糾纏譜猜想——路徑積分蟲洞效應揭示糾纏譜與能譜的迷離關係_風聞

一個好的猜想，值得一個漂亮的證明，和一些恰到好處的推廣。從路徑積分蟲洞效應出發，我們的工作提供了理解好蛋大爺的糾纏譜猜想的一個好的思路，也孵出了額外的“好蛋”。

撰文 | 嚴正（香港大學物理系研究助理教授）

原標題：《好蛋大爺的糾纏譜猜想——路徑積分蟲洞效應揭示糾纏譜與能譜的迷離關係》

一 糾纏譜猜想

數學愛好者都喜歡證明猜想，比如黎曼猜想、哥德巴赫猜想等等。其實物理界也有一些傳奇人物的猜想，比如2016年諾獎（拓撲物理）得主之一，好蛋大爺（F.D.M. Haldane，此處“好蛋”乃愛稱，絕無不敬之意。Tips: 好蛋用廣東話讀和英語更配哦~）就有一個很著名的猜想，即，自旋半整數鏈無能隙，而自旋整數鏈存在能隙[1]。這其實是拓撲物理的開端之一，裏面涉及的邊緣態、分數激發等有着豐富的物理內容，感興趣的可以去看多體物理界的吶喊彷徨卡洛君（你懂的）等人之前的科普文[2]。

其實好蛋大爺還有另一個有名的猜想： 拓撲態的低能糾纏譜應該與邊緣態的能譜相似[3]。筆者要介紹的近期工作，就是關於這個主題的。我們最近在發展量子蒙卡求解糾纏譜的過程中，意識到路徑積分構型下的蟲洞效應是解釋糾纏譜和物理系統能譜看似迷離關係的鑰匙，同時發現蟲洞的物理圖像不但可以解釋好蛋大爺的猜想，還能進一步推廣糾纏譜與能譜的一般關係！

早在2008年， Li Hui和好蛋大爺就提出了一個十分新潮的概念：用糾纏譜替代糾纏熵來表徵多體物態應該是更普適的。因為糾纏熵是一個數值，而糾纏譜卻類似於一個指紋，包含了更多的信息。在他們的開創性論文中[3]，以ν=5/2分數量子霍爾態為例，發現了它們都擁有一樣的低能糾纏譜結構，並且這與共形場論（CFT）緊密相關。至此，他們提出了低能糾纏譜可以作為表徵拓撲態的指紋！不光如此，他們還提出了一個假想：拓撲態的低能糾纏譜與其邊緣態能譜相似。

好蛋大爺一出手，一篇短短的四頁論文，開闢了新領域，引領思潮（第一個題外話重點，好的工作並不一定要攻堅克難，也可以是開拓創新，引領思潮！）。此後有很多數值工作證明了好蛋大爺的猜想，但都不夠系統和漂亮。幾年後，祁曉亮老師等人（Qi, Katsura and Ludwig）的理論工作[4]在一些前提條件成立的情況下，通過CFT嚴格證明了二維有能隙拓撲態糾纏譜與其一維無能隙邊緣態能譜的一般關係。至此，對於好蛋大爺的猜想，有了一個更漂亮的解答和證明。但侷限於CFT的成立條件和數學推導的抽象性，人們仍沒辦法回答更一般多體系統中糾纏譜與能譜的關係。

輪到我們上場了。近期，本港Meng哥和耶魯的另一位Meng哥聯手，帶着小趙、小陳、杭州（不是隔壁）老王和筆者等人開始研究一些糾纏熵和多體相變的問題。聞名遐邇的魔性秋褲算法（Qiu Ku）開始席捲facebook、微博等平台[5, 6]。某天，鄙人在聽復旦理論物理報告之時，正好講到糾纏譜和拓撲物態的關係。受限於目前的數值技術，人們只能研究一維量子系統的糾纏譜。這啓發了筆者的一個想法：通過量子蒙卡結合數值解析延拓技術，求解糾纏譜（第二個題外話重點：要多聽報告！）。後面的故事，就這麼展開了。

二 研發算法

小試牛刀

有了這個方案之後，我們馬上在自旋1/2海森堡相互作用梯子模型上做了簡單的測試。此處我們選擇的糾纏邊界是將梯子兩條鏈切開，如圖2(a)所示，這個糾纏邊界正比於鏈長L，這會帶來糾纏矩陣的發散。本文取L=100，這在其他的任何數值方法中都是不可想象的。我們得到了A的糾纏譜，其性質確實與A的能譜一致。比如鏈間和鏈內耦合都是反鐵磁的時候，我們看到糾纏譜就是一個反鐵磁自旋鏈的激發，如圖2(b)。當我們把鏈內耦合改成鐵磁的時候，糾纏譜就變得與鐵磁自旋鏈的二次型激發一樣。這些是老早嚴格對角化結果無法做到的，不作展開，感興趣的可以看我們的論文[9]。

發現蟲洞

到這裏，我們還只是數值上又看到了好蛋猜想的例子，並沒有好的物理圖像來解釋。某天在杭州家裏，筆者和娃玩耍之時，摺紙遊戲啓發了我開始思考這個複製流形上到底發生了什麼。如圖3(a)所示，事實上在每個複製流形內，不同演化路徑帶來的消耗是不同的。在環

圖3. (a)在一個複製體內，粒子世界線演化的路徑和消耗。在A部分，如果硬穿過整個體內，則需要跨越長為β的時間，這帶來的消耗是極其巨大的。但如果從環境的虛時間下邊界穿出，則由於時空的粘連，可以瞬間達到上邊界，如同蟲洞一般。這個蟲洞效應會大大減小世界線演化對於關聯函數的消耗。(b)通過測量圖1的複製流形上虛時間關聯函數，可以清晰看到，在複製體連接處，會有一個高起的慢衰減模式，這就是由蟲洞效應誘導的糾纏哈密頓量模式。而在複製體內部，關聯函數快速衰減，這反映了體系本身哈密頓量的模式。(c)一個獨立A系統的世界線演化。(d)糾纏哈密頓量HA的世界線演化[9]。

為了印證我們的猜測，我們測量了複製體流形上的所有虛時間關聯函數，而不再只測量連接處。通過圖3(b)可以明顯看到，蟲洞效應使得整數倍β處，即複製體連接處的關聯有明顯的升高。實際上，一個β時間段內迅速衰減的關聯函數，源於體系本身哈密頓量能隙帶來的消耗。而整數點隆起的關聯函數，其包絡線反映的，則是由糾纏哈密頓量主導的衰減模式。

下面我們來做一個思想實驗（第三個題外話重點，要鼓勵瞎想一通！），進一步理解糾纏譜和邊界哈密頓量的關係。如剛才的梯子模型，系統A的每個自旋都與環境耦合。假設存在一個A體系，不與環境耦合，也就是把和環境的連接都切斷。那麼其虛時間演化由A部分的哈密頓量決定，如圖3(c)。另外，存在一個由糾纏哈密頓量HA演化的體系，而我們只能在整數的虛時間點上觀測它的演化，如圖3(d)。注意，我們只能在整數虛時間點觀察到實線的行為，事實上，整數虛時間點的演化行為就是我們在複製流形（圖1）的複製體連接處看到的，它的演化行為就是由A上的哈密頓量導致的。所以我們看到圖3(d)的實線處演化行為，和圖3(c)是沒有分別的。同時，定義糾纏哈密頓量的時候，我們包含了一個假設，即糾纏哈密頓量不含時，所以我們在任何虛時間時刻看到的演化行為應該一致。故而我們可以用圖3(d)實線處的演化規則，腦補出中間段的演化過程，即虛線所示。由此，你會發現圖(d)和圖(c)的演化規則應該是一致的，除了虛時間長度的定義上會有差別（拉伸）。這就解釋了為何圖2中糾纏譜和單鏈的能譜一致。

五 大試牛刀

為了簡單地驗證一下這個思想實驗的正確性，我們計算了一個雙層海森堡模型。如果我們的猜想成立，層間切開後的糾纏譜應該和單層的正方晶格海森堡模型能譜類似。即我們對層間耦合做調整，只要耦合不極端（0，無窮等），即使體系發生相變，也不應該改變糾纏譜。事實確實如我們所料：我們測量了（1）層間耦合較小，體系處於奈爾序；（2）量子O(3)臨界點；（3）層間耦合較大，進入dimerized相三種情況。它們都展示出了類似、甚至一樣的激發模式，即正方晶格反鐵磁海森堡模型的典型Goldstone模式，如圖4。這裏不得不多提一句，這是人們首次得到了一個糾纏邊界是二維面的糾纏譜！在技術方面也是令人興奮不已的！

六 一般結論

這些數值證據，事實上已經超越了好蛋猜想和祁曉亮老師等人嚴格證明的適用範圍了。至此，我們信心爆表，又恬不知恥地（主要是筆者）給出了更普適的預言：糾纏譜的低能模式由路徑積分中世界線的路徑競爭決定，而糾纏邊界和系統體內的時間長度是不一致的，環境時間上存在蟲洞效應。我們大致可以想象，在一個複製體內虛時演化時，如圖3(a)：若粒子世界線一直在A內部演化，其付出的代價大概是βΔ。而如果粒子的世界線在糾纏邊界附近演化，它付出的代價大概是Δe（我們粗略認為其時間長度由於蟲洞效應，縮減為1的量級）。這裏就不難得到好蛋大爺的猜想了：體內有能隙但存在無能隙邊緣，所以在邊緣上演化的世界線當然貢獻了大量的關聯信息。我們可以進一步大膽推測：即使邊緣上有能隙，只要能隙有限，糾纏譜都應該和邊緣能譜相似。但如果存在一個物態，其體內是無能隙的，邊緣上有能隙，通過適當調節温度β，此時糾纏譜就應該更像體的能譜。我們又緊跟着讓新來的小兄弟，傳説中的HKPF小宋，做了一個數值計算驗證了這個猜想，如我們所想，在特殊的設計下，好蛋猜想被完全反轉了：系統的低能糾纏譜也可以更像是體的能譜。感興趣的朋友們可以看我們最近的文章[10]，這裏不加贅述。

行文至此，我的糾纏譜狂想曲也就奏完。附上筆者讀博結婚時，婚禮上使用的logo（圖5），基於量子糾纏的理念，我稱之為《同甘共苦》。雖然我們知道，量子糾纏很脆弱…唬人就行…

圖5. 作者婚禮上的logo，基於量子糾纏理念設計的《同甘共苦》。

參考文獻

[1] Haldane F.D.M., Continuum dynamics of the 1d Heisenberg antiferromagnet: Identification with the O(3) nonlinear sigma model, Physics Letters A 93, 464, (1983)

[2]《Haldane大叔的猜想》

[3] Li H, Haldane F D M., Entanglement spectrum as a generalization of entanglement entropy: Identification of topological order in non-abelian fractional quantum hall effect states, Physical Review Letters, 101, 010504 (2008).

[4] Qi X L, Katsura H, Ludwig A W W., General relationship between the entanglement spectrum and the edge state spectrum of topological quantum states, Physical Review Letters, 108, 196402 (2012).

[5] 《我愛糾纏如秋褲｜量子多體中的吶喊與彷徨之八》

[6] 《在糾纏中窺見自然的奧秘》

[7] 《海森堡模型的譜，到底有多靠譜》

[8] Shao H, Sandvik A W. Progress on stochastic analytic continuation of quantum Monte Carlo data. arXiv preprint arXiv:2202.09870 (2022).

[9] Yan Z, Meng Z Y. The wormhole effect on the path integral of reduced density matrix: Unlock the mystery of energy spectrum and entanglement spectrum. arXiv preprint arXiv:2112.05886 (2021).

[10] Song M, Zhao J, Yan Z, Meng Z Y. Reversing the Li and Haldane conjecture: The low-lying entanglement spectrum can also resemble the bulk energy spectrum. arXiv preprint arXiv:2210.10062 (2022).

出品：科普中國