一個人如何被閃電擊中兩次？張益唐的新成果 | 袁嵐峯_風聞

導言

即使看不懂這些數學細節，張益唐的奇蹟仍然可以給我們巨大的鼓舞，告訴我們人永遠都可以發揮主觀能動性，永遠都可以打破界限。最近，整個數學界最轟動的新聞是，中國數學家張益唐再次宣佈獲得重大成果，在朗道-西格爾（Landau–Siegel）問題上取得突破。呃，這話的前一句很容易理解，後一句就完全不知所云，朗道-西格爾問題是啥？

張益唐

實際上，這個新聞對我來説完全不意外。因為我2019年介紹張益唐時（質數的最小間隔有上限，人的奮鬥沒有上限 | 袁嵐峯），就提到過他在研究朗道-西格爾零點猜想（Landau-Siegel Zeros conjecture），而且對此很有信心。因此，最近的新聞完全在我的意料之中。

不過我以前並沒有調研過朗道-西格爾零點猜想具體説的是啥，現在既然他説他做出來了，我就趕快做了一番調研。然而調研的結論是，這東西完全無法向普通觀眾解釋。雖然我以前給大家講解過很多硬核的數學問題，但這次真的是太硬了。就像《是，首相》裏的經典台詞：The Russians are too strong.

然而，我可以向大家解釋清楚這事的背景。你如果瞭解這些，你的知識水平就超過了90%的人。

首先，最基本的問題是，張益唐是誰？其實張益唐現在已經非常有名了，他是數學界少有的飽經磨難、大器晚成的代表。

張益唐1955年出生於上海，1978年進入北京大學數學系讀本科，1985年到普渡大學讀博士。1991年博士畢業後，由於導師不給他寫推薦信，他無法在學術界找到工作，以至於淪落到打各種零工，才能維持得了生活這樣子。他送過外賣，賣過炸雞，還在快餐店當過會計，作過收銀員等等。有時他沒地方住，只能在車裏過夜。

打工是不可能打工的

然而奇妙的是，他在這種環境下都沒有放棄數學，仍然經常到圖書館去讀代數幾何和數論方面的期刊文章。1999年，在他的北大師弟、新罕布什爾州立大學數學系教授葛力明的幫助下，他終於在44歲時獲得了一個學術界工作：到師弟的這個系擔任臨時講師。

葛力明

2005年，張益唐50歲時，終於從臨時講師成為正式講師，因為他的微積分講得很好。按照正常的軌跡，他似乎會在這個位置上平穩地退休。

然而，命運的車輪在這時才開始轉動。2013年，張益唐在58歲時發表了石破天驚的論文《質數間的有界距離》（Bounded gaps between primes），這是人類幾百年來在孿生質數猜想（twin prime conjecture）上第一個實質性的進展。

《質數間的有界距離》摘要

什麼是孿生質數猜想？這是一個可以用小學數學知識很容易講清楚的問題，所以我們來好好解釋一下。

最前面的幾個質數是2、3、5、7、11、13、17等等，它們之間的間隔分別是1、2、2、4、2、4等等。顯然，間隔1只會出現一次，即2和3之間，因為2後面就再也不會有偶的質數了。那麼，間隔2會出現多少次呢？

100以內的質數和合數表

一個驚人的猜想是：無窮多次！這就是孿生質數猜想。我們把一對相差2的質數稱為孿生質數（twin primes），例如3和5、5和7、11和13。孿生質數猜想説的就是，存在無窮多對孿生質數。

實際上，隨着自然數的增大，質數會變得越來越稀疏。也就是説，平均而言，相鄰兩個質數的間隔會變得越來越大。然而，孿生質數猜想説的就是，無論質數間隔變得多大，它總會在後面的某個地方突然縮小到2，這樣的事會發生無數次。

目前，我們已知的最大的孿生質數對是：2996863034895 × 2^1290000 ± 1。這是兩個大得驚人的數，寫成十進制有將近40萬位。

孿生質數猜想目前仍然是個猜想，也就是説我們還不知道它對不對，既沒有證明也沒有證偽。張益唐並沒有證明孿生質數猜想，但證明了一個它的弱化版本。張益唐證明的是：存在無窮多對質數，它們的間隔不超過7千萬。也就是説，無論質數間隔變得多大，後面總會在某個地方縮小到7千萬或以下。假如把這裏的7千萬換成2，就是孿生質數猜想。

7千萬這個數乍看起來很大，但實際上這是個重大的突破。因為在此之前人們並不知道出現無窮多次的質數間隔有沒有上限，也就是説它完全可能是無窮大，即質數間隔變得越來越大，越來越大，不再縮小。**張益唐的結果是第一次給出了一個有限的上限，即把無限變成了有限。**無限和7千萬之間是質的區別，7千萬和2之間只是量的區別。現在明白這個成果為什麼如此轟動了吧？

張益唐並沒有完全挖掘他的方法的潛力。在他的論文發表後，立刻有很多數學家來改進。他們組織了一個合作項目“PolyMath8”來做這件事，包括菲爾茲獎獲得者、著名華人數學家陶哲軒在內。

 陶哲軒

通過這麼多人的努力，目前這個上限從7千萬縮小到了246。即我們已經證明了，存在無窮多對質數，它們的間隔不超過246。

PolyMath8項目的當前紀錄（http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes）

這雖然也是不小的進步，但重要性顯然不能和最初提出7千萬相提並論。此外，這種方法的潛力似乎已經被挖掘殆盡，不足以從246縮小到2。如果想最終證明孿生質數猜想，應該會需要新的思想、新的方法。

在孿生質數猜想取得突破後，張益唐已經成為了一個傳奇。但他並沒有躺在功勞簿上，他又回到了一個他以前就經常深思的大問題，朗道-西格爾零點猜想。如前所述，我發現這個東西太複雜，無法向普通觀眾解釋。

在這裏只能稍微介紹一下背景。整個數學中有個最著名、最困難、也最重要的未解之謎叫做黎曼猜想（Riemann hypothesis），它是決定質數分佈的關鍵。我以前做過六期節目解釋黎曼猜想（黎曼猜想（六）1859年就提出的黎曼猜想，數學家證明到什麼程度了？| 科技袁人），歡迎大家去看。

用複平面表示黎曼猜想：黎曼ζ函數的所有非平凡零點都在實部等於1/2的臨界線上

黎曼猜想已經相當複雜了，但我覺得看了這六期節目以後，普通人還能理解個八九不離十。而朗道-西格爾零點猜想是一個以黎曼猜想為背景但更復雜的問題，所以我在這裏就完全放棄了。大家只需要通過下面的敍述，瞭解這個問題的重要性就好了。

維基百科上朗道-西格爾零點的定義，如果你能看懂的話……

張益唐説：“對於數論學家來講，有兩個宇宙。在第一個宇宙裏，不存在朗道-西格爾零點。但在第二個宇宙裏，存在此零點。我們的困惑是，不知道我們到底生活在哪個宇宙裏面。”

他的同事、數論學家Stopple解釋説，如果張益唐能證明朗道-西格爾零點猜想，“就像是同一個人被閃電劈中兩次”，“如果他從未成名，那麼做出這項工作也會讓他跟上次一樣被世界矚目”。

張益唐對自己能解決朗道-西格爾零點猜想充滿信心，認為沒有大的障礙，剩下的都只是技術性問題。英國數學大師哈代（Godfrey Harold Hardy，1877 - 1947）有一句名言：“比起其他任何藝術和科學，數學更是年輕人的遊戲。”還有一句名言：“我從沒見過哪個年過半百的數學家開創重大的數學進展。”

 哈代

有人問張益唐如何看待哈代的這些觀點，他的回答是：

“這個説法可能對我並不適用。我仍然相信我的直覺，我仍然對自己有信心。我仍然有不少願景。”

目前，張益唐的論文《離散平均估計與朗道-西格爾零點》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero）剛剛發到網上，還沒有正式投稿，所以還存在出錯的可能性，要經過同行評審才有定論。如果它正確的話，張益唐就確實被閃電劈中了兩次，在58歲做出一次奇蹟後又在67歲做出另一次奇蹟。只不過對普通人來説，這後一次奇蹟比前一次難懂得多，所以我們沒法用直觀的語言來解釋。

《離散平均估計與朗道-西格爾零點》摘要

雖然無法解讀細節，我還是可以向大家解讀一下這個成果的性質：跟前一次一樣，在某個問題上取得了重大突破，但仍然沒有解決問題本身。朗道-西格爾零點猜想説的是朗道-西格爾零點不存在，由此會導出一個直接的推論，某個量大於某個量的倒數即-1次方。

 朗道-西格爾零點猜想的推論

張益唐不能證明這一點，但可以證明一個較弱的版本，把1換成2022。沒錯，真的是2022這個數，這個亮瞎眼的數不是在開玩笑！

《離散平均估計與朗道-西格爾零點》定理1

張益唐在論文中也指出，2022這個估計很可能是可以改進的，就像對孿生質數猜想的7千萬可以改進。但同時，不太可能通過目前的思路把2022改進到1，就像對孿生質數猜想無法把7千萬改進到2。因此，這篇文章是對朗道-西格爾零點猜想的一個重大進展，但並不是完全解決。不過，張益唐的結果已經足以證明許多懸而未決的命題，把它們變成定理，因此這個成果確實是十分重大的。

張益唐對本文方法潛力的評估

我不久前介紹過，陳景潤對哥德巴赫猜想的貢獻也是這種性質（16個數論難題，你能看懂多少？解決多少？| 袁嵐峯）。目標是“1 + 1”，以前人們做的是“9 + 9”以至“1 + 3”等等，陳景潤做到了“1 + 2”，只差一步但還差得很遠。我想，能瞭解到這個程度，你的知識水平就超過了99%的人。

陳景潤

最後我想説，即使看不懂這些數學細節，張益唐的奇蹟仍然可以給我們巨大的鼓舞，告訴我們人永遠都可以發揮主觀能動性，永遠都可以打破界限（2019科技袁人年度盛典演講：沒有人能阻止你努力 | 袁嵐峯）。質數的最小間隔有上限，而人的奮鬥沒有上限。正如《三國演義》中，諸葛亮給周瑜的祭文中的一句話（山西大學取得量子科技重要突破，始不垂翅，終能奮翼 | 袁嵐峯）：

“始不垂翅，終能奮翼！”