張益唐北大講座：本質上已證明“零點猜想”，結果可改進_風聞
芙宁娜-2022-11-08 11:09
來源：澎湃新聞
2022年11月8日上午，在面向北大師生和公眾的公開演講中，美籍華裔數學家、加州大學聖塔芭芭拉分校教授張益唐教授表示，在本質上，他已經證明了朗道-西格爾零點猜想。只是像他此前關於孿生素數猜想的研究結果一樣，其結果可以被改進。最新研究突破將有很多應用，帶來很多定理。
換句話説，張益唐的最新論文表明，在特定範圍內，朗道-西格爾零點不存在。在這一情況下，朗道-西格爾零點猜想正確或成立。
“朗道-西格爾零點”被定義為廣義黎曼猜想的反例。斷言“朗道-西格爾零點”不存在的猜測，被稱為朗道-西格爾零點猜想。
美籍華裔數學家、加州大學聖塔芭芭拉分校教授張益唐
此外，20多天前，在美東時間10月14日下午8時（北京時間10月15日上午8時）舉行的北京大學大紐約地區校友會第十期“未名傳承系列活動”上，張益唐也表示，“我最近在數學上又作出了一個應該説是很大的成果。可以説是弱一點的形式，但本質上已經是解決了朗道-西格爾零點（猜想）問題。解析數論的同行會知道，這個問題的解決，可能比孿生素數猜想的意義更大。”
張益唐於2013年4月17日在《數學年刊》（Annals of Mathematics）發表《素數間的有界間隔》，首次證明了存在無窮多對素數對（p, q），其中每一對素數之差，即p和q的距離，不超過7000萬。這為世紀難題“孿生素數猜想”的解決做出了突破性工作，他從一位默默無聞的大學講師躋身世界重量級數學家的行列。
隨後，“7000萬”這一數字，被數學界同行改進到600和246。
這次“7000萬”這一數字變為2024。
11月6日上午11:05，山東大學微信公眾號發佈的山東大學數學學院教授、博士生導師、原數學學院副院長、山東大學澳國立聯合理學院執行院長呂廣世、山東大學數據科學研究院教授、博士生導師黃炳榮等人聯合撰寫的文章稱，張益唐教授介紹了他在朗道-西格爾零點猜想研究方面的創新思想，在其最新預印本論文裏證明了：模D的實原特徵L-函數在區間（1−c(logD)^−2024,1】內沒有實零點。
“如果把這裏的2024換成1，就得到原始形式的朗道-西格爾零點猜想。2024雖然大於1，但在數學意義上，與1並沒有實質性的差別。”山東大學微信公眾號上述文章稱。
山東大學微信公眾號上述文章稱，“如果我們相信廣義黎曼猜想，那麼朗道-西格爾零點應該不存在。朗道-西格爾零點的研究非常重要，是解決很多數論問題的瓶頸。所謂的朗道-西格爾零點猜想斷言，朗道-西格爾零點確實不存在。這是數論中長期懸而未決的重要猜想。一旦證明了朗道-西格爾零點猜想，就可以取得很多新突破，簡化和加強很多經典數論結果。”“素數分佈一直是數論研究的中心問題…… 正如黎曼zeta函數的零點分佈與素數分佈之間有着深刻密切的聯繫，狄利克雷L-函數零點分佈也在素數理論中發揮廣泛而根本性的作用，與素數分佈的諸多核心問題有着深刻的內藴聯繫，如哥德巴赫猜想、孿生素數猜想等。”
2007年5月29日，張益唐就曾在預印本網站arXiv提交了一篇標題為《論郎道-西格爾零點猜想》（On the Landau-Siegel Zeros Conjecture）的論文。該論文一共13小節，54頁。該論文稱，“我們提供了朗道-西格爾零點猜想的一個變體的證明。”
張益唐在網站arXiv上公開的三篇預印本論文
15年後，張益唐再次發佈關於朗道-西格爾零點猜想（the Landau-Siegel Zeros Conjecture）的論文。在內部流出兩天後，2022年11月7日，其最新論文在預印本網站arXiv上正式對外公開。
這次，他信心十足，“我敢肯定的説，我做出來了。我知道我這麼做是對的。”
一如他上一次取得數學研究上的重大突破時的演講——2013年在哈佛大學進行關於孿生素數猜想的學術報告，2022年11月8日上午，張益唐教授受邀，通過網絡向北京大學師生和社會進行“關於郎道-西格爾零點猜想”的學術報告。三天前，11月5日上午，張益唐教授也為山東大學師生進行了類似演講。
如果進行對比，與2013年在哈佛大學的演講不同的是，9年後這次關於朗道-西格爾零點猜想新突破的論文尚未在學術期刊上正式發表。但也已經也起數學界和公眾的極大關注。
張益唐1955年2月出生在上海，祖籍浙江平湖；系北京大學78級校友，曾師從潘承彪教授攻讀碩士學位。
1985年，張益唐到美國普渡大學攻讀博士學位，隨後遭遇種種坎坷。因為博士論文的結果沒有發表，加上導師連一封推薦信都不願意寫，張益唐畢業後連個博士後的工作都沒有找到。
因坎坷的人生經歷和突出的數學成就，張益唐被稱為傳奇數學家。他30歲出國留學，但發表重要論文時已近60歲。
北京大學校友網在一篇介紹張益唐的文章中稱，他是“半生潦倒”的傳奇數學家。
在北京大學大紐約地區校友會交流座談會，張益唐在回答“（數學研究）是否需要異常天賦”提問時説，別想太多，先做再説，“天賦，或需激發。”
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《張益唐最新論文正式公開，英國數學家稱其寫得很清楚且策略明智》
在內部流出兩天後，11月7日，美籍華裔數學家、加州大學聖塔芭芭拉分校教授張益唐關於郎道-西格爾零點猜想（the Landau-Siegel Zeros Conjecture）的最新論文在預印本網站arXiv上正式對外公開。
張益唐關於郎道-西格爾零點猜想的最新論文正式對外公開
該網站顯示，上述論文於當地時間2022年11月4日15:17提交至該網站，其PDF文件大小577KB，全文111頁，正文18個小節，並公佈了兩個定理。
論文的標題是《離散均值估計和朗道-西格爾零點》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel Zero）。
澎湃新聞注意到，這一論文的標題，與張益唐教授2021年12月10日在日本慶應義塾大學理工學部學術報告時的主題僅一詞之差。後者為《離散均值公式和朗道-西格爾零點》（Discrete mean formulas and the Landau-Siegel zero）。
對於張益唐的上述論文，國際學術同行怎麼看？
11月6日，菲爾茲獎得主詹姆斯·梅納德（JamesMaynard）攻讀博士學位時的導師、致力於解析數論領域的英國數學家、牛津大學數學研究所退休教授羅傑·希思-布朗（Roger Heath-Brown FRS）向澎湃新聞表示，“好好研讀這篇論文需要很長時間，所以我現在還不能説它是否正確。但它寫得很清楚，而且策略明智。”
對於自己的證明，張益唐教授信心滿滿。20多天前，在美東時間10月14日下午8時（北京時間10月15日上午8時）舉行的北京大學大紐約地區校友會第十期“未名傳承系列活動”上，張益唐表示，“我最近在數學上又作出了一個應該説是很大的成果。可以説是弱一點的形式，但本質上已經是解決了朗道-西格爾零點（猜想）問題。解析數論的同行會知道，這個問題的解決，可能比孿生素數猜想的意義更大。”
“我敢肯定的説，我做出來了。我知道我這麼做是對的。”張益唐在上述活動的在線報告中説。
朗道-西格爾零點猜想被認為是廣義黎曼猜想的一種特殊並且可能比其弱得多的形式。它斷言“朗道-西格爾零點”不存在。“朗道-西格爾零點”被定義為廣義黎曼猜想的反例。
11月5日上午，張益唐教授就上述研究的新突破向山東大學師生作了線上學術報告。
一天後，11月6日上午11:05，山東大學微信公眾號發佈了山東大學數學學院教授、博士生導師、原數學學院副院長、山東大學澳國立聯合理學院執行院長呂廣世、山東大學數據科學研究院教授、博士生導師黃炳榮等人聯合撰寫的文章。
該文章稱，張益唐教授介紹了他在朗道-西格爾零點猜想研究方面的創新思想，在其最新預印本論文裏證明了：模D的實原特徵L-函數在區間（1−c(log D)^−2024,1】內沒有實零點。
“如果把這裏的2024換成1，就得到原始形式的朗道-西格爾零點猜想。2024雖然大於1，但在數學意義上，與1並沒有實質性的差別。”山東大學微信公眾號上述文章稱。
但這是否意味着，張益唐在實質上已經證明了朗道-西格爾零點猜想？有待數學界專家們的確認。
山東大學微信公眾號上述文章稱，“如果我們相信廣義黎曼猜想，那麼朗道-西格爾零點應該不存在。朗道-西格爾零點的研究非常重要，是解決很多數論問題的瓶頸。所謂的朗道-西格爾零點猜想斷言，朗道-西格爾零點確實不存在。這是數論中長期懸而未決的重要猜想。一旦證明了朗道-西格爾零點猜想，就可以取得很多新突破，簡化和加強很多經典數論結果。”“素數分佈一直是數論研究的中心問題…… 正如黎曼zeta函數的零點分佈與素數分佈之間有着深刻密切的聯繫，狄利克雷L-函數零點分佈也在素數理論中發揮廣泛而根本性的作用，與素數分佈的諸多核心問題有着深刻的內藴聯繫，如哥德巴赫猜想、孿生素數猜想等。”
在山東大學的講座中，張益唐等人隨後圍繞中國數論學派的傳統與對原始創新的不懈追求，中國數論學派的研究特色和優勢，以及數論研究的發展等話題進行了深入探討。張益唐教授談到，數論在任何時候都是有發展前途的，嚴謹治學的風格、鍥而不捨的精神非常重要，經典方法是否有效，取決於你是否能把它做到極致。
在上述北京大學大紐約地區校友會的活動中，張益唐説，解決朗道-西格爾零點猜想問題，最後歸結到就是做一個不等式；就是要構造一組數。“有人説孿生素數猜想是大海撈針，其實朗道-西格爾零點才是大海撈針。這些年來我試了無數種（情況），試數給代進去， 我建立了一整套公式，所以能去算。我試了無數種情況，每一次都差一個 ε（音：伊普西龍）。”
張益唐於2013年4月17日在《數學年刊》（Annals of Mathematics）發表《素數間的有界間隔》，首次證明了存在無窮多對素數對（p, q），其中每一對素數之差，即p和q的距離，不超過7000萬。這為世紀難題“孿生素數猜想”的解決做出了突破性工作，他從一位默默無聞的大學講師躋身世界重量級數學家的行列。
大海撈針想要解決朗道-西格爾零點猜想問題的張益唐稱，他把“海底”查遍了，最後發現，不要這根針也能解決這一零點猜想問題。
他説，“最早1837年狄利克雷開始研究這個問題，那也將近200年了……始終差一個ε（音：伊普西龍），始終就是沒法突破。但應該説，我還是突破了，最後我把它給做成了。”
被提前內部流出的張益唐的最新論文在知名社交論壇 Reddit上也被網友熱議。在知名數學互動網站mathoverflow上，有網友問，假設張益唐的證明是正確的，那麼，接下來會有哪些著名的數論結果？
微信公眾號“ 普林小虎隊”援引相關信源稱，張益唐的同事、曾説過“如果張益唐能夠證明朗道-西格爾零點猜想，就相當於一個人被閃電擊中兩次”的解析數論專家Jeffrey Stopple指出，張益唐的成果能夠用來研究歐拉和高斯遺留下來的一個關於“方便數”（idoneal number）的問題，把它化為有限次計算。當然，所有一切都建立在張益唐論文是正確的基礎之上。
在北京“未來科學大獎周2019”上，張益唐表示，在很多研究方面，因為我們不知道郎道-西格爾零點到底存在不存在，於是數論學家們就只好去討論兩種情況：如果它存在，會得出什麼結論？如果它不存在，會得出什麼結論？“如果這個零點真存在，不得了！廣義黎曼假設就錯了……我們會得到很多的推論，而且是非常強的推論，甚至強的有點過頭了。”
15年前，2007年5月29日，張益唐就在預印本網站arxiv提交了一篇標題為《論郎道-西格爾零點猜想》（On the Landau-Siegel Zeros Conjecture）論文稱，“我們提供了朗道-西格爾零點猜想的一個變體的證明。”但據説證明過程存在問題。
而這一次，人們希望張益唐取得數學研究上的又一個重要突破。