分，Inside是揭秘，但是最重要的選擇標準是Interesting，有趣，有趣得讓人無法抗拒！納欣教授還用了一個類比來説明什麼是有趣（參見美國高院大法官關於什麼算是“淫穢”的著名評論）：不要問我什麼是有趣的定積分，我不知道怎麼定義有趣，但是隻要我碰到有趣的定積分，我就知道它有趣！

這本書還提到了很多有趣的書和有趣的人，主要是數學書和數學家。當然，這本書的主角應該説是偉大的數學家黎曼（G. F. B. Riemann, 1826-1866），儘管在第1章提到了勒貝格積分，在後記裏也講了黎曼猜想，但是這本書的總體內容是黎曼積分！納欣教授的求解過程很詳細，語言很風趣，你讀起來並不會覺得他是在花式炫技，而是很多時候都會覺得這是自然而然的呀。

不管你是喜歡英語還是數學，喜歡數學的實用技巧還是數學家的名人軼事，我都建議你嘗試讀一讀這本書。不要因為它是一本洋文的數學書，就自動放棄了，打開試一試，也許他就是你的菜呢。

後記：

讀完這本書以後，我才注意到，其實我以前見過幾本納欣教授的書，已經翻譯成中文的《虛數的故事》和《物理就是這麼酷》。後者我還讀過，差點就要寫個書評，只是因為不想違背自己設定的原則才作罷——對於任何沒有“譯者的話”的中譯本，我都不願意寫書評。（編者注：參見《如何挑選譯著？先看看有沒有“譯者的話”｜讀書人語》）

幸好，Inside Interesting Integral這本書不需要譯者的話。

納欣教授還有很多其他的科普著作，從網上的簡介來看，大都似乎也都挺有趣。列個書單在這裏吧，也許以後有機會讀呢。

• Oliver Heaviside (1988, 2002)

• Time Machines (1993, 1999)

• The Science of Radio (1996, 2001)

• An Imaginary Tale (1998, 2007, 2010)

• Duelling Idiots (2000, 2002)

• When Least Is Best (2004, 2007)

• Dr. Euler’s Fabulous Formula (2006, 2011)

• Chases and Escapes (2007, 2012)

• Digital Dice (2008, 2013)

• Mrs. Perkins’s Electric Quilt (2009)

• Time Travel (1997, 2011)

• Number-Crunching (2011)

• The Logician and the Engineer (2012, 2017)

• Will You Be Alive Ten Years From Now? (2013)

• Holy Sci-Fi! (2014)

• Inside Interesting Integrals (2015, 2020)

• In Praise of Simple Physics (2016, 2017)

• Time Machine Tales (2017)

• How to Fall Slower Than Gravity (2018)

• Transients for Electrical Engineers (2019)

• Hot Molecules, Cold Electrons (2020)