千呼萬喚始出來，張益唐公佈證明朗道-西格爾零點猜想的論文_風聞

撰文 | 倪憶

2022年10月14日，在北京大學大紐約地區校友會舉辦的在線座談活動中，傳奇數學家張益唐宣佈他證明了朗道-西格爾零點猜想，論文很快便會公佈。消息傳出，在學術界內外均引起了轟動。美國時間11月4日，張益唐終於公佈了他的論文，並在山東大學的在線講座中簡要介紹了這一工作。根據北京大學的公告，張益唐還將於11月8日在北大做在線學術報告。

張益唐的這篇論文題為《離散平均估計與朗道-西格爾零點》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero），全長111頁。看起來文章很長，但張益唐過往的風格是寫得非常清楚，領域內的專家讀起來毫不費力。他上一篇關於孿生素數猜想的文章有五十多頁，投稿後僅僅五週時間就被《數學年刊》接受。現在這篇論文當然也要接受學術界最嚴格的檢驗。但如果文中證明沒有錯誤，可能兩三個月內就能得到證實。

張益唐論文的目錄

那麼，朗道-西格爾零點猜想到底是怎樣的一個猜想，又有什麼意義呢？太長不看版：朗道-西格爾零點猜想是廣義黎曼假設的一個重要的特殊情況，但跟黎曼假設沒有直接關係。張益唐證明了朗道-西格爾零點猜想的一個變形。這一成果在解析數論中的意義，比張益唐之前在孿生素數猜想上的突破還要重大。下面具體談談筆者作為一個外行對張益唐工作的理解，其中不免有錯漏之處，望方家海涵。

很多讀者都聽説過黎曼ζ函數。這是一個形如

的函數，其中s=x+yi是一個複數。需要特別注意的是，上述關於ζ函數的定義僅僅是在x>1的情況下才成立。在x≦1的時候，需要使用別的定義。

黎曼ζ函數滿足一個函數方程

從中容易看出，在所有的負偶數處，黎曼ζ函數的值都是0. 所以負偶數被稱為黎曼ζ函數的平凡零點。黎曼ζ函數還有別的非平凡零點。黎曼猜測，所有的非平凡零點都應該在x=1/2這條直線上。這就是著名的黎曼假設（Riemann hypothesis），是數學中最重要的問題之一。在黎曼的原始論文中，用ζ函數的所有零點給出了素數分佈的精確公式。所以一旦我們知道ζ函數零點分佈的任何信息，就能得到關於素數分佈的相關結論。這就是為什麼黎曼ζ函數是如此重要。早在一百多年前，人們就知道黎曼ζ函數的所有非平凡零點都在0<x<1這個無窮長的帶狀區域裏。前面的函數方程告訴我們，這些非平凡零點關於x=1/2這條直線對稱分佈。所以黎曼假設等價於説黎曼ζ函數在1/2<x<1這一區域內沒有零點。

黎曼ζ函數可以推廣為狄利克雷L函數，這是一種形如

的函數。同樣地，這個定義只是在x>1時成立。在x≦1的時候，需要使用別的定義。

上式中χ(n)是正整數集上定義的一個複數值函數，稱為狄利克雷特徵，滿足如下條件：

(1) 對於任意兩個正整數m和n，χ滿足χ(mn)=χ(m)χ(n)。(2) 存在一個正整數D，使得χ(n+D)=χ(n)對任何n都成立。(3) 如果n與D有大於1的公約數，那麼χ(n)=0；如果n與D互素，那麼χ(n)是一個單位根（即其若干次冪是1）。廣義黎曼假設（Generalized Riemann hypothesis）説，狄利克雷L函數所有的非平凡零點都在x=1/2這條直線上。類似於黎曼假設，廣義黎曼假設等價於説狄利克雷L函數在1/2<x<1這一區域內沒有零點。

廣義黎曼假設當然比原本的黎曼假設更加困難。不過，人們已知狄利克雷L函數在一個非常靠近x=1這條直線的區域裏通常沒有零點。具體而言，如果χ(n)的取值不全是實數的話，L(s,χ)在

這一區域裏沒有零點。其中c是一個跟D和χ無關的可以計算出來的正實數。如果χ(n)的取值都是實數（這時χ被稱為一個實特徵），那麼L(s,χ)在上述區域裏最多隻有一個零點，而且這個零點一定是實數。這個可能存在的零點被稱為西格爾零點。

朗道-西格爾零點猜想就是説，西格爾零點不存在。更確切地説，存在一個正實數c，使得對於任何D和相應的實特徵χ，L(x,χ)在

時都不等於0。

很明顯能看出，朗道-西格爾零點猜想是廣義黎曼假設的一種特殊情形。但這是一種非常重要也非常困難的情形。在很多解析數論問題的研究中，都需要把西格爾零點單獨拿出來考慮。所以如果能夠排除西格爾零點，對於解析數論的研究就有着非同尋常的意義。

在許多介紹張益唐工作的文章中，把“廣義”去掉，直接説朗道-西格爾零點猜想是黎曼假設的特殊情形。這是不對的。事實上，對於黎曼ζ函數，早在一百多年前就知道相應的西格爾零點不存在了。人們甚至知道更強的結論：黎曼ζ函數的非平凡零點都不是實數。所以朗道-西格爾零點猜想跟黎曼假設沒有直接的關係。

張益唐對朗道-西格爾零點猜想已經研究了二十多年。早在2007年，他就在預印本網站arXiv上張貼了一篇論文，宣佈證明了朗道-西格爾零點猜想的一個變形（variant）。但這篇論文有錯誤。現在這個證明的想法是在他2014年訪問普林斯頓高等研究所期間產生的。從那時起，他花費了8年時間，終於完成了證明。

張益唐論文的第一章

在張益唐新公佈的論文第一章中，他宣佈了兩個定理。定理1是當χ是一個實特徵時，對於L(1,χ)的估計：

其中c1是一個跟D無關的，可以計算出來的正實數。定理2則是對西格爾零點的估計：L(x,χ)在

時都不等於0. 其中c2是一個跟D無關的，可以計算出來的正實數。這裏的指數-2022和-2024都是可以改進的數字，就像他的孿生素數猜想論文中的七千萬一樣，只是為了計算方便而選取出來的。當然選取成目前的數字，明顯是在致敬今年的年份。對比定理2和原本的朗道-西格爾零點猜想，我們可以看到，張益唐所證明的結論並不完全是原本的猜想。現在這個結論，比他2007年宣佈的（證明有錯誤的）版本還要弱一些。要得到原來的猜想，需要把定理2中的指數-2024改成-1。但這跟原來的猜想沒有實質性的差別。重要的是，張益唐的工作給出了西格爾零點的有效估計，這在實際應用中已經足夠了。可以説，張益唐證明了朗道-西格爾零點猜想的一個變形。按張益唐本人的話，從中可以推出一百個定理。張益唐的同事，解析數論專家Jeffrey Stopple曾説：“如果張益唐能夠證明朗道-西格爾零點猜想，就相當於一個人被閃電擊中兩次。”現在張益唐的論文已經公佈，如果最終被證實是正確的話，解析數論就將揭開一個新的篇章。讓我們拭目以待，希望早日有好消息傳來！

本文經授權轉載自微信公眾號“普林小虎隊”。

特 別 提 示

1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閲不同主題系列科普文章。

2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回覆四位數組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。